第三节 复合函数的导数

1. 第三模块 函数的微分学 第三节　复合函数的导数 一、复合函数的求导法则 二、复合函数的求导举例

2. 一、复合函数的求导法则 定理2设函数y = f (u)， u =  (x) 均可导， 则复合函数y = f ( (x)) 也可导. 且 或 或

3. 证　设变量 x 有增量 x， 　　　　　　　　　　　　　 相应地变量 u 有增量 u， 从而 y 有增量 y. 由于 u 可导， 即

4. 推论设y = f (u) ， u =  (v)， v =  (x) 均可导，则复合函数y = f [ ( (x))] 也可导， 且

5. 二、复合函数求导举例 例 1　设 y = (2x +1)5，求y . 将 y = (2x + 1)5看成是 解　把 2x + 1 看成中间变量u， y = u5，u = 2x + 1 由于 复合而成， 所以

6. 例2　设 y = sin2 x，求y . 解　这个函数可以看成是 y = sin x · sin x, 可利用乘法的导数公式， 这里， 我们用复合函数求导法. 将 y = sin2 x 看成是由 y = u2，u = sinx 复合而成. 而 所以

7. 例3　设 y = etan x，求y . 解y = etan x 可以看成是由 y = eu，u = tan x 复合而成， 所以 　　复合函数求导数熟练后，中间变另可以不必写出.

8. 例4 求y . 解　将中间变量 u = 1 -x2 记在脑子中. 这样可以直接写出下式

9. 例5　设 f (x)= arcsin(x2)，求f (x). 解

10. 例6 求y . 解　这个复合函数有三个复合步骤 把这些中间变量都记在脑子中．

11. 求y . 例7 解

12. ,求y . 例8 解　先用除法的导数公式，遇到复合时，再用复合函数求导法则.

13. 求y . 例9　设 y = sin(xln x)， 解　先用复合函数求导公式， 再用乘法公式 y= cos(xln x) · (xln x) = cos(xln x) · (x · (ln x)+x  ln x ) = (1 + ln x)cos(x ln x) .

14. 然后又会遇到复合函数 的求导. 例10 解　先用复合函数求导公式， 再用加法求导公式，

15. 求y . 例11　设 y = sh x， 解 即 (sh x)  = ch x . 同理可得 (ch x)  = sh x .

16. 补证一下 (x) = x -1 . (x) = (elnx) 所以 = elnx · (ln x) 

17. 求证： 例12 证明

18. 代入等式左边得 所以有