第七章

1. 第七章 联立方程模型的概念和构造

2. 本章要点 • 联立性偏误的定义 • 识别的定义及识别的阶条件和秩条件 • 内生变量和外生变量的定义及联立性检验的步骤 • 联立方程模型的估计方法（单一方程法和系统方程法） • 递归模型的特点及普通最小二乘估计方法

3. 第一节 联立方程模型的基本概念

4. 首先考虑一个由三个方程组成的简单的市场供需模型（假定市场总是出清）： 供给方程： 需求方程： 均衡方程： • 其中 、 分别表示t期、t-1期某商品的价格， 、 分别表示t期该商品的供给量和需求量， 代表t期的收入。按照经济理论，对于一般商品，应满足 >0， <0。 • 以下将利用该模型说明联立方程模型的几组概念。

5. 内生变量、外生变量、前定变量 (一) 内生变量 由模型系统决定其取值的变量称为内生变量（endogenous variables） 。内生变量受模型中其它变量的影响，也可能影响其它内生变量，即内生变量既可以是被解释变量，也可以是解释变量。内生变量受模型内随机误差项的影响，是随机变量。 在模型7.1中， 、 、 的值是由模型决定的，因而是内生变量。

6. （二）外生变量 • 由模型系统以外的因素决定其取值的变量称为外生变量（exogenous variables）。外生变量也可以表述为：独立于该变量所在方程前期、当期、未来各期随机误差项的变量。 • 外生变量只影响系统内的其它变量，而不受其它变量的影响，因此在方程中只能做解释变量，不能做被解释变量。由定义可以看出，外生变量不受模型中随机误差项的影响。 • 在模型7.1中，t期的收入 是由模型外的因素决定的，因而在该模型中 是外生变量。

7. （三）前定变量 • 所谓前定变量（predetermined variables） 是指独立于变量所在方程当期和未来各期随机误差项的变量。由定义可知，外生变量属于前定变量，另外还有一类变量也属于前定变量，即滞后的内生变量，因为滞后的内生变量仅与方程前期的随机误差项相关而与方程当期、未来各期的随机误差项无关。前定变量也只能在现期的方程中做解释变量，并且不受随机误差项的影响。 • 在模型7.1中， 作为滞后的内生变量， 作为外生变量都属于前定变量。

8. 完备方程组 • 如果一个模型中方程的个数等于内生变量的个数，则称这个模型为完备方程组（complete system of equations）。 • 我们可以估计完备方程组中的所有参数，但对于非完备方程组，我们不能估计或只能估计它的一部分参数。 • 在上述市场供需模型中，共有 、 、 三个内生变量，同时有三个方程，因此该模型是一完备方程组，所有参数均可估计。

9. 随机方程式、非随机方程式 • 联立方程模型中的方程可以分为两类，一类是含有随机误差项和未知参数的方程，称为随机方程式，也即行为方程（behavior equation），它主要是描述了金融、经济模型中某一部分的行为，随机方程式中的参数需要估计； • 另一类是不含随机误差项和未知参数的方程，称为非随机方程式，主要是恒等式（identity），非随机方程式不需要估计参数。 • 在模型7.1中，供给方程、需求方程中含有随机误差项和未知参数，并且分别描述了某商品市场供给方和需求方的行为，因此是随机方程式，即行为方程。而均衡方程则属于非随机方程式。

10. 结构式模型、简化式模型 • 联立方程模型有两种形式：结构式模型（structural form model）和简化式模型（reduced form model）。 • 所谓结构式模型，是指在一定的经济理论基础上建立的，能够反映经济变量之间结构形式的一类联立方程模型。模型7.1即为结构式模型。结构式模型中的方程称为结构方程（structural equation），结构方程中变量的系数成为结构参数（structural parameters），它表示的是结构方程中的解释变量对被解释变量的直接影响。所有的结构参数组成的矩阵成为结构参数矩阵。

11. 对于模型7.1，若将常数项看作变量1的系数，则模型可以表示为：对于模型7.1，若将常数项看作变量1的系数，则模型可以表示为： • 因此结构参数矩阵为： 1

12. 对于模型7.1，若以 表示t时刻供给量 和需求量 的均衡值，则模型7.1可表示为 供给方程： 需求方程： （模型7.2） 若将模型7.2中的内生变量 、 只用模型中的前定变量和随机误差项表示出来，则可得到就是结构式模型所对应的简化式模型 :

13. 一般的，简化式模型就是把结构式模型中的内生变量表示为前定变量和随机误差项的函数的联立方程模型。同结构参数矩阵的表示方法一样，模型7.3中的简化式参数矩阵可表示为：一般的，简化式模型就是把结构式模型中的内生变量表示为前定变量和随机误差项的函数的联立方程模型。同结构参数矩阵的表示方法一样，模型7.3中的简化式参数矩阵可表示为：

