再掲：講義資料の所在 (URL)

Ver.2 再掲：講義資料の所在 (URL) • 下のＵＲＬは「情報数学」シラバスの「履修上の注意」に掲載されています。 • 後藤研のＷＥＢページ（日本語）の「後藤先生担当の講義」から辿ることもできます。 http://www.goto.info.waseda.ac.jp/~goto/infomath.html ここに ~ が必要

参考書（金曜日・後藤担当分） • 講義資料の多くの部分を作成した上田先生の参考文献（１） J. マトウシェク, J. ネシェトリル著根上生也, 中本敦浩訳「離散数学への招待　上」　　　　シュプリンガー・フェアラーク東京　ISBN 4-431-70896-0 （２）M.A.アービブ, A.J.クフォーリ, R.N.モル著甘利俊一, 金谷健一, 嶋田晋訳「計算機科学入門」 (Information & Computing 1）　　　　サイエンス社 ISBN4-7819-0375-4 • 後藤が教材を追加した際に参照した文献（３）守屋悦朗「コンピュータサイエンスのための離散数学」 (Information & Computing 61)　　　サイエンス社 ISBN 4-07819-0643-5（４）小野寛晰「情報代数」情報数学講座第2巻　　　共立出版　ISBN 4-320-02652-7

演習問題の解答はスライドに掲載せず • 例外として次を解説「ラッセルのパラドックス」 • 集合Ｘを次のような「もの」の集まりとするＸの要素は「自分自身を要素として含まない集合」である［説明］Ｘは集合である。ＸはＸ自身を含むか、含まないか、いずれかである。もし　　　とすると　　　　　となる。すなわちＸはＸを含むから定義によりＸはＸの要素ではありえない。これは矛盾。一方　　　とすると、ＸがＸ自身を含まないのであるから、定義によりＸはＸの要素となる筈である。これは矛盾。

写像 (map) または関数 (function) • ＡとＢを集合とする • f がＡからＢへの写像 (map) または関数 (function) であるとは • ｆがＡの各要素に対して、Ｂのただ一つの要素を対応させる規則であること［例題］実数ｘにｘの実数平方根を対応させる規則上の対応規則は関数（写像）ではない。

関数と関数空間 Aの要素にB の一つの要素を対応づける規則f Aから Bへの写像（関数）全体の集合 • 集合Ｂの要素の中でｆの像になっている要素の集合　　　　　　　　　をｆの値域 (range)という。 • 　　　　を　　と書くことがある。説明は後述。定義域（始集合）domain 終集合codomain (値域と区別)

関数のグラフ • 関数の内包的定義： • 外延的定義：これを関数のグラフというのグラフとは • グラフは直積ＡＸＢの部分集合である • グラフが同じ関数は等しい（外延的な等しさ） A B

単射と全射 論理記号　ならばimplies • 写像 (関数) 　　　　　が任意の　　　　　に対して、　　　　　　　　　　　という性質を満たす時に単射という。１対１写像ともいう。上の性質は　　　　　　　　　　　とも書ける。 • 写像 (関数) 　　　　　が、任意の　　　に対して　　　　なる　　　　が存在する時に全射という。上への写像ともいう • 全射かつ単射である写像を全単射という。［例］　　　　　を　　　　　と定めると、全単射となる

関数と部分関数 論理記号　同値 • 条件②が成り立たない場合は部分関数(部分写像)

多変数の関数（多引数の関数） • 2引数関数の考え方 • 直積の上の1引数関数と同一視 • xだけ指定すると yに関する1引数関数になる．つまりを満たすような関数（＝ xを与えると「yに関する1引数関数」を返す関数）を考えることができる (currying) • と　は対等 • 2次元配列は1次元配列の配列 (プログラム) • 0引数関数というのは定数のことである • 数学ではあまり見ないがプログラムで使う

配列と関数 • プログラムでは区別がある。数学的には同一視できる。 • n要素の一次元配列： • を定義域 (domain) とし、　　を終集合とする関数上の二つは対等（同一視可能）． • 集合論では自然数を　　　　　　　　　と定義 • 上の見方は　　という表記と合致する

