Autres exemples de modèles

1. Autres exemples de modèles Guy Gauthier Juin 2010

2. Dynamique de la population • Si une population possède un potentiel biotique définit par r, alors la population N obéit à cette loi: • r est la fécondité maximale dont une espèce peut faire preuve en l’absence de facteurs limitant.

3. Dynamique de la population • La solution de cette équation est: • Il n’y a pas de mortalité, seulement des naissances. Pas vraiment réaliste…

4. Dynamique de la population • Redéfinissons r: • b = taux de naissance; • m = taux de mortalité. • Reste que le résultat est une exponentielle. • Modèle de Malthus (1798).

5. Facteur limitant • En présence d’un facteur limitant (ex.: ressources alimentaires), le taux de mortalité augmente et le taux de natalité diminue. • K = capacité limite du milieu. • Verhulst (1838).

6. Modèle de Verhulst • Équation de la courbe logistique: Points d’équilibre N = 0 N = K r=2 K=1000

7. Ajout de prédateurs • Modèle de Lotka-Volterra. • En l’absence d’interaction: • Croissance exponentielle des proies (N) et extinction des prédateurs (P).

8. Modèle de Lotka-Volterra • Si les proies interagissent avec les prédateurs: Habileté des proies à échapper aux prédateurs Habileté des prédateurs à attraper les proies

9. Modèle de Lotka-Volterra • Points d’équilibres: • Solution évidente, avec populations égales à 0. • Autre solution:

10. Modèle de Lotka-Volterra • Exemples: r1 = 3; r2 = 5; k1 = 1/100; k2 = 1/100;

11. Modèle de Lotka-Volterra • Comparaison avec ce qui est observé dans la nature.

12. Dans l’espace d’état Point d’équilibre

13. Variantes du modèle de Lotka-Volterra • Introduction de la limite du milieu: Points d’équilibre: 1) N = P = 0; 2) N = r2/k2; P = (r1/k1)(1-r2/(Kk2))

14. Variantes du modèle de Lotka-Volterra • Stabilisation des populations:

15. Variantes du modèle de Lotka-Volterra • Réponse fonctionnelle du prédateur:

16. Variantes du modèle de Lotka-Volterra • Introduction du taux de prédation:

17. Variantes du modèle de Lotka-Volterra • Effet de ce taux de prédation:

18. Variantes du modèle de Lotka-Volterra • Introduction d’une réponse fonctionnelle du coté des proies:

19. Variantes du modèle de Lotka-Volterra • Effet de cette fonction:

20. Équation de Lorentz • Soit le système suivant: • Modèle de convection atmosphérique.

21. Équation de Lorentz • Simulation:

22. Comportement chaotique • Simulation:

23. Deux conditions initiales proches • …mènent à deux évolutions très différentes après quelques moments

24. Équation de Lorentz • Modèle météorologique. • A cette époque, on envisageait pouvoir faire des prévisions météorologiques à long terme.

25. Équation de Lorentz • Cette équation montre l’aspect chaotique de l’évolution de la météo. Donc, prévisions à long terme impossibles. • A court terme… • Il suffit de regarder Météomédia et de voir que les prévisions ne sont pas très justes…

26. Double pendule inversé • Position des masses

27. Double pendule inversé • Énergie potentielle • Énergie cinétique

28. Double pendule inversé • Lagrangien

29. Double pendule inversé • Ainsi, pour le premier angle • D’où

30. Double pendule inversé • Et, pour le deuxième angle • D’où

31. Double pendule inversé • Simulation

32. Double pendule inversé • Ce système est sujet aussi à un phénomène chaotique.