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変換群論特論

変換群論特論. 第 6 回 2012 年 5 月 24 日. 2.5 運動の合成. 2.5 運動の合成. 平面運動 f , g の 合成 f  g とは を続けて行った平面運動 平面運動の合成もまた , 平面運動である . ( )  x , y   2 に対し d ( f  g ( x ), f  g ( y )) = d ( f ( g ( x )), f ( g ( y ))) = d ( g ( x ), g ( y )) = d ( x , y ) q.e.d .

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変換群論特論

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Presentation Transcript

  1. 変換群論特論 第6回 2012年5月24日

  2. 2.5 運動の合成

  3. 2.5 運動の合成 • 平面運動 f, gの合成fgとは を続けて行った平面運動 • 平面運動の合成もまた, 平面運動である. () x, y  2に対し d(fg(x), fg(y))= d(f(g(x)), f(g(y))) = d(g(x), g(y)) = d(x, y) q.e.d. Note: q.e.d. は Quod Erat Demonstrandum の略

  4. 2.5.1 対称変換の合成 問 2.7.直線 , mに関する対称変 換をそれぞれ S, Smとするとき, 合 成 SmSは次のようになることを示 せ. 　　　　のとき. のとき. 解.変換により, 平面上の点 A が と移されるものとする.

  5. 2.5.1 対称変換の合成 問 2.7.直線 , mに関する対称変 換をそれぞれ S, Smとするとき, 合 成 SmSは次のようになることを示 せ. のとき. のとき. 解.変換により, 平面上の点 A が と移されるものとする.

  6. 2.5.1 対称変換の合成 問 2.7.直線 , mに関する対称変 換をそれぞれ S, Smとするとき, 合 成 SmSは次のようになることを示 せ. 　　　　のとき. のとき. 練習 練習3直線 , m, nが1点で交わっているとき, はどのような運動か. (2.5), (2.6) を右から読むと, 移動や回転を対称変換の合成に分解する公式とも読める.

  7. 余談 E. Cartanの定理 n-次元Euclid空間の任意の等長変換は　高々n個の対称変換の積で表される.

  8. 2.5.2 回転の合成 問 2.8.点 A の回りの角  の回転 をRA,点 B の回りの角  の回転 をRBとするとき, 合成 RA RB は次のようになることを示せ. A=B のとき. AB かつ +2 のとき. AB かつ +=2 のとき 解.

  9. 2.5.2 回転の合成 問 2.8.点 A の回りの角  の回転 をRA,点 B の回りの角  の回転 をRBとするとき, 合成 RA RB は次のようになることを示せ. A=B のとき. AB かつ +2 のとき. AB かつ +=2 のとき 解. • (2.6) より RA =SmS, RB =SpSnと表せる. • m = AC = b,  = p = AB = c, n = BC = aととれる • RA RB =SbScScSa= RC+

  10. 2.5.2 回転の合成 問 2.8.点 A の回りの角  の回転 をRA,点 B の回りの角  の回転 をRBとするとき, 合成 RA RB は次のようになることを示せ. A=B のとき. AB かつ +2 のとき. AB かつ +=2 のとき 解.

  11. 2.5.3 複素数表示を用いた回転の合成 • 複素数平面上に zをとって　　　　　　　　　　　　　　を式で表す • A  a, B  b , p = ei, q = eiとおく. • (2.2) より RB(z) = q(zb)+b, RA(w) = p(wa)+a. • w = RB(z) より (RA RB)(z) = p((q(zb)+b)a)+a = pqzpqb+pbpa+a • これが pq(zc)+c (C の回りの回転) と表されたとする pqb+pbpa+a= pqc+c (1p)a+p(1q)b = (1pq)c • pq 1 のとき　　　　　　　　　　　　　　　　　　として(RA RB)(z) = pq(zc)+c • pq= 1 のとき　　　　　　　　　　　　　　として　(RA RB)(z) = z + 2u

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