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traveling salesman problem

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traveling salesman problem. ZIP-Methode Kombinatorischer Ansatz einer optimalen Lösung symmetrischer Rundreiseprobleme. traveling salesman problem. Ziel: Vorstellung eines kombinatorischen Lösungsansatzes des Rundreiseproblems Voraussetzungen: Kenntnisse der vier Grundrechenarten

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Presentation Transcript
traveling salesman problem

travelingsalesman problem

ZIP-Methode

Kombinatorischer Ansatz

einer optimalen Lösung

symmetrischer Rundreiseprobleme

traveling salesman problem1
traveling salesman problem
  • Ziel:
    • Vorstellung eines kombinatorischen Lösungsansatzes des Rundreiseproblems
  • Voraussetzungen:
    • Kenntnisse der vier Grundrechenarten
    • etwas Geduld mit dem Vortragenden ....
traveling salesman problem2
traveling salesman problem

Anlass:

Fachschullehrbuch: Mathematik für Wirtschaftswissenschaften Verlag die Wirtschaft, Berlin (DDR), 1983

- darin:

Rundreiseproblem S. 418ff.

agenda
Agenda
  • das Rundreiseproblem
  • bisherige Lösungen
  • neue Überlegungen
  • Beispiel mit 6 Knoten
  • Beispiel mit 10 Knoten
  • Beispiel mit 26 Knoten (Ergebnisse)
  • Schlussfolgerungen und Ausblick
das rundreiseproblem
das Rundreiseproblem
  • das Rundreiseproblem
  • bisherige Lösungen
  • neue Überlegungen
  • Beispiel mit 6 Knoten
  • Beispiel mit 10 Knoten
  • Beispiel mit 26 Knoten (Ergebnisse)
  • Schlussfolgerungen und Ausblick
das rundreiseproblem1
das Rundreiseproblem

Formulierung des Rundreiseproblems:

Gesucht wird die kürzeste Entfernung zwischen n verschiedenen Orten.

Dabei soll jeder Ort nur einmal aufgesucht werden und die Rundreise wieder im Ausgangsort enden.

das rundreiseproblem2
das Rundreiseproblem
  • graphentheoretische Beschreibung:
  • Graph G
    • Knoten xi
    • Kante u(xi,xj) bzw. u<xi,xj>
    • Knotengrad
    • Komponenten eines Graphs
    • Teilgraph eines Graphs (Kantenteilgraph)
    • Graphfamilie und Mächtigkeit
das rundreiseproblem3
das Rundreiseproblem
  • Laufindexe:
    • i = Laufindex des Anfangsknoten xi
    • j = Laufindex des Endknoten xj
    • k = Laufindex des Platzes einer Kante innerhalb eines Graphen
  • Kurz-Schreibweise einer Kante:
    • u(ij) i-j (Beispiel: u(2;4) 2-4)
    • f(i-j) = Ausprägung der Kante; (z.B.: Länge)
das rundreiseproblem4
das Rundreiseproblem
  • kleinster Graph:

Problem ist nicht die Berechnung des einzelnen Graphen, sondern die mit wachsenden n Knoten um je eine Fakultät ansteigenden Zahl der Graphen.

|G| = n ! bei beliebigem Anfangsknoten

|G| = (n-1)! , wenn Anfangsknoten x1 ist.

|G| = (n-1)! /2 bei Symmetrie

bisherige l sungen
bisherige Lösungen
  • das Rundreiseproblem
  • bisherige Lösungen
  • neue Überlegungen
  • Beispiel mit 6 Knoten
  • Beispiel mit 10 Knoten
  • Beispiel mit 26 Knoten (Ergebnisse)
  • Schlussfolgerungen und Ausblick
bisherige l sungen1
bisherige Lösungen
  • bisherige allgemeine optimale Lösungen:

(grundsätzlich: Überprüfung aller Lösungen)

    • Voll-Enumeration
    • begrenzte Enumeration
    • branch and bound
    • weitere ....

alle allgemeinen optimalen Lösungen nur für kleine n

bisherige l sungen2
bisherige Lösungen
  • bisherige suboptimale Lösungen:
    • viele ...
    • viele gute ...
    • viele gute, für die Praxis völlig ausreichend ...
bisherige l sungen3
bisherige Lösungen
  • Fazit zu den bisherigen Lösungen:

