第三章集中量数

第三章集中量数 第一节算术平均数第二节中位数第三节几何平均数

第一节算术平均数 一、算术平均数的概念及适用条件（一）概念是一组同质数据值的总和除以数据总个数所得的商。亦称均数，均值，用（读X杠）表示。（3.1） n为数据个数。

（二）适用条件 1、适用于同质数据。 2、要求一组数据中每个数据都比较准确、可靠，若数据模糊不清或分组资料有不确定组限是时，不能计算平均数。 3、无极端值出现。 4、需要得到一个相对精确可靠的集中量数或进一步参与其他运算时。

二、算术平均数的计算方法 （一）简单算术平均数的计算方法直接利用公式（3.1）计算。例1 某班选八名同学参加年级数学竞赛，成绩分别为82，90，95，88，90，94，80，93。求其平均成绩。解：把N=8，X1=82,…,X8=93代入公式（3.1），得

（二）加权算术平均数的计算方法 有时每个数据在其整体中的所占的权重（重要程度）不同。它是指一组数据中每个数据与其权数乘积的总和除以权数总和所得之商，用符号表示。（3.2）

例2 某年级四个班的学生人数分别为50人，52人，48人，51人，期末数学考试各班的平均成绩分别为90分，85分，88分，92分，求年级的平均成绩。解：由公式（3.2）得 =88.74

对于已列成次数分布表的分组数据，其算术平均数的计算公式为对于已列成次数分布表的分组数据，其算术平均数的计算公式为（3.3）式中Xc为组中值；f为各组次数，即权数；N为总次数=∑f。例3 某班50人外语期末考试成绩的次数分布如下，求全班学生的平均成绩。

表3-1 某班50人外语成绩次数分布表

解：将表中数据代入公式（3.3），得 说明：利用次数分布求得的算术平均数是一个近似值。因为我们先假设组内的数据是均匀分布的，利用各组中值分别代表各组数据，这显然与实际不符，把这一误差叫分组误差。

第二节中位数 一、中位数的概念及适用条件（一）概念中位数是位于一组有序数据中间位置的量数。也称中数，用Mdn表示。它是将一组有序数据的个数分为相等两部分的那个数据，它可能是原始数据中的一个，也可能是通过计算得到的一个数。

（二）适用条件 1、当一组数据有极端值出现时。 2、当一组有序数据两端有个别数据模糊不清或分组资料有不确定组限时。 3、当需要快速估计一组数据的代表值时。二、中位数的计算方法（一）未分组数据中位数的计算方法一组数据未分组，先排序，中位数取决于数据的个数是奇数还是偶数。

当数据的个数为奇数时，则以第（N+1）/2个位置上的数据作为中位数。当数据的个数为奇数时，则以第（N+1）/2个位置上的数据作为中位数。当数据的个数为偶数时，则取居中间的两个数据的平均数为中位数。即取第（N+1）/2处作为中位数的位置，其位置左右两数据的平均值即为中位数。例如求80，93，90，81，85，88，92，84的中位数时，先排序：80，81，84，85，88，90，92，93，再求（N+1）/2=4.5，这说明中位数的位置在第四个和第五个数的中间，即（85+88）/2=86.5。

（二）分组数据中位数的计算方法 对分组数据常将N/2位置对应的数据看成中位数。计算公式为：（3.4）

计算步骤： （1）求N/2；（2）确定中位数所在组，由下向上累积次数，直到大于或等于N/2一组为止，该组就是中位数所在组；（3）求出中位数所在组的精确下限；（4）求出中位数所在组以下的累积次数Fb; （5）确定组距及中位数所在组的次数f; （6）将以上各值代入公式（3.4）中。

例5 求表3-1的中位数。 解：（1）N/2=50/2=25；（2）由下向上累积次数，75-79组对应的累积次数为22，80-84组对应的累积次数为37，故中位数在80-84组；（3）Lb=79.5；（4）Fb=2+4+3+5+8=22; （5）i=5,f=15；（6）将上述值代入（3.4），得 Mdn=79.5+(25-22)/15*5=80.5

第三节几何平均数 一、几何平均数的概念及应用时机（一）概念它是N个数值连乘积的N次方根，用符号MG表示 (3.5)

（二）应用时机 1、求一组等比或近似等比数据的平均数时。 2、一组数据中，有少数偏大或偏小的数据，数据分布呈现偏态，求平均数时。 3、在教育上，主要应用几何平均数求平均发展速度或对某项目标进行预测估计。

二、几何平均数的计算方法 （一）直接公式法例6 求2，8，32，125，502的几何平均数。解：由于这组数属于近似等比数列，故应用公式（3.5），得 =31.72

例7 已知某校四年中各年度的学生人数分别为上一年的1.12倍，1.09倍，1.08倍和1.06倍，求每年的平均增长率。解：先求出平均发展速度然后用公式：平均增长率=平均发展速度-1，求出年平均增长率。平均增长率=1.09-1=0.09 故所求的年平均增长率为9%。

（二）只用首末项求几何平均数 设a0,a1,…,aN是N个年度中各年度某种数量值，其中a0是初期量，aN是末期量。X1,X2,…,XN为各年度发展速度，即（3.6）

例8 某重点高中1994-1999年招收新生人数如下表，求年平均增长率。表3-2 某高中招生人数统计表解：由于a0=594,aN=700,N=5, 所以年平均发展速度为故年平均增长率为（10.3-1)*100%=3%

例10 某校办工厂在1984年创产值10万元，该厂计划以年平均增长率为5%的速度递增，试估计到2004年该厂可创产值多少万元。解：由得：aN=a0(1+平均增长率）N =10×（1+0.05）20=26.53（万元）

作业 1、某班60名学生的外语成绩列成次数分布如下，试求其算术平均数和中位数。

2、某县教师人数1990年为2000人，1994年为2800人，求其平均增长率；若照此速度增长，试估计2002年该县的教师人数为多少？2、某县教师人数1990年为2000人，1994年为2800人，求其平均增长率；若照此速度增长，试估计2002年该县的教师人数为多少？

第三章 集中量数