Опр. 8. Числовой последовательностью называется счетное множество чисел.

1. § 2. Последовательность Опр. 8. Числовой последовательностью называется счетное множество чисел. x1; x2; x3; …; xn;… или {xn} ОПР. 8*xn= f(n) • ОПР. 9. Последовательность называется ограниченной сверху, если ∃M <+∞, ∀nxn ≤ M • снизу , если ∃m>−∞, ∀nxn≥m ограниченной, если она ограничена сверху и снизу

2. Опр. 10. Число А называется пределом последовательности {xn} при n→∞, если Пишут: Доказать:

3. Опр. 11. Последовательность {xn} называется бесконечно большой (б.б), если Пишут: xn =n2 xn C=100 100 50 C=9 n 11 6 8 4 2

4. Опр. 12. Последовательность {xn} называется бесконечно малой(б.м.п), если то есть, если Опр. 13. Последовательность {xn} называется постоянной, если все ее члены равны одному и тому же числу

5. Свойства б.м. и б.б. последовательностей • Б.м.п. ограничена ДОКАЗАТЬ • Произведение б. м. п. на ограниченную последовательность есть б. м. п. ДОКАЗАТЬ Следствие а) Произведение двух б.м.п. есть б.м.п. б) Произведение конечного числа б.м.п. есть б.м.п. • Сумма и разность б. м. п. есть так же б. м. п.ДОКАЗАТЬ • Если б. б. п., то б.м.п. и наоборот. ДОКАЗАТЬ • Если {xn} – постоянная и {xn} – б.м.п., то xn =0 ДОКАЗАТЬ • Сумма и произведение б. б. п. есть так же б. б. п. • Еслипоследовательность {xn} ограниченная и отделимая от нуля (начиная с некоторого номера Nxn >K≠0), а {yn}– б. б. п., то их произведение б. б. п. • Если {xn} – б. б. п. и ∀nимеет место неравенство xn< yn, то {yn} – б. б. п. • Сумма б. б. разного порядка эквивалентна б.б. высшего порядка

6. Сходящиеся последовательности Опр. 14. Если существует конечный предел последовательности {xn}, то она называется сходящейся Свойства сходящихся последовательностей • Если {xn} сходится, то она имеет единственный предел. ДОКАЗАТЬ • Если , то xn =a+αn (αn– б.м.п) ДОКАЗАТЬ • Если {xn} сходится, то онаограничена. ДОКАЗАТЬ ЗАМЕЧАНИЕ: не всякая ограниченная последовательность сходится СЛЕДСТВИЕ: Всякая неограниченная последовательность расходится • Если и xn≠0 и l≠0, то – ограниченная последовательность • Пусть тогда ДОКАЗАТЬ

7. Предельный переход в неравенствах • Пусть , тогда если xn≤ yn, то l1≤l2 • «Теорема о двух полицейских»Если ∃N∀n >N:а) б)то существует предел Теорема 2. (Критерий сходимости Коши) Для того чтобы последовательность {xn} имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы ДОКАЗАТЬ

8. Предел монотонной последовательности Опр. 15. Последовательность {xn} называется - возрастающей, если ∀nxn< xn+1; обозначают (↑) • неубывающей, если ∀nxn≤xn+1; (↑) • убывающей, если ∀nxn> xn+1; (↓) • невозрастающей, если ∀nxnxn+1; (↓) Опр. 16. Возрастающая и убывающая последовательности называются монотонными Т. 3. Вейерштрасса (о существовании предела монотонной последовательности) Если последовательность {xn} монотонно возрастает (убывает) и ограничена сверху (снизу), то у нее существует конечный предел, равный sup{xn} ( inf {xn} ). ДОКАЗАТЬ