§
Download
1 / 8

Опр. 8. Числовой последовательностью называется счетное множество чисел. - PowerPoint PPT Presentation


  • 191 Views
  • Uploaded on

§ 2. Последовательность. Опр. 8. Числовой последовательностью называется счетное множество чисел. x 1 ; x 2 ; x 3 ; …; x n ;… или { x n }. ОПР. 8* x n = f ( n ). ОПР. 9. Последовательность называется ограниченной  сверху, если ∃ M <+∞, ∀ n x n ≤ M

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about 'Опр. 8. Числовой последовательностью называется счетное множество чисел.' - eliza


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript

§ 2. Последовательность

Опр. 8. Числовой последовательностью называется счетное множество чисел.

x1; x2; x3; …; xn;… или {xn}

ОПР. 8*xn= f(n)

  • ОПР. 9. Последовательность называется ограниченной сверху, если ∃M <+∞, ∀nxn ≤ M

  • снизу , если ∃m>−∞, ∀nxn≥m

    ограниченной, если она ограничена сверху и снизу


10 x n n

Опр. 10. Число А называется пределом последовательности {xn} при n→∞, если

Пишут:

Доказать:


11 x n

Опр. 11. Последовательность {xn} называется бесконечно большой (б.б), если Пишут:

xn =n2

xn

C=100

100

50

C=9

n

11

6

8

4

2


12 x n

Опр. 12. Последовательность {xn} называется бесконечно малой(б.м.п), если то есть, если

Опр. 13. Последовательность {xn} называется постоянной, если все ее члены равны одному и тому же числу


Свойства б.м. и б.б. последовательностей

  • Б.м.п. ограничена ДОКАЗАТЬ

  • Произведение б. м. п. на ограниченную последовательность есть б. м. п. ДОКАЗАТЬ

    Следствие а) Произведение двух б.м.п. есть б.м.п.

    б) Произведение конечного числа б.м.п. есть б.м.п.

  • Сумма и разность б. м. п. есть так же б. м. п.ДОКАЗАТЬ

  • Если б. б. п., то б.м.п. и наоборот. ДОКАЗАТЬ

  • Если {xn} – постоянная и {xn} – б.м.п., то xn =0 ДОКАЗАТЬ

  • Сумма и произведение б. б. п. есть так же б. б. п.

  • Еслипоследовательность {xn} ограниченная и отделимая от нуля (начиная с некоторого номера Nxn >K≠0), а {yn}– б. б. п., то их произведение б. б. п.

  • Если {xn} – б. б. п. и ∀nимеет место неравенство xn< yn, то {yn} – б. б. п.

  • Сумма б. б. разного порядка эквивалентна б.б. высшего порядка


Сходящиеся последовательности последовательностей

Опр. 14. Если существует конечный предел последовательности {xn}, то она называется сходящейся

Свойства сходящихся последовательностей

  • Если {xn} сходится, то она имеет единственный предел. ДОКАЗАТЬ

  • Если , то xn =a+αn (αn– б.м.п) ДОКАЗАТЬ

  • Если {xn} сходится, то онаограничена. ДОКАЗАТЬ

    ЗАМЕЧАНИЕ: не всякая ограниченная последовательность сходится

    СЛЕДСТВИЕ: Всякая неограниченная последовательность расходится

  • Если и xn≠0 и l≠0, то – ограниченная последовательность

  • Пусть тогда

    ДОКАЗАТЬ


Предельный переход в неравенствах

  • Пусть , тогда если xn≤ yn, то l1≤l2

  • «Теорема о двух полицейских»Если ∃N∀n >N:а) б)то существует предел

    Теорема 2. (Критерий сходимости Коши)

    Для того чтобы последовательность {xn} имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы

    ДОКАЗАТЬ


Предел монотонной последовательности

Опр. 15. Последовательность {xn} называется

- возрастающей, если ∀nxn< xn+1; обозначают (↑)

  • неубывающей, если ∀nxn≤xn+1; (↑)

  • убывающей, если ∀nxn> xn+1; (↓)

  • невозрастающей, если ∀nxnxn+1; (↓)

    Опр. 16. Возрастающая и убывающая последовательности называются монотонными

    Т. 3. Вейерштрасса (о существовании предела монотонной последовательности)

    Если последовательность {xn} монотонно возрастает (убывает) и ограничена сверху (снизу), то у нее существует конечный предел, равный sup{xn} ( inf {xn} ). ДОКАЗАТЬ


ad