第二章解析函数

第二章解析函数 • 第一节导数 • 第二节解析函数 • 第三节解析函数的变换性质 • 第四节平面标量场

第一节导数 • 导数的定义设f(z)是定义在区域B上的单值函数，若在B内某点z0，极限存在，则称函数f(z)在z0点处可导，并称该极限值为函数f(z)在z0点处的导数或微商，记为

说明如果函数f(z)在区域B内的每一点可导，则称f(z)在区域B内可导两个例子：1. 求dzn/dz=nzn-1 2. 求证ω=z*在z平面上处处连续，但处处不可导可导必连续

求导法则

ω=f(z) Argf '(z0) 几何意义导数f '(z0)的幅角Argf '(z0)是曲线经过ω=f(z)映射后在z0处的转动角

ω=f(z) 导数f '(z0)的模|f '(z0)|是经过ω=f(z)映射后通过z0的任何曲线在z0的伸缩率

设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域B内一点z=x+iy可导，那么有必要条件 • Cauchy-Riemann条件逆命题不成立 f(z)在z=0处不可导

设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，若u(x,y)和v(x,y)在(x,y)处满足那么f(z)在z=x+iy处可导。充分条件逆命题不成立其实部在原点不连续

设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域B内一点z=x+iy可导的充分必要条件是充分必要条件

导数的计算公式 设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在点z=x+iy可导，那么极坐标下的Cauchy-Riemann条件

举例

1. 解析与可导的关系 函数在某点解析，则必在该点可导；反之不然在区域B内的解析函数在B内可导第二节解析函数 • 解析函数的概念设函数f(z)在点z0的某邻域内处处可导，则称函数f(z)在点z0处解析；又若f(z)在区域B内的每一点解析，则称f(z)在区域B内是解析函数说明 2. 称函数的不解析点为奇点

设函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，若u(x,y)和v(x,y)在B内满足那么f(z)在B内解析。 3. 解析函数的充分必要条件函数 f(z)在区域B内解析当且仅当(1)实部和虚部在B内可微；(2)实部和虚部在B内每一点满足Cauchy-Riemann条件 4. 解析函数的充分条件

性质1：设函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在B内解析，则u(x,y)=C1，v(x,y)=C2是B内的两组正交曲线 • 解析函数的主要性质举例红:实部兰:虚部

虚部虚部实部实部性质2：若函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是区域B内的解析函数，则u(x,y)和v(x,y)均为B内的调和函数举例最大和最小值只能在边界上达到

例2：已知某解析函数 f(z)的虚部 求该解析函数。 • 给定实部或虚部，求解析函数例1：已知某解析函数 f(z)的实部u(x,y)=x2-y2，求该解析函数。

ω=f(z) 第三节解析函数的变换性质 • 解析函数是一个保角映射解析函数非解析函数： ω=Rez

v y B O u O x 解析函数可以将z平面上的一个区域变换为ω平面上的一个区域，其中区域的边界变换为区域的边界，甚至保持边界的方向不变；同时区域的内部变换为区域的内部 • 解析函数将z平面上的区域变为ω平面上的区域 D ω=f(z)

y v y /3 f(z)=z3 O O O x v u x ia O u 举例

η y D B O  O x 设ω=f(z)是某区域B内的解析函数，它将z平面上的区域B变为ω平面上的一个区域D，而将B上的函数u(x,y)变为u(ξ,η)，则有 • 在解析变换下调和方程式不变的 u(x,y) u(ξ, η) ξ ω=f(z)

取定垂直于某方向的平面为XOY平面，其上的点用z=x+iy来表示，于是场中每一个具有分量Ax，Ay的向量可表为取定垂直于某方向的平面为XOY平面，其上的点用z=x+iy来表示，于是场中每一个具有分量Ax，Ay的向量可表为第四节平面标量场 • 用复变函数表示平面标量场在物理及工程中常常要研究各种各样的场，如电磁场、声场等，这些场均依赖于时间和空间变量。若场与时间无关，则称为恒定场，如静电场、流体中的定常流速等。若所研究的场在空间的某方向上是均匀的，从而只需要研究垂直于该方向的平面上的场，这样的场称为平面场。

设向量场是不可压缩的（即流体的密度是常数）定常的理想流体的流速场设向量场是不可压缩的（即流体的密度是常数）定常的理想流体的流速场其中速度分量u(x,y)和w(x,y)具有连续的偏导数。 • 平面流速场

如果该流速场是无旋场，即 则存在速度势函数φ(x,y)，使得如果该流速场是无源场，即 C-R条件流速场的复势则存在流函数ψ(x,y)，使得

设平面静电场 如果该静电场是无源场，则存在标量函数u(x,y)，使得如果该静电场是无旋场，则存在标量函数v(x,y)，使得其中静电场分量Ex(x,y)和Ey(x,y)具有连续的偏导数。 • 静电场 C-R条件静电场的复势

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