La fonction quadratique

1. La fonction quadratique Déterminer la règle

2. Introduction Pour bien comprendre les procédés qui vont suivre, il faut se souvenir du lien qui existe entre x et f(x) dans une fonction. Chaque valeur de f(x) est déterminée en fonction de chaque valeur de x par une règle. Ainsi, dans la règle : f(x) = - (x – 2)2 + 3 f(5) = - (5 – 2)2 + 3 Si x = 5 f(5) = - (3)2 + 3 f(5) = - 9 + 3 f(5) = - 6 Nous obtenons ainsi le couple (5 , - 6)

3. 9 8 7 y 6 5 4 3 2 1 1 2 3 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 x -5 -6 -7 -8 Vrai. -9 ( 1 , 2 ) De ce fait, il découle que : chaque couple de coordonnées, qui vérifie la règle (qui rend l’équation vraie), appartient à la courbe. Ainsi, le couple (1 , 2) appartient à la courbe de la fonction, f(x) = - (x – 2)2 + 3 2 = - (1 – 2)2 + 3 Car, 2 = - (- 1)2 + 3 2 = - 1 + 3 2 = 2

4. y 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 -3 -2 -1 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 Vrai. -9 ( -1 , - 6 ) À l’inverse, les coordonnées d’un point sur la courbe vérifie la règle. f(x) = - (x – 2)2 + 3 - 6 = - (-1 – 2)2 + 3 - 6 = - (-1 – 2)2 + 3 - 6 = - (-3)2 + 3 - 6 = - 9 + 3 - 6 = - 6

5. y 1 1 x y 1 1 x Pour déterminer la règle d’une fonction quadratique, il faut un minimum d’informations. f(x) = a (x – h)2 + k Si les informations données sont les coordonnées du sommet de la parabole et les coordonnées d’un autre point de la courbe, on utilise la forme canonique. f(x) = a (x – x1) (x – x2) Si les informations données sont les zéros de fonction et les coordonnées d’un autre point de la courbe, on utilise la forme générale factorisée.

6. Une fonction quadratique passe par un point dont les coordonnées sont (4 , 102). Son sommet se situe à (-2 , -6). Quelle est sa règle ? À partir des informations fournies, il faut utiliser la forme canonique. - 2 - 6 Sommet (-2 , -6), donc h = - 2 k = - 6 Coordonnées du point : (4 , 102), 4 102 donc à ce point, x = 4 y = 102 f(x) = a (x – h)2 + k Remplaçons : = a ( – )2 + En remplaçant les différents termes par les coordonnées fournies, nous obtenons une équation dans laquelle il n’y a qu’une seule inconnue. Effectuons les calculs : 102 = a (4 + 2)2 - 6 102 = a (6)2 - 6 102 = 36a - 6

7. 36 36 Il ne reste qu’à déterminer la valeur de a. 102 = 36a - 6 Isolons a : + 6 + 6 108 = 36a 3 = a Sachant que a = 3, h = - 2 et k = - 6 f(x) = a (x – h)2 + k La règle est donc : f(x) = 3 (x + 2)2 - 6

8. Exemple : f(x) = 2x2 + 4x - 16 Lorsque l’on connaît les zéros de fonction et les coordonnées d’un autre point, il faut utiliser la forme générale factorisée. f(x) = a (x - x1) ( x - x2) Pour bien comprendre le procédé, nous devons nous souvenir d’un des procédés pour trouver les zéros de fonction. Avec la forme générale : Factoriser le polynôme et utiliser la loi du produit nul. 0 = 2 (x2 + 2x - 8) 0 = 2 (x + 4) (x – 2) Si x - 2 = 0, Si x + 4 = 0, alors x = 2 alors x = - 4 Les zéros de fonction sont donc de signes contraires des coefficients des binômes.

9. le - signifie l’opposé des zéros. De cette démonstration, on peut déduire la version théorique de la forme générale factorisée. f(x) = a (x – x1) (x – x2) x1 et x2 sont les zéros de fonction et Ainsi, si une fonction quadratique a comme zéros de fonction 5 et -3, alors les binômes qui la composent sont (x – 5) et (x + 3).

10. a (x - ) (x - ) f(x) = Une fonction quadratique a comme zéros de fonction -1 et 3. De plus, elle passe par le point dont les coordonnées sont (4 , 10). Quelle est sa règle ? 3 Les zéros sont -1 et 3, donc x1 = - 1 et x2 = 3 - 1 Déterminons les binômes : f(x) = a (x - x1) ( x - x2) Remplaçons : f(x) = a (x + 1) (x - 3) Coordonnées du point : ( 4 , 10 ), donc à ce point : x = 4 y = 10 4 10 4 f(x) = a (x + 1) (x - 3) Remplaçons : = a ( + 1) ( - 3)

11. 10 = a (4 + 1) (4 – 3) 10 = a X 5 X 1 Calculons : 10 = 5a 2 = a Sachant que a = 2, x1 = - 1 et x2 = 3 f(x) = a (x – x1) ( x – x2) f(x) = 2 (x – -1) ( x – 3) f(x) = 2 (x + 1) (x – 3) f(x) = 2 (x2 - 2x – 3) Développons : f(x) = 2x2 - 4x – 6