14. 联立性偏误 • 用普通最小二乘法（OLS）对经典线形回归模型进行回归将得到最优线性无偏估计量。 • 但在结构式模型中，由于内生变量既可作为解释变量又可作为被解释变量，经典线性回归模型的一个基本假设——解释变量与随机误差项不相关——将得不到满足，因此若仍对结构式模型中的每个结构方程分别运用OLS进行估计，所得到的参数估计值将是有偏和不一致的，即存在联立性偏误（simultaneity bias）或联立方程偏误（simultaneous equations bias）。

15. 第二节 联立方程模型的识别

16. 识别问题 • 所谓识别问题，是指结构方程参数的数值估计，是否能够从估计的简化式参数求得。如果能够求得，我们就说此结构方程是可以识别的，特别的，如果能够得到结构参数估计值的唯一解，则称该结构方程是恰好识别的； • 如果可以得到结构参数估计值的多个解，则称该结构方程是过度识别； • 如果不能够通过简化式参数估计值求得结构式参数值，则称该结构方程是不可识别的或不足识别的。

17. 不可识别和过度识别 • 对于模型7.2做修改，该商品的供给量仅受当期价格影响，而不再受前一期价格的影响。而该商品的需求量则不仅受当期价格和当期收入的影响，还受前一期价格的影响。于是可以得到以下模型： 供给方程： 需求方程： （模型7.4）

18. 其所对应的简化式模型 • 根据上述关系式，若已知 则可得： 无法求得估计值

19. 恰好识别 • 让我们回到模型7.2 供给方程： 需求方程： 其对应的简化式模型7.3

20. 分别用OLS估计简化式模型的两个方程，可以得到最优无偏估计值 、 、 、 、 、 ，则 可得一致性估计量 、 、 、 、 、 • 识别性问题对于联立方程模型来说是非常重要的。因为若某个结构方程是不可识别的，则无法对其进行估计求得参数估计值。 • 因此在对联立方程模型进行估计之前，首先要对模型中方程的可识别性进行判断，由此简单有效的判断可识别性的规则或方法就显得必要，我们接下来将介绍识别规则。

21. 识别规则 （一）阶条件 • 可识别性的阶条件是一个必要但非充分条件，也即有时方程虽然满足阶条件，但仍有可能是不可识别的。 • 表述1：令G表示模型中结构方程的个数，如果某结构方程中所不包含的内生变量和前定变量的个数为G-1，则该方程是恰好识别的；若不包含的变量个数大于G-1，则该方程是过度识别的；若不包含的变量个数小于G-1，则该方程是不可识别的。

22. 表述2：在一个线性联立方程模型中，某方程可识别的一个必要条件（阶条件）是：该方程所不包含的前定变量的个数必须不少于方程右边所包含的内生变量的个数。若该方程所不包含的前定变量的个数等于方程右边所包含的内生变量的个数，则该方程是恰好识别的；若大于，则该方程是过度识别的。表述2：在一个线性联立方程模型中，某方程可识别的一个必要条件（阶条件）是：该方程所不包含的前定变量的个数必须不少于方程右边所包含的内生变量的个数。若该方程所不包含的前定变量的个数等于方程右边所包含的内生变量的个数，则该方程是恰好识别的；若大于，则该方程是过度识别的。

23. 识别规则 （二）秩条件 • 阶条件是判断可识别性的必要但非充分条件，即有时候某方程满足可识别性的阶条件但实际上却是不可识别的，在此情况下，判断可识别性的充分条件就显得必要。而秩条件正是判断可识别性的充分必要条件。 • 秩条件的表述如下：对于一个由G个方程组成的联立方程模型中的某个结构方程而言，如果模型中其他方程所含而该方程不含的诸变量的系数矩阵的秩为G-1，则该结构方程是可识别的，若秩小于G-1，则该结构方程是不可识别的。

24. 对某结构式模型中的第i个方程利用秩条件判断其可识别性，可按以下步骤进行：对某结构式模型中的第i个方程利用秩条件判断其可识别性，可按以下步骤进行： ⑴写出结构模型对应的结构参数矩阵（常数项可看作变量1的系数，不包含在方程中的变量的参数取作0）。 ⑵删去第i个结构方程对应系数所在的一行。 ⑶删去第i个结构方程对应系数所在行中非零系数所在的各列。 ⑷对余下的子矩阵，如果它的秩等于方程个数减去1，则第i个结构方程就是可识别的；如果它的秩小于方程个数减1，则第i个结构方程就是不可识别的。

