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1.2 n 阶行列式的定义

1.2 n 阶行列式的定义. 一、 n 级排列及奇偶性. 定义 1.1. 由数 1,2,…,n 组成的一个有序数组，称为一个 n 级排列. 由 1,2,…,n 所组成的所有不同的 n 级排列共有 n! 个 . 1 2 … n 是唯一的一个按从小到大次序组成的排列 , 称为 n 级标准排列. 例如 ,3 级排列共有 6 个不同的排列，即 1 2 3 2 3 1 3 1 2 1 3 2 2 1 3 3 2 1. 其中 1 2 3 是 3 级标准排列. 定义 1.2. 逆序数为偶数的排列称为 偶排列 ，逆序数为奇数的排列称为 奇排列. 例 1. 例 2.

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1.2 n 阶行列式的定义

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  1. 1.2 n阶行列式的定义

  2. 一、n级排列及奇偶性 定义1.1 由数1,2,…,n组成的一个有序数组，称为一个n级排列. 由1,2,…,n所组成的所有不同的n级排列共有n!个. 1 2 … n是唯一的一个按从小到大次序组成的排列,称为n级标准排列. 例如,3级排列共有6个不同的排列，即 1 2 3 2 3 1 3 1 2 1 3 2 2 1 3 3 2 1 其中1 2 3是3级标准排列.

  3. 定义1.2 逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列.

  4. 例1 例2

  5. 定义1.3 将一个排列中某两个数的位置互换而其余的数不动，就得到另一个排列，这种对排列的变换方法称为对换. 例如，排列2413经过2与3兑换后，就得到排列3412；排列32415经过2与1兑换后，就得到排列31425. 由计算逆序数可知，奇排列2413变成了偶排列3412；而偶排列32415却变成了奇排列31425.

  6. 当 时， 经对换后 的逆序数增加1 , 的逆序数不变; 除 外，其它元素的逆序数不改变. 定理1.1 任一排列经过一次对换后必改变其奇偶性. 证明 设排列为

  7. 现来对换 与 当 时， 经对换后 的逆序数不变 ， 的逆序数减少1. 因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性. 设排列为

  8. 次相邻对换 次相邻对换 次相邻对换 所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变 奇偶性.

  9. 二、三阶行列式展开式的规律 三阶行列式 规律 （1）三阶行列式是行列式中取自不同行、不同列的三个元素乘积的代数和（共有3!=6项）

  10. （2）每项中三个元素的行指标构成一个三级排列，在式（2.6）中，行指标的排列都是标准排列1 2 3，列指标构成的三阶排列各不相同，因此式（2.6）中每项的一般形式为：

  11. 例如 列标排列的逆序数为 偶排列 列标排列的逆序数为 奇排列

  12. 三、n阶行列式的定义 定义1.4

  13. 例3计算上三角行列式

  14. 解 分析 展开式中项的通项是 其中不为零的项只有

  15. 行列式的不同表示方法 设 是取定的某一固定排列 设 是取定的某一固定排列 特别 取定标准排列

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