２－１惑星と人工衛星

1. ２－１惑星と人工衛星 万有引力 ケプラーの第一法則：楕円軌道 ケプラーの第二法則：面積速度一定 　　　　　　　　　　　　　　（角運動量一定） ケプラーの第三法則：周期の2乗と軌道長軸半径の３乗の比 　　　　　　　　　　　　　　は一定

2. ２－１惑星と人工衛星 このような力を中心力という。 万有引力は中心力である。 そして保存力である。 ポテンシャルエネルギーは Ｆを満たす運動の軌道を調べよう。

3. ２－１惑星と人工衛星 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　とおく。 中心力だから、 　　　　　　　　　　　　　　であり、　　　　

4. ２－１惑星と人工衛星 よって、 　　　　これを角運動量保存則という 中心力の場合、常に角運動量は一定であり保存する。 角運動量ベクトルは　　　　　　　　　　　である。 問：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　のとき、 運動量ベクトル成分を求めよ。 角運動量ベクトル成分を求めよ。 　　　　　　　　のとき、角運動量が保存することを確かめよ。　　　

5. ２－１惑星と人工衛星 問：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　のとき、 運動量ベクトル成分 角運動量ベクトル成分 もし、　　　　　　　　　　　なら

6. ２－１惑星と人工衛星 再び、 だから、大きさを比較して 　　　　　　　　　　を使うと、

7. ２－１惑星と人工衛星 よって、中心力 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　から、 　　　　　　　　　　　　　　　　角運動量一定が得られ、 rの運動について が得られる。 この式は難問です・・・・・・　　　

8. ２－１惑星と人工衛星ー宿題 問　　　　　　　　　　　　　　　　は 　　　　　　　　　　　　　　　　　　を満たす関数である。 　　　　　ＤをL,m,M,Gで表せ。 問　以下の条件での　　　　　　　　　　　　ｒの軌道の絵をかけ。　 ε＝0のとき　　　 ε ＜１のとき　　　 ε ＞１のとき

9. ２－１惑星と人工衛星 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　は 　　　　　　　　　　　　　　　　　　を満たす。 ε＝0のとき円軌道 ε ＜１のとき楕円軌道 ε ＞１のとき双曲線軌道 軌道の形は運動エネルギー（速度）によって決まる。

10. ２－１惑星と人工衛星 ＸＹ平面上で　　　　　　　　　　　　　の絵を描け。

11. ２－１惑星と人工衛星 運動エネルギーを考えよう。　　　

12. ２－１惑星と人工衛星 ε＝0のとき運動エネルギー最少 ε 大きくなると運動エネルギー大きくなる。

13. ２－１惑星と人工衛星 Kとεの関係をもっと調べよう　

14. ２－１惑星と人工衛星 ε＝0のとき運動エネルギー最少 もともとポテンシャルエネルギーは だから、 ε 大きくなると運動エネルギー大きくなる。 　　　　　　　　　　になる条件は

15. ２－１惑星と人工衛星 になるチャンスは、　　　　　　のとき。 楕円、円運動ではK＋Ｕ<0　無限遠方には行くことができない。 　　　　　のときはじめて、重力ポテンシャルに打ち勝って無限の彼方に行くことができる。その時の運動エネルギーは、 地球上では、 速度は　　　　　　　　　　　から、　　　　

16. ２－１惑星と人工衛星 　　　　　　　　　　　を第二宇宙速度という。 既に出た、　　　　　　　　　　　を第一宇宙速度という。 問：第一宇宙速度と第二宇宙速度の意味を考えよ。 問：双曲線軌道をとり地球に近づいた小惑星は、地球をの近くを通り過ぎた後、再び地球に近づくのはいつか？　

17. ２－１惑星と人工衛星 m r R 地球M 地球を周回する人工衛星問題を纏めよう。 シャトルに地球が及ぼす力は、 　　　　　　　　　　　　　　　　である。 r~Rなら、 加速度の大きさ 角速度は 線速度は 周期は 第一宇宙速度 7.9 km/s =5060 s !