部分集合と特性関数 • （または）ととは同じ意味 • 集合 Aの部分集合を一つ与えることはに属する関数を一つ決めることと同じ • つまりととは対等 • 部分集合 Sに対応する関数のことをSの特性関数 (characteristic function) という black 0 magenta 0 red 1 blue 1 cyan 0 yellow 1 green 0 white 0

集合族 (family of sets) • プログラミングでは配列が便利である。集合に添字をつけることがある。 • 添字の種類は有限でも無限でもよい。自然数でなくてもよい。添字の集合を Iとする集合族をと書く。 • 集合族は，実は添字 iを集合　に写像する関数に他ならない。

集合の 関数 • とするとき、 • 引数の値に応じて，返す値の型が決まる関数 • 例： nを与えると配列　　　　　が返る和集合

集合の 直和の個数を一般化したもの例：Ａがアルファベットの集合　有限長の文字列全体の集合は • 演習：I  {0,1} , A0 { 2, 3, 4 }, A1={ 3, 5 }の場合に上の定義による　　　の要素を具体的に記せ。直和

無限集合 • 無限集合の例： • 集合Ａの要素の数 |Ａ| を基数、濃度という。 • 上の例では、要素の数は無限。ただし、すべての要素にもれなく通し番号をつけることができる。 • ここで、無限の要素に必ず通し番号がつけられるかどうかは自明でない。（後述） cardinal number, cardinality potency, power

有限集合と無限集合の要素の数に注目 • 有限集合 • 無限集合 • ZとR

可算無限集合 • 「集合 Sの全要素に通し番号がつけられる」⇔ 「Sと自然数の集合Nとが対等」（　　　） • N と対等な集合のことを可算無限集合または可算集合(enumerable set, denumerable set, countable set) という。 • や　は可算無限集合である • 例題：自然数の集合Nから0を除いた集合Nー{0}とNとの間には　　　　という全単射が存在する。よって　　　　　　　である。

集合の濃度 • Aや Bが有限集合のとき， Aと Bとが対等であるための必要十分条件は　　　　である。　　　　が全射ならば　　　　単射ならば • 無限集合のときも，　　　のとき，そしてそのときに限って　　　　と書く。　，つまり一般化された個数のことを Aの濃度 (cardinarity) という。 • 数学者は　　のことをしばしば　　と書く • 例：アレフ・ゼロ • 無限集合では、自分自身の真部分集合と対等になる場合がある。例：

可算（無限）集合の例 • 素数全体の集合 • 一般に可算集合の無限部分集合は可算集合 • 自然数格子点の集合 • 有理数全体の集合 • 有限長の数列全体の集合 • 整数Z

自然数 N と整数 Z • 全単射０１２３４５６７８９－７－６－５－４－３－２－１０１２３４５６７８９

可算でない無限集合 対角線論法実数全体の集合 Rは可算集合ではない［証明の概略］R’ を 0 および正の実数の集合とする。N⊂R’⊂Rである。|N| ≦ |R’| ≦ |R| である。NからR’への全単射 fが存在すると仮定する。有限小数は 0 を付けるｆは全射であるからｒ＝ｆ（ｓ）となる自然数ｓが存在する筈。そのｄｓｓに注目する。

可算でない無限集合 ［続］r=f(s)となるsが存在する。ところでf(s)の小数点以下第(s+1)桁目は定義によりdssである。一方で、rの小数点以下第(s+1)桁目は定義によりdssであり、この二つは一致しない。 • Nの部分集合全体の集合　　は可算集合でない任意の集合Aに対して • 自然数上の関数全体の集合　　は可算集合でない～

再履修の諸君に重要な連絡 • 再履修の諸君に大切な連絡があります • できるだけ迅速に上田和紀先生にメールで連絡をすること • メールアドレスが不明の場合には、学科事務所で尋ねるか、クラス担任の先生に質問する

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