25. 联立性检验 • 由于某些内生变量作解释变量，从而与随机误差项存在相关性而产生的，因而联立性检验就归结为可能是内生变量的解释变量与随机误差项的相关性检验。通常用Hausman设定误差检验（Hausman specification test）检验联立性。

26. 第三节 联立方程模型的估计

27. 根据是否同时对所有的结构方程进行估计，可把常用的估计方法分为单一方程法与系统方程法两类。根据是否同时对所有的结构方程进行估计，可把常用的估计方法分为单一方程法与系统方程法两类。 • 单一方程法又称有限信息法（limited information method）,是对结构方程逐个进行估计的方法。 • 系统方程法又称为完全信息法，是对整个联立方程模型中的所有结构方程同时进行估计，一次估计出模型全部系数的方法，包括三阶段最小二乘法（简称3SLS）和完全信息极大似然法（简称FIML）等。

28. 单一方程法 • 单一方程法我们将主要介绍间接最小二乘法、工具变量法、两阶段最小二乘法。前者只适用于恰好识别的结构方程，后两者还可应用于结构方程过度识别的情况。 （一）普通最小二乘法在递归模型中的应用。 考虑如下的模型： （模型7.9） • 其中 表示内生变量， 表示外生变量，假定同期各方程的随机误差项互不相关。

29. 该模型中实际并不存在联立方程系统中各内生变量之间的相互依赖性，而是存在一种单向的因果依赖性，这种模型被称为递归模型或三角模型，也因其单向因果性而被称为因果性模型。该模型中实际并不存在联立方程系统中各内生变量之间的相互依赖性，而是存在一种单向的因果依赖性，这种模型被称为递归模型或三角模型，也因其单向因果性而被称为因果性模型。 (二) 间接最小二乘法 • 间接最小二乘法的基本思想是：尽管不可以直接对结构方程应用普通最小二乘法，但对于由结构式方程导出的简化式方程，可以应用普通最小二乘法得到参数估计值，然后利用简化式参数估计值和参数关系式求得结构参数的估计值。

30. 应用间接最小二乘法的具体步骤如下： • 第一步：将结构式模型转化为简化式模型。 • 第二步：对每个简化式方程应用普通最小二乘法，得到简化式参数的估计值。 • 第三步：根据简化式参数与结构式参数之间的关系式以及简化式参数估计值求得结构式参数估计值。

31. (三) 工具变量法 • 工具变量法的基本思想是：用适当的前定变量作为工具变量代替结构方程中作为解释变量的内生变量，从而降低解释变量与随机误差项之间的相关程度，再利用普通最小二乘法进行估计。 • 工具变量法的关键是工具变量的选取，一般而言，工具变量应满足如下的条件： ⑴工具变量与所替代的内生变量之间高度相关。 ⑵工具变量是联立方程模型中真正的外生变量，即它与结构方程中的随机误差项不相关。 ⑶同一方程使用多个工具变量时，它们之间的多重共线性程度要低。 ⑷工具变量与结构方程中其它解释变量的多重共线性程度也要低。

32. （四）两阶段最小二乘法 • 两阶段最小二乘法的基本思想是：利用简化式模型求得内生变量的拟合值，以消除随机误差项的影响，然后将结构方程右边的内生变量替换为相应的拟合值，并对替换后的结构方程分别运用普通最小二乘法估计参数。 • 应用两阶段最小二乘法应满足如下的条件： • ⑴所考虑的结构方程是可以识别的。 • ⑵结构方程中的随机误差项满足零均值，方差为常数，序列不相关。 • ⑶前定变量多重共线性程度低。 • ⑷样本容量要足够大，至少要不少于方程中出现的前定变量的个数。

33. 间接最小二乘法、工具变量法、两阶段最小二乘法的比较间接最小二乘法、工具变量法、两阶段最小二乘法的比较 • ⑴两阶段最小二乘法实际上是工具变量法的一种特殊形式，在两阶段最小二乘法中，工具变量是第一阶段的拟合值。 • ⑵在恰好识别的情况下，可以证明三种方法是等价的。 • ⑶在过度识别的情况下，间接最小二乘法不能应用；按照工具变量选择的不同，工具变量法可以得到多个估计值；而两阶段最小二乘法则可以充分利用模型信息，得到结构参数的唯一估计值。

34. 系统方程法 • 系统方程法，其中最重要的一种方法是三阶段最小二乘法，它的基本思想是：两阶段最小二乘法只使用了模型的部分信息，而忽视了模型结构对其它方程的参数值所施加的全部约束条件，特别是当联立方程模型各方程的随机误差项同期相关时，两阶段最小二乘法将不再有效，此时需要引入广义最小二乘法（GLS），以克服各方程之间的联立性偏误。