18. ２－１惑星と人工衛星 m r R 地球M 一般の場合： 力は、 加速度の大きさ 角速度は 線速度は 周期は ケプラーの第3法則

19. ２－１惑星と人工衛星 m r R 地球M 再び地上すれすれの人工衛星の場合　ｒ～Ｒ 速度： 運動エネルギー： ポテンシャルエネルギー

20. ２－１惑星と人工衛星 m r R 地球M エネルギーの考え方： Ｕ＝０：　地球の重力の及ばない無限遠方 K＋Ｕ＜０　　地球の重力に捕まっている運動。 　　　　　　　　無限遠方には決して行けない。 K＋Ｕ＝０　　地球の重力ポテンシャルエネルギーに 　　　　　　　　丁度打ち勝つ運動エネルギーを持つ運動。 　　　　　　　　無限遠方で運動エネルギーゼロ。 K＋Ｕ＞０　　地球の重力ポテンシャルエネルギーに 　　　　　　　　遥かに打ち勝つ運動エネルギーを持つ運動。 　　　　　　　　無限遠方で運動エネルギー正。

21. ２－１惑星と人工衛星 m r R 地球M の場合はどうか？ K＋Ｕ＜０　　地球の重力に捕まっている運動。 　　　　　　　　無限遠方には決して行けない。 である。 の場合はどうか？ K＋Ｕ＝０　　地球の重力ポテンシャルエネルギーに 　　　　　　　　丁度打ち勝つ運動エネルギーを持つ運動。 　　　　　　　　無限遠方で運動エネルギーゼロ。 である。 第二宇宙速度

22. ２－１惑星と人工衛星 m r R 地球M 再び一般の場合： 周期は： 地球の自転周期をＴ０とする。 Ｔ＝Ｔ０の場合のｒは？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　は静止衛星の地球の中心からの距離。

23. 演習問題－４３ 問1 XY平面上を一定角速度で円運動している質量1kgの物体がある。その位置をと表したとき、以下を求めよ。 なお、ベクトル量についてはその大きさと向きを示せ。 (1) 運動量 (2) 物体に働く力 (3) 運動エネルギー (4) 物体が軌道を1周したときに受け取る仕事 (5) 角運動量

24. 演習問題－４４ 問2 楕円軌道をとって地球を周回する質量mの人工衛星がある。その軌道の近地点を地球中心からra 、遠地点をrb としたとき、以下の各問に答えよ。必要なら、万有引力定数G 、地球の質量M を用いよ。(1) 近地点および遠地点での人工衛星の速度va およびvb を求めよ。(2) 近地点での重力によるポテンシャルエネルギーUa と人工衛星の運動エネルギーEa を求め、その和Ua+ Ea が負であることを示せ。(3) 遠地点で軌道の接線方向に人工衛星を加速し、地球の引力圏を脱出させるには、速度vb を何倍にする必要があるか求めよ。

25. 演習問題－４５ 問3 空気抵抗は保存力ではないことを説明せよ。

26. 演習問題－４６ 問4 質量mの物体が以下の力Fを受けて右図の経路A-B-O-Aを一巡したとき、物体が受け取る仕事を求めよ。(1) F = (-y, -x)(2) F = (-y, x)

27. 演習問題－４７ 問5 平らな路面を直進する質量mの自動車が時刻0でエンジンを切った。このとき速度はv0 であった。速度に比例する空気抵抗-Cv を受けて自動車は次第に減速する。エンジンを切ってからも車は直進を続け、車と路面との摩擦はないものとする。(1) 時刻tのときの自動車の速度vに対する運動の式を書け。(2) エンジンを切ってから自動車が減速しついには停止するまでの距離を求めよ。(3) 自動車を停止させるために空気抵抗がした仕事の大きさを求めよ。

28. ２－２加速度系での運動 という外積ベクトルが角運動量ベクトル。 Ｘ－Ｙ平面を半径ｒ角速度ωで運動している質量ｍの物体の角運動量は 角運動量の大きさは、質量に比例する。角速度に比例する。 半径の２乗に比例する。半径が大きいほうが運動量大きい。

29. ２－２加速度系での運動 さらに　　　　　　　　　　　　を力のモーメントという。 力Ｆと位置ベクトルｒの向きが平行か反平行なら必ず、 よって、 力のモーメントはゼロ、角運動量ベクトルは時間不変。

30. ２－２加速度系での運動 力の向きが、位置ベクトルと反対向きの場合を中心力 という。 例）円運動、バネの運動など 中心力で運動する物体の角運動量は不変である。 　　　　　　　　　ー角運動量保存則ー 地球周回運動する衛星に働く力は地球の中心向きであり角運動量は保存する。角運動量の大きさは、 ケプラーの第2法則

31. ２－２加速度系での運動 ω0 m 2b 問：右図のように紐に質量ｍの物体をつけて回転運動をさせる。始め紐の長さは２bである。角速度をω0とした。 １．物体ｍに働く力の大きさと向きを書け。 ２．物体ｍの速度の大きさと向きを書け。 ３．物体ｍの運動量の大きさと向きを書け。 ４．物体ｍの運動エネルギーの大きさを書け。 ５．物体ｍの角運動量の大きさと向きを書け。 ６．紐を引っ張る力Ｔの大きさと向きを書け。 Ｔ

