Základy ekonometrie

1. Základy ekonometrie Cvičení 5 18. října 2010

2. Autokorelace • G-M předpokladu: • E(u´u) = σ2 In • dle předpokladu mají být nediagonální prvky matice E(u´u) nulové

3. Autokorelace • Porušení předpokladu: • nediagonální prky <> 0 → AUTOKORELACE • náhodné složky ui nejsou sériově nezávislé –závislost mezi hodnotami jedné proměnné • náhodnou složku lze modelovat pomocí její předchozí hodnoty (ev. hodnot) ut = ρ* ut-1+ εt

4. Příčiny autokorelace • Setrvačnost ekonomických veličin (zejm. případ ČR) • Chybná specifikace modelu (specifikační chyba se stává součástí náhodné složky) • Chyby měření • Užití zpožděných vysvětlujících proměnných • Užití údajů zprůměrovaných, vyrovnaných, intra a extrapolovaných

5. Důsledky autokorelace • odhady zůstávají nevychýlené a konzistentní • odhady nejsou vydatné ani asymptoticky vydatné • vychýlené odhady rozptylu modelu (sigma) a směrodatných chyb bodových odhadů (sbi) • intervaly spolehlivosti nejsou směrodatné • statistické testy ztrácejí na síle

6. Autokorelace I. řádu • testování vztahu: ut = ρ* ut-1+ εt , kde ρ je z intervalu <-1,1> • ρ je koeficient autokorelace • εt je normálně rozdělená náhodná složka • vztah: náhodné složky jsou generovány stacionárním autoregresním stochastickým procesem prvního řádu (AR1)

7. Vyhodnocení koeficientu ρ ut = ρ* ut-1+ εt • ρ> 0 … kladná autokorelace • ρ < 0 … záporná autokorelace • ρ = 0 … sériová nezávislost náhodných složek

8. Test autokorelace • nejznámější test: Durbin-Watsonova statistika – tj. hodnota DW • hodnoty ut nejsou známy, proto se vychází z jejich odhadu – tj. z reziduí ei • testuje se vztah: ei = r* ei-1+ vt , kde r je odhad ρ (tj. autoregresní koeficient prvního řádu)

9. Odhad regresního koeficientů prvního řádu – tj. ρ • est ρ = r ≈ 1 – (d/2) kde d je Durbin-Watsonova statistika • resp. d ≈ 2 ( 1 – r)

10. Durbin-Watsonova statistika d • vzorec třeba znát na zkoušku! • statistika d má symetrické rozdělení v intervalu <0,4> se střední hodnotou 2

11. DW statistika

12. DW statistika Negativní inklinace Pozitivní inklinace

13. DW statistika • r = 1 … d v okolí 0 … úplná pozitivní autokorelace • r = -1 … d v okolí 4 … úplná negativní autokorelace • r = 0 … d v okolí 2 … bez autokorelace Pozn: v praxi se v ekonometrii vyskytuje zejména pozitivní autokorelace

14. DW statistika • závisí na: • n … tj. počet pozorování • k … tj. počet parametrů bez úrovňové konstanty • hladině významnosti (hodnoty d tabelizovány pro 5 %)

15. Příklad • soubor eko1.xls • n = 8, k* = 2, d(l) = 0,56, d(u) = 1,78 DW = 1,95 4-d(u) = 4 – 1,78 = 2,22 DW = 1,95 je v intervalu (d(u);4-d(u)) = (1,78;2,22) a tedy autokorelace v datech eko1.xls neexistuje

16. 3 způsoby vyhodnocení autokorelace • k << n (tj. k ostře menší než n) • výpočet d přes Tools • Durbinovo h – případ zpožděné endogenní vysvětlující proměnné

17. i) k << n • k << n– pokud neplatí, pak: • d(u) v tabulkách větší než 2 • počet pozorování je příliš malý • hledáme v tabulkách počet pozorování, kdy se hodnota d(u) dostane od 2 (nutno pak zvětšit počet pozorování na zjištěnou hodnotu)

18. ii) výpočet d Reziduální součet čtverců - RSS Odhad modelu; store residuals (e) GiveWin – Tools – Algebra Editor dif1 = (ei – ei-1)…fce diff(e,1) (obecně: diff(var,lag)) dif2 = (ei – ei-1)2 … = dif1*dif1 dif3 = cum(dif2)… tj. horní sumace DW = dif3/RSS = dif3/0,073

19. iii) zpožděná endogenní proměnná v modelu • k testu autokorelace nelze užít d statistiku • model: y = f(y-1, x2, x3,)+u • změna počtu pozorování – n=7 • významnost bodového odhadu u y-1 • namísto d nutno počítat Durbinovo h

20. Durbinovo h Příklad: d = 2,23; s(b) = 0,1472, n=7 standardní chyba bodového odhadu u zpožděné endogenní proměnné DW statistika

21. Durbinovo h • h ~ N(0,1) • při dost velkém n lze užít tabulky t-rozdělení a pracovat s kvantily t-rozdělení je-li |h| < 1,96, pak autokorelace na 5-ti % hladině neexistuje h > 1,96 pozitivní autokorelace; h < - 1,96 negativní autokorelace

22. Durbinovo h • Testování hypotézy: • H(0): není autokorelace • H(1): je autokorelace

23. Dodatky • Počáteční podmínka y(0) = 0 • Centrované proměnné • Nabídka Tools

24. Počáteční podmínka y(0) = 0 • standardní lineární regresní model – tj. model s úrovňovou konstantou: Y = β0+ β1X1+ β2X2+…+ βkXk+u • chceme-li počáteční podmínku y(0)=0 – tj. za všechna X dosadíme 0, nejde o standardní lineární regresní model – model bez úrovňové konstanty

25. Počáteční podmínka y(0) = 0 Srovnej získaný výstup s předchozím výstupem • v 2. tabulce výstupu chybí řádek s F-statistikou a koeficientem determinace – tj. se statistikami, které hodnotí model jako celek • RSS s podmínkou je horší než RSS bez podmínky • pokud není počáteční podmínka zadaná, pracuje se bez ní a tedy s modelem s konstantou

26. Centrované proměnné • centrované proměnné = „normální“ proměnné – jejich střední hodnota (resp. průměr) • součet centrovaných proměnných = 0 • v dobách ručního počítání se takto zjednodušoval výpočet – dnes ztrácí smysl – tuto kapitolu je možné vynechat