Wykład no 4

1. Wykład no 4 sprawdziany: 24-03-2006 21-04-2006 2-06-2006

2. „Funkcja” delta Diraca Oznaczenie: δ(t) Definicja: δ(t)=0 dla wszystkich t≠0 oraz Dla dowolnej funkcji u(t) mamy:

3. Transformata funkcji δ(t) czyli δ(t)↔1 U() u(t) 1 δ(t)  t

4. Na mocy dualizmu dla sygnału stałoprądowego mamy δ(t)↔1() czyli 1(t)↔2π δ(-) 1↔2πδ() Jeśli , to Z własności: Jeżeli u(t)↔U(), to exp(j0t)u(t)↔U(-0), 0 – liczba rzeczywista. wynika: exp(j0t)1(t)↔δ(-0) exp(j0t) ↔δ(-0) czyli

5. i możemy obliczyć transformatę funkcji cos cos(0t) 0 -0 

6. jU() sin(0t) -0 0

7. Transformata funkcji u(t)=sign(t) sign(t) t Tworzymy ciąg:

8. u0.01(x) u0.1(x) u1(x)

10. Charakterystyka amplitudowa widma Widmo fazy jest stałe i wynosi –π/2

11. Transformata skoku jednostkowego 1(t) u(t) 1 t Zapiszemy: 1(t)=0.5+0.5sign(t) i mamy: 1(t)↔

12. 0.5δ()+1/|| 

13. dla t≥0 i u(t)=0 dla t<0 Widmo amplitudy:

14.  Widmo fazy:

15. () 

16. Transformata funkcji exp(j0t) Korzystając z twierdzenia o przesunięciu: Jeżeli u(t)↔U(), to exp(j0t)u(t)↔U(-0), 0 – liczba rzeczywista. mamy dla u(t)=1: exp(j0t)↔δ(-0) Transformata funkcji okresowej u(t)=u(t+T0) o okresie T0. Dla funkcji okresowej mamy rozwinięcie w zespolony szereg Fouriera:

17. gdzie Rozważmy funkcję impulsową ui(t) zdefiniowaną:

18. Funkcję u(t) można zapisać: a współczynnik cn możemy zapisać korzystając z definicji funkcji ui(t) w postaci: gdzie Ui() jest transformatą funkcji ui(t) dla częstotliwości 0.

19. Podstawiając do zależności: współczynnik otrzymujemy: lub biorąc pod uwagę: mamy: a ponieważ mamy transformatę:

20. Jako przykład rozważmy idealną funkcję próbkującą Mamy funkcję: t 0 T0 Idealna funkcja próbkująca jest również nazywana funkcją grzebieniowąDiraca

21. ponieważ dla funkcji: więc zgodnie ze wzorem mamy:  0

22. Transmisja sygnałów przez układy liniowe Definicja Układem (systemem) nazywamy urządzenie lub obiekt fizyczny, który w odpowiedzi na sygnał na wejściu generuje sygnał wyjściowy sygnał wyjściowy odpowiedź y(t) sygnał wejściowy wymuszenie x(t) układ

23. Definicja System nazywamy liniowym, jeżeli spełnia zasadę superpozycji, tzn. jeżeli dla wymuszenia x1(t) odpowiedzią jest y1(t), a dla wymuszenia x2(t) odpowiedzią jest y2(t), to mówimy, że spełniona jest zasada superpozycji jeżeli dla wymuszenia α1x1(t)+α2x2(t) odpowiedzią jest α1y1(t)+α2y2(t). W telekomunikacji przykładami układów liniowych są filtry i kanałytelekomunikacyjne

24. Filtr jest układem częstotliwościowo selektywnym. Kanałemtelekomunikacyjnym nazywamy wszystkie urządzenia transmisyjne łączące nadajnik z odbiornikiem. Naszym zadaniem jest zbadanie efektów wynikających z transmisji sygnałów przez filtry liniowe i kanały telekomunikacyjne. Analizę można przeprowadzić na dwa sposoby: 1. analizaczasowa 2. analizaczęstotliwościowa

25. Analiza czasowa System liniowy opisuje się w dziedzinie czasu za pomocą odpowiedzi impulsowej, która jest zdefiniowana jako odpowiedź układu o zerowych warunkach początkowych na jednostkowy impuls w postaci funkcji δ(t), przyłożony do wejścia układu. System jest stacjonarny, jeżeli kształt jego odpowiedzi impulsowej nie zależy od chwili przyłożenia impulsu δ(t) na jego wejście.

26. Dla systemu stacjonarnego możemy przyjąć, że impuls δ(t) jest przyłożony na wejście w chwili t=0. Niech h(t) będzie odpowiedzią układu na impuls δ(t) δ(t) h(t) Określić odpowiedź układu na wymuszenie x(t). Oznaczymy odpowiedź układu przez y(t). x(t) y(t)

27. x(t) x(τk) t τk τ Traktując x(τ)τ jako impuls jednostkowy δ(t) z wagą x(τ)τ otrzymujemy odpowiedź układ liniowego w postaci: h(t-τk) x(τk)τ, a sumując po wszystkich k mamy:

28. W granicy otrzymujemy: Odpowiedź y(t) układu liniowego stacjonarnego, którego odpowiedź na impuls δ(t) jest h(t) na dowolne wymuszenie x(t) wyraża się całką splotową. System nazywamy przyczynowym, jeżeli odpowiedź nie pojawia się, dopóki nie zostanie przyłożone pobudzenie.