32. ２－２加速度系での運動 ω0 m 2b ω m b 問：次に中心方向に紐を引っ張って半径を半分のbにしたところ、角速度はωになった。 ７． ωを求めよ。 ８．物体ｍの速度の大きさは何倍になったか？ ９．物体ｍの運動エネルギーは何倍になったか？ １０．紐を引っ張る力Ｔの大きさは何倍になったか？ １１．運動エネルギーの変化を議論せよ。 Ｔ

33. ２－２加速度系での運動 ω0 m 2b ω m b ７． 中心力は角運動量を変えないから、 ８．速度は　　　　　から　　　　に2倍になった。 ９．運動エネルギーは４倍になった。 １０．紐を引っ張る力Ｔの大きさは 　　　　　　　　　から　　　　　　　　へ8倍になった。 １１．運動エネルギーの変化： 半径をｒとすると、 張力は 運動エネルギーはＷ仕事分だけ増加した。 Ｔ

34. ２－２加速度系での運動 ω0 m 2b ω m b 右図のように紐に質量ｍの物体をつけて角速度 ω0の回転運動をさせる。始め紐の長さは２bで ある。そして中心方向に紐を引っ張って半径 を半分のbにしたところ、角速度ωは4倍の、 4ω0になった。そして、線速度vは2倍の4bω0に なった。 あなたが、物体ｍの中に居るとしよう。 紐で引っ張られて中心方向に移動すると、上述の ように物体の移動速度が大きくなる。あなたは物理 を良く勉強しているので、物体ｍが進行方向に押さ れて速度が速くなったと思うだろう。しかし、実際は 物体ｍは中心方向にしか引っ張られていない。 不思議ではないか！ Ｔ

35. ２－２加速度系での運動 ω0 m r ω m b 時刻ｔにおいて物体は中心から位置ｒのところ にいるとする。そして一定速度-ｖで中心方向に 引っ張られているとしよう。 物体の角運動量が時間にたいして一定である特徴をつかって解析してみよう。 　　　　　　　　　　である。Ｌは時間に対して一定だから Ｔ

36. ２－２加速度系での運動 　　　　　　　は物体の回転方向の運動量の時間微分なので 回転方向に働く力である。 とは、回転方向に　　　　　　　　の力が働くことを意味している。 これを コリオリ　力 という。 コリオリ力によって回転方向の速度がどのように変化するかを調べよう。

37. ２－２加速度系での運動 角運動量保存とは、 だから、 回転線速度の変化率は、　　　　　　　　　　　　　　　　である。 上の関係式を用いると、 となる。よって、紐が2bからbまでの線速度の変化分△（rω)は、

38. ２－２加速度系での運動 だから、　　　　　　　　であり、線速度の変化分△（rω)は、 紐が2bのとき、線速度は　　　　　だったから、 紐がbになったときの線速度は　　　　　である。

39. ２－２加速度系での運動 問　あなたは小さな一定角速度ωで反時計回りに回転している大きな平らな円盤の上＆端に立っている。 １）今、あなたは速度ｖで円盤の上を円盤の中心に向かって走り出したとする。あなたが受ける力の大きさと向きを答えよ。 ２）円盤の中心に到達したあなたは、今度は元いた地点に向かって、同じく速度ｖで走り出した。ことき、あなたが受ける力の大きさと向きを答えよ。

40. ２－２加速度系での運動 問　質量mの小さな固い物質が等速度vで ｘ軸に平行に走っている。時刻ｔ＝0でＹ軸上 r0の地点に達したとき、青い固い巨大な壁に ぶつかり、非常に小さい△ｔ秒間を要して反 射し、向きをＹ軸方向に変えて同じ速度vで 運動を続けたとする。 １）ｔ＜0のとき、物質の位置と運動量の ｘ、ｙ成分を書け。 ２）ｔ＞0のとき、物質の位置と運動量の ｘ、ｙ成分を書け。 ３）壁との衝突により物質ｍが受ける力積のｘ、ｙ成分を書け。 ４）ｔ＜0のとき、物質の角運動量の大きさと向きを書け。 ５）ｔ＞0のとき、物質の角運動量の大きさと向きを書け。 ６）壁との衝突により物質ｍが受ける力のモーメントの 衝突している時間の合計の大きさと向きを書け。

