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全微分

§12 ． 5 全微分方程. 全微分. 全微分方程的判、. 积分因子. 全微分方程的通解. 全微分方程. 全微分方程：. 全微分方程的判定：. 一个一阶微分方程写成 P ( x , y ) dx + Q ( x , y ) dy = 0 形式后，如果它的左端恰好是某 一个函数 u = u ( x , y ) 的全微分： du ( x , y ) = P ( x , y ) dx + Q ( x , y ) dy ， 那么方程 P ( x , y ) dx + Q ( x , y ) dy = 0 就 叫做全微分方程．.

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Presentation Transcript

  1. §12．5 全微分方程 全微分 全微分方程的判、 积分因子 全微分方程的通解

  2. 全微分方程 全微分方程： 全微分方程的判定： 一个一阶微分方程写成 P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0 形式后，如果它的左端恰好是某 一个函数u=u(x, y)的全微分： du(x, y)=P(x, y)dx+Q(x, y)dy， 那么方程P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0就 叫做全微分方程． 若P(x, y)、Q(x, y)在单连通 域G内具有一阶连续偏导数，且 则方程P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0是全 微分方程， 全微分方程的通解： u(x, y)=C， 即

  3. y (x, y) O x 例1 求解(5x4+3xy2-y3)dx +(3x2y-3xy2+y2 )dy=0． 解 这里 所以这是全微分方程．取(x0, y0)(0, 0)，有 于是，方程的通解为

  4. 积分因子： 若方程P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0不是全微分方程，但存在一函数 m=m(x, y)( m (x, y) 0)，使方程 m(x, y)P(x, y)dx+m(x, y)Q(x, y)dy=0 是全微分方程，则函数m(x, y)叫做方程P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0的积 分因子．

  5. 例2 通过观察求方程的积分因子并求其通解: (1)ydx-xdy=0 (2)(1+xy)ydx+(1-xy)xdy=0 解 (1) 方程ydx-xdy=0不是全微分方程． 因为

  6. 例2 通过观察求方程的积分因子并求其通解: (1)ydx-xdy=0 (2)(1+xy)ydx+(1-xy)xdy=0 解 (2)将方程的各项重新合并，得 (ydxxdy)xy(ydxxdy)0， 再把它改写成 积分得通解

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