35. 应用三阶段最小二乘法，应该满足如下的假定： • ⑴每个结构式方程必须是可识别的。 • ⑵所有的恒等式已通过代换等方式消去。 • ⑶每个结构方程的随机误差项满足零均值、同方差性以及无自相关性。 • ⑷不同结构方程的随机误差项是同期相关的。如果不相关，三阶段最小二乘法将等价于两阶段最小二乘法。

36. 应用三阶段最小二乘法的基本步骤如下： • 第一阶段：利用普通最小二乘法估计结构式模型对应的简化式模型，并求得各内生变量的拟合值。 • 第二阶段：将结构方程右边的内生变量用其拟合值代替，再利用普通最小二乘法估计替代后的方程，得到结构参数参数估计值。然后计算各方程的残差值，利用残差值求得误差项方差以及跨方程协方差的一致估计值。 • 第三阶段：根据第二阶段得到的误差项方差估计值以及跨方程协方差估计值，应用广义最小二乘法得到三阶段最小二乘估计值。

37. 实例——联立方程模型在金融数据中的应用 一、理论回顾 • 基于理论分析，我们建立如下联立方程模型（模型7.12）

38. 二、实证分析 • 本文采用了从1997年1月到2004年3月各变量的月度数据。我们将分别检验流通中现金、狭义货币、广义货币作为货币量与上证指数的关系。 • 我们将在Eviews3.1中利用两阶段最小二乘法估计上述联立方程模型，这个过程主要分两个步骤：首先利用普通最小二乘法求得内生变量的拟合值，然后用拟合值代替内生变量再利用两阶段最小二乘法求得结构参数估计值。

39. 图 7-1 回归方程设定 • 我们以代表货币量说明模型，打开Eviews3.1，建立相应的工作组并输入数据，然后在菜单中选择“Quick”→“Estimate Equation”,在“Method”中选择LS

40. 然后在“Estimation settings”上方空白处首先输入被解释变量，然后输入作为解释变量的外生变量,然后点“OK”,即可以得到估计结果如下: (7.92) (6.52) (1.93) (-6.64) (0.95) 点击“Quick”→“Generate Series”,得到如下窗口(图7-2)

41. 图7-2 快速生成序列“m0fitted” 在“Enter equation”下面的空白栏中键入如图中的方程，就可以得到的拟合值“m0fitted”。

42. 图7-3 选择两阶段最小二乘法估计方程 点击“Quick” →“Estimate Equation”，在“Method”中选择“TSLS”，将出现如下的窗口

43. 在“Instrument list”上方的空白栏中按结构式方程7.12.1输入相应的变量，在其下方的空白栏中输入图示的工具变量，然后点击“OK”，就可以得到结构式方程7.12.1参数的两阶段最小二乘估计值： （7.39） （-0.04） (1.32)

44. 按照同样的步骤，我们可以求出作货币量时结构式方程7.12.2参数的两阶段最小二乘估计值：按照同样的步骤，我们可以求出作货币量时结构式方程7.12.2参数的两阶段最小二乘估计值： (1.07) (0.85) (7.98) (1.77) (-1.44) 同样的，对于狭义货币 作为货币量代表，我们可以估计模型得到 （11.14）（0.38）（-0.22） (5.44) (-0.93) (0.43) (-0.830) (-0.56)

45. 对于广义货币作为货币量代表，同样可以得到估计模型：对于广义货币作为货币量代表，同样可以得到估计模型： （8.49） （1.24）（-1.17） （2.70）（-2.26） (4.06) （-3.06）（-1.76）

46. 三、分析 • 可以看出，无论是流通中现金、狭义货币，还是广义货币，无论是当月值还是过去第6个月的值，在对股票价格的解释中，他们的系数都是不显著的。因此，可以认为货币供应量对股票指数影响微乎其微。 • 另一方面，股票指数在对流通中现金、狭义货币的解释中，其系数也是不显著的，但在对广义货币的解释中，股票指数的系数则是显著的，因此，可以认为，股票指数对流通中现金、狭义货币是没有影响的，而对广义货币量则是有影响的。

47. 本章小结 • 本章中我们介绍了联立方程模型，联立方程模型中变量之间的关系是交错的或双向的因果关系，使得经典线性回归中解释变量与随机误差项不相关的假定遭到破坏，因此在用普通最小二乘法估计结构方程时将会产生联立性偏误 。 • 在估计联立方程模型前一个重要的问题是识别问题，利用可识别的阶条件和秩条件来判断。 • 判断完模型是否可以识别，下一步就是选择合适的估计方法对模型进行估计。根据是否同时对所有的方程进行估计，可以把估计的方法分为单一方程法和系统方程法。