Soweit erkennbar, liegt das wissenschaftliche Interesse seit langem in der Entwicklung und Verbesserung von suboptimalen Lösungen, weil scheinbar optimale Lösungen erschöpfend erforscht sind.

neue berlegungen
neue Überlegungen ...
  • das Rundreiseproblem
  • bisherige Lösungen
  • neue Überlegungen
  • Beispiel mit 6 Knoten
  • Beispiel mit 10 Knoten
  • Beispiel mit 26 Knoten (Ergebnisse)
  • Schlussfolgerungen und Ausblick
neue berlegungen1
neue Überlegungen ...
  • aber zuerst eine Aufgabe für Sie:
  • Bitte schreiben Sie in beliebiger Reihenfolge die Zahlen von 1 bis 6 auf.

5

3

6

2

1

4

neue berlegungen2
neue Überlegungen ...
  • Verbindet man die Knoten, so entsteht:
  • 1-komponentiger G
  • mit 6 Kanten
  • mit 6 Knoten
  • jeder Knoten hat den Knotengrad 2

5

5

3

6

2

1

4

neue berlegungen3
neue Überlegungen ...

wir erinnern uns:

bei n = 6 

n! = 720

(n-1)! = 120

(n-1)! / 2 = 60

5

5

3

6

2

1

4

neue berlegungen4
neue Überlegungen ...

wir addieren nun die Werte der Kanten:

dabei tritt jeder Knoten zweimal auf:

5

5

3

6

2

  • alsAnfangsknoten einer Kante
  • und alsEndknoten einer Kante.

1

1

4

Und das ist vom Übel !

neue berlegungen5
neue Überlegungen ...

wenn jeder Knoten nur einmal auftritt, so entsteht aus dem ganzen Graphen:

ein Teilgraph mit

allen 6 Knoten, aber nur mit 3 Kanten:

z.B. Kanten: 1-6, 5-3, 2-4

5

5

3

6

2

1

4

neue berlegungen6
neue Überlegungen ...

... übrig bleibt ein Komplement-Teilgraph mit derselben Struktur wie der Teilgraph !

Kanten: 1-4, 2-3, 5-6

5

5

3

6

2

1

4

neue berlegungen7
neue Überlegungen ...
  • Der Graph setzt sich also zusammen:
  • aus dem Teilgraphen mit Kanten:1-6,5-3,2-4
  • und dem Teilgraphenmit Kanten:1-4,2-3,5-6

5

5

3

6

2

1

4

neue berlegungen8
neue Überlegungen ...

Wegen derselben Struktur der Teilgraphen muss die Zahl der Knoten gradzahlig sein.

(ggf. ist ein Pseudo-Knoten einzufügen.)

5

5

3

6

2

1

4

neue berlegungen9
neue Überlegungen ...
  • Symmetrie-Regel:
  • Der Anfangsknoten einer Kante hat den kleineren Laufindex als der Endknoten i < j:

f(1-6) + f(5-3) + f(2-4)

= f(1-6) + f(3-5) + f(2-4)

5

5

3

6

2

1

4

neue berlegungen10
neue Überlegungen ...
  • Sortier-Regel:
  • die Kanten werden nach dem Laufindex ihres Anfangsknoten sortiert.
  • 1. Kante2. Kante3. Kantef(1-6)+ f(3-5) + f(2-4)

= f(1-6)+ f(2-4) + f(3-5)

5

5

3

6

2

1

4

neue berlegungen11
wir erinnern uns:

Bei n = 6 gibt es insgesamt 120 Graphen bzw. 60 symmetrische Graphen

wieviele Teilgraphen gibt es eigentlich ?

1. Teilgraph 1 - 2 3 - 4 5 - 6

2. Teilgraph 1 - 2 3 - 5 4 - 6

3. Teilgraph 1 - 2 3 - 6 4 - 5

neue Überlegungen ...