29. Warunkiem koniecznym i wystarczającym, aby system był przyczynowy jest aby h(t)=0 dla t<0. Warunkiem aby system działający w czasie rzeczywistym był realizowalny fizycznie, to musi być systemem przyczynowym. System nazywamy stabilnym, jeżeli sygnał wyjściowy jest ograniczony dla wszystkich ograniczonych sygnałów wejściowych. Jest to tzw. kryterium stabilności wejście - wyjście

30. skrótowo system jest oznaczany BIBO bounded input – bounded output Warunkiem koniecznym i dostatecznym aby system był stabilny jest: Niech sygnał wejściowy x(t) będzie ograniczony, czyli |x(t)|≤M gdzie M – dodatnia liczba rzeczywista. wynika wtedy z

31. a więc aby odpowiedź y(t) była ograniczona musi zachodzić: Analiza częstotliwościowa Pamiętając, że h(t)=0 dla t<0 i x(t)=0 dla t<0 możemy całkę spoltową zapisać w postaci: i stosując transformatę Fouriera mamy: Y()=H()X()

32. H() nazywamy transmitancją częstotliwościową lub charakterystykączęstotliwościową systemu. Zapisując H()=|H()|ej() nazywamy |H()| - charakterystyką amplitudową systemu () - charakteryską fazową systemu. Często stosuje się lnH()=α()+j(), gdzie α()=ln|H()| jest nazywane wzmocnieniem układu i jest mierzone w neperach [Np]

33. Często wzmocnienie układu mierzy się w decybelach α’()=20log|H()| [dB] a więc: 1Np=8.69dB Pasmo układu jest definiowane jako 3dB pasmo wzmocnienia układu

34. Modulacja ciągła Zadaniem systemu telekomunikacyjnego jest przesłanie sygnałuinformacyjnego Sygnał informacyjny jest nazywany sygnałem w pasmiepodstawowym Pasmo podstawowe określa zakres częstotliwości w jakim leży sygnał dostarczony przez źródło informacji Dla prawidłowego wykorzystania kanału informacyjnego koniecznym jest przesunięci pasma podstawowego w inny zakres częstotliwości dogodny do transmisji sygnału

35. Przesunięcie zakresu częstotliwości sygnału jest realizowane za pomocą modulacji Modulacją nazywamy proces, w którym pewien parametr fali nośnej jest zmieniany zgodnie z sygnałem informacyjnym (falą modulującą) Najczęściej jako falę nośną stosuje się przebieg sinusoidalny i w tym przypadku modulację nazywamy modulacją ciągłą W zależności od zmienianego parametru fali nośnej Asin mówimy o:

36. Asin • zmianie ulega amplituda A i mówimy o modulacji • amplitudy, • 2. zmianie ulega kąt  i mówimy o modulacji kąta. Dla fali sinusoidalnej mamy: =2πft+α możemy zmieniać albo częstotliwość f –modulacja częstotliwości albo zmieniać kąt fazowy α – modulacja fazy.

37. Modulacja amplitudy Fala nośna – c(t)=Accos(2πfct) Ac – amplituda fali nośnej fc - częstotliwość fali nośnej Sygnał modulujący – m(t) Źródła sygnałów c(t) i m(t) są fizycznie niezależne Fala zmodulowana amplitudowo ma postać: ka – jest nazywane czułością amplitudową modulatora

39. Modulacja przy warunku |kam(t)|<1 dla wszystkich t

40. zmiana fazy |kam(t)|>1 fala nośna przemodulowana

41. Niech W – oznacza największą częstotliwość sygnału modulującego m(t). W jest nazywane szerokością pasma sygnału informacyjnego Koniecznym jest spełnienie warunku: fc>>W Transformata Fouriera fali zmodulowanej amplitudowo ma postać:

42. M(f) gdzie M(f)↔m(t) f -W W 0.5Acδ(f+fc) 0.5Acδ(f-fc) górna wstęga boczna dolna wstęga boczna górna wstęga boczna dolna wstęga boczna -fc-W -fc -fc+W fc-W fc fc+W

43. Szerokość pasma transmisji BT=2W Przykład modulatora Modulator przełączajacy Przyjmujemy diodę idealną o rezystancji w kierunku przewodzenia Rd i dobieramy R1>>Rd wtedy: c(t)=Accos(2πfct) u1(t) R1 m(t) u2(t)

44. u2 π/4 u1 Jeżeli |m(t)|<<Ac, to napięcie u2(t) opisuje zależność: co można krótko zapisać:

45. gdzie funkcja g(t) reprezentuje falę prostokątną o okresie Tc=1/fc i połówkowym współczynniku wypełnienia g(t) c(t) Tc

46. Szereg Fouriera funkcji g(t) jest: i podstawiając mamy: Składnik: reprezentuje pożądany zmodulowany amplitudowo sygnał

47. reszta: zawiera w widmie funkcje δ[(fc -2nfc)], gdzie n=1,2,... i δ(0). Eliminujemy te częstotliwości za pomocą filtru środkowoprzepustowego o częstotliwości środkowej fc i szerokości 2W. Demodulacja Prosty demodulator zwany detektorem obwiedni

48. Rs R uwyj(t) C s(t)

49. Sygnał zmodulowany amplitudowo u(t)=Um[1+msin(0t)]sin(t)

50. uwyj(t)