41. ２－２加速度系での運動 問　質量mの小さな固い物質が等速度vで ｘ軸に平行に走っている。時刻ｔ＝0でＹ軸上 r0の地点に達したとき、青い固い巨大な壁に ぶつかり、非常に小さい△ｔ秒間を要して反 射し、向きをＹ軸方向に変えて同じ速度vで 運動を続けたとする。 １）ｔ＜0のとき、物質の位置と運動量 ２）ｔ＞0のとき、物質の位置と運動量の ３）壁との衝突により物質ｍが受ける力積のｘ、ｙ成分を書け。 ４）ｔ＜0のとき、物質の角運動量の大きさと向きを書け。 　　　　　　紙面上向き

42. ２－２加速度系での運動 問　質量mの小さな固い物質が等速度vで ｘ軸に平行に走っている。時刻ｔ＝0でＹ軸上 r0の地点に達したとき、青い固い巨大な壁に ぶつかり、非常に小さい△ｔ秒間を要して反 射し、向きをＹ軸方向に変えて同じ速度vで 運動を続けたとする。 ５）ｔ＞0のとき、物質の角運動量の大きさと向きを書け。 ゼロ ６）壁との衝突により物質ｍが受ける力のモーメントの 衝突している時間の合計の大きさ（時間積分）と向きを書け。

43. 次週予告 中間試験範囲の講義は本日で終了した。 次週はこれまでに出題した演習＆宿題の中から、いくつかの問題を選んで解説する。 教室変更：L1321 → 11号館5階 多目的会議室 また、本日までに出題した演習＆宿題の解答期限を次週の講義開始時までとする。未解答や誤答の問題が残っている者は、修正を済ませておくこと。 補習（参加任意）のお知らせ　11月24日（水）3,4限　 L0014 対象：再履修学生及び自力で演習＆宿題を解くことが困難な学生

44. 演習問題－５２ 問1 質量m の質点が位置座標 (x, y, z) で持つポテンシャルエネルギーV (x, y, z) が次のように与えられた時、質点に働く力F および原点のまわりの力のモーメントN を求め、角運動量保存則が成り立つか否か調べよ。 (1) V (x, y, z) = -kxyただし、k は正の定数。(2) V(x, y, z) = -m/rただし、r は原点と点(x, y, z) との距離。

45. 演習問題－５３ 問2 質量m の物体が原点からの中心力f (r) r と速度に比例する抵抗力 -k (dr/dt ) を受けて運動している。原点のまわりの角運動量Lを求めよ。ただし、時刻t = 0 のときL = L0 とする。

46. 演習問題－５４ 問3 (1) あなたが日常生活の中で感じた力のモーメントについて述べよ。 (2) あなたが日常生活の中で感じた角運動量について述べよ。

47. 演習問題－５５ 問4 一定の加速度a で右向きに直進している電車の中に質量m の錘をつけた紐をぶら下げた。以下の各問に答えよ。(1) 電車の外にいるK君からは、錘は右向きに運動しているように見える。運動方程式を立て、紐が鉛直線となす角θ を求めよ。(2) 電車の中にいるY君からは、錘は静止しているように見える。 力のつりあいの式を立て、慣性力Fを求めよ。(3) 電車が振動無く滑らかに加速し、すべての窓が完全に塞がれていれば、Y君は自分が加速度運動しているか否か判断できないだろう。Y君は自分の置かれた状況をどう考えるだろうか。

48. 演習問題－５６ 問5 一定角速度ω で反時計方向に回転する半径R の円板上に乗ったK君とY君が質量m のボールを使ってキャッチボールをする。空気抵抗および重力による鉛直方向の運動は無視し、水平面内のボールの運動について以下の各問に答えよ。(1) 円の中心にいるK君が円周上にいるY君に向かって速度v でボールを投げた。ボールの軌跡を図示せよ。 ω v Y K

49. 演習問題－５６ 問5（続き） (2) 円周上にいるY君が円の中心にいるK君に向かって速度v でボールを投げた。ボールの軌跡を図示せよ。(3) K君とY君はお互い円周上の180°離れた位置にいる。Y君がK君に向かって速度v でボールを投げた。ボールの軌跡を図示せよ。 ω Y v K ω v Y K

50. 中間テスト １．日時： 12月16日(木)　４，５限　 ２．場所： 1321番教室 ３．試験範囲： 　　教科書1部及び2部、及び11月25日までの内容。 ４．注意： 　　・集合時刻厳守のこと 　　・途中退出は認めない 　　・全員受験必須 　　・資料持込不可