4. Teilgraph 1 - 3 2 - 4 5 - 6

5. Teilgraph 1 - 3 2 - 5 4 - 6

6. Teilgraph 1 - 3 2 - 6 4 - 5

7. Teilgraph 1 - 4 2 - 3 5 - 6

8. Teilgraph 1 - 4 2 - 5 3 - 6

9. Teilgraph 1 - 4 2 - 6 3 - 5

10. Teilgraph 1 - 5 2 - 3 4 - 6

11. Teilgraph 1 - 5 2 - 4 3 - 6

12. Teilgraph 1 - 5 2 - 6 3 - 4

13. Teilgraph 1 - 6 2 - 3 4 - 5

14. Teilgraph 1 - 6 2 - 4 3 - 5

15. Teilgraph 1 - 6 2 - 5 3 - 4

mehr nicht !

neue berlegungen12
Bei Anwendung der

Symmetrieregel und der

Sortierregel

läßt sich jeder der

120 Graphen in 2 der

15Teilgraphen

zerlegen.

1. Teilgraph 1 - 2 3 - 4 5 - 6

2. Teilgraph 1 - 2 3 - 5 4 - 6

3. Teilgraph 1 - 2 3 - 6 4 - 5

4. Teilgraph 1 - 3 2 - 4 5 - 6

5. Teilgraph 1 - 3 2 - 5 4 - 6

6. Teilgraph 1 - 3 2 - 6 4 - 5

7. Teilgraph 1 - 4 2 - 3 5 - 6

8. Teilgraph 1 - 4 2 - 5 3 - 6

9. Teilgraph 1 - 4 2 - 6 3 - 5

10. Teilgraph 1 - 5 2 - 3 4 - 6

11. Teilgraph 1 - 5 2 - 4 3 - 6

12. Teilgraph 1 - 5 2 - 6 3 - 4

13. Teilgraph 1 - 6 2 - 3 4 - 5

14. Teilgraph 1 - 6 2 - 4 3 - 5

15. Teilgraph 1 - 6 2 - 5 3 - 4

neue Überlegungen ...

Probieren Sie es bitte an Ihrem eigenen Beispiel aus.

neue berlegungen13
Wie viele Teilgraphen „passen“ zu einem Teilgraphen, d.h. bilden zusammen wieder einen Gesamt-Graphen ?

Beispiel: 1-2, 3-4, 5-6

1. Teilgraph 1 - 2 3 - 4 5 - 6

2. Teilgraph 1 - 2 3 - 5 4 - 6

3. Teilgraph 1 - 2 3 - 6 4 - 5

4. Teilgraph 1 - 3 2 - 4 5 - 6

5. Teilgraph 1 - 3 2 - 5 4 - 6

6. Teilgraph 1 - 3 2 - 6 4 - 5

7. Teilgraph 1 - 4 2 - 3 5 - 6

8. Teilgraph 1 - 4 2 - 5 3 - 6

9. Teilgraph 1 - 4 2 - 6 3 - 5

10. Teilgraph 1 - 5 2 - 3 4 - 6

11. Teilgraph 1 - 5 2 - 4 3 - 6

12. Teilgraph 1 - 5 2 - 6 3 - 4

13. Teilgraph 1 - 6 2 - 3 4 - 5

14. Teilgraph 1 - 6 2 - 4 3 - 5

15. Teilgraph 1 - 6 2 - 5 3 - 4

neue Überlegungen ...

insgesamt 8 (= 2 x 4)

Nr.5, 6, 8, 9, 10, 11, 13, 14

neue berlegungen14
Wie erhält man den kleinsten Graphen ?

1. Schritt: man ermittelt den kleinsten Teilgraphen

2. Schritt: man ermittelt den zugehörigenkleinsten Kompl.-Teilgraphen.

neue Überlegungen ...

1. Teilgraph 1 - 2 3 - 4 5 - 6

2. Teilgraph 1 - 2 3 - 5 4 - 6

3. Teilgraph 1 - 2 3 - 6 4 - 5

4. Teilgraph 1 - 3 2 - 4 5 - 6

5. Teilgraph 1 - 3 2 - 5 4 - 6

6. Teilgraph 1 - 3 2 - 6 4 - 5

7. Teilgraph 1 - 4 2 - 3 5 - 6

8. Teilgraph 1 - 4 2 - 5 3 - 6

9. Teilgraph 1 - 4 2 - 6 3 - 5

10. Teilgraph 1 - 5 2 - 3 4 - 6

11. Teilgraph 1 - 5 2 - 4 3 - 6

12. Teilgraph 1 - 5 2 - 6 3 - 4

13. Teilgraph 1 - 6 2 - 3 4 - 5

14. Teilgraph 1 - 6 2 - 4 3 - 5

15. Teilgraph 1 - 6 2 - 5 3 - 4

neue berlegungen15
neue Überlegungen ...

Damit ist vielleicht der kleinste Graph gefunden !aber nur: vielleicht!

neue berlegungen16
neue Überlegungen ...

Weitere Überlegungen:

Der kleinste (Gesamt-)Graph setzt sich zusammen:

entweder: aus den beiden gefundenen Teilgraphen(kleinster Teilgraph mit zugehörigem kleinsten Kompl.-Teilgraph)

oder: aus zwei dazwischen liegenden Teilgraphen.

neue berlegungen17
neue Überlegungen ...

Zahlenbeispiel:

  • kleinster Teilgraph hat die Kantenlänge: 20
  • der kleinste zugehörige Kompl.-Teilgraph: 40
  • ergibt einen Gesamtgraphen: 60

interessant sind damit nur noch die Teilgraphen

mit Kantenlängen zwischen 20 und 40.

neue berlegungen18
neue Überlegungen ...

Zahlenbeispiel:

  • kleinster Teilgraph hat die Kantenlänge: 20
  • der kleinste zugehörige Kompl.-Teilgraph: 40
  • ergibt einen Gesamtgraphen: 60
  • Außerdem:
  • ein Gesamtgraph mit einer Kantenlänge < 60muß mindestens aus einem Teilgraphen mit einer Kantenlänge < 30 zusammengesetzt sein.
neue berlegungen19
neue Überlegungen ...

Zahlenbeispiel:

  • kleinster Teilgraph hat die Kantenlänge: 20
  • der kleinste zugehörige Kompl.-Teilgraph: 40
  • ergibt einen Gesamtgraphen: 60
  • d.h.,
  • nur Teilgraphen (und zugehörige Kompl.-Teilgraphen)mit Kantenlängen zwischen 20 und < 30 sind zu prüfen.
neue berlegungen20
neue Überlegungen ...

Zahlenbeispiel:

  • kleinster Teilgraph hat die Kantenlänge: 20
  • der kleinste zugehörige Kompl.-Teilgraph: 40
  • ergibt einen Gesamtgraphen: 60
  • d.h.,
  • (a+b) < c  a und/oder b < (c/2)
  • und a < b oder a = b  a < (c/2)
neue berlegungen21
neue Überlegungen ...

Weitere Iterationsschritte:(bis zur halben Kantenlänge des bisher kleinsten gefundenen Gesamt-Graphen)

  • ausgehend vom kleinsten Teilgraphen wird jeweils der nächst größere Teilgraph mit seinem Komplement-Teilgraph überprüft, ob daraus ein kleinerer Gesamt-Graph zusammengesetzt werden kann.
  • wenn ja, ist der neue Gesamt-Graph Ausgangswert für weitere Iterationsschritte.
  • wenn nein, ist der kleinste Graph bereits gefunden.
beispiel mit 6 knoten
Beispiel mit 6 Knoten:
  • das Rundreiseproblem
  • bisherige Lösungen
  • neue Überlegungen
  • Beispiel mit 6 Knoten
  • Beispiel mit 10 Knoten
  • Beispiel mit 26 Knoten (Ergebnisse)
  • Schlussfolgerungen und Ausblick
beispiel mit 6 knoten1
Beispiel mit 6 Knoten:

Gegeben seien 6 Knoten mit den zugehörigen Entfernungen:

  • nach 1 nach 2 nach 3 nach 4 nach 5 nach 6

von 1 - 12 25 30 28 22

von 2 - 16 20 22 10

von 3 - 23 26 21

von 4 - 31 18

von 5 - 14

von 6 -

beispiel mit 6 knoten2
Kleinster Teilgraph:

Nr. 1 mit Kantenlänge = 49

Nr. 1.K.2.K.3.K.K.-Länge

1. 1 - 2 3 - 4 5 - 6 49

2. 1 - 2 3 - 5 4 - 6 56

3. 1 - 2 3 - 6 4 - 5 64

4. 1 - 3 2 - 4 5 - 6 59

5. 1 - 3 2 - 5 4 - 6 65

6. 1 - 3 2 - 6 4 - 5 66

7. 1 - 4 2 - 3 5 - 6 60

8. 1 - 4 2 - 5 3 - 6 73

9. 1 - 4 2 - 6 3 - 5 66

10. 1 - 5 2 - 3 4 - 6 62

11. 1 - 5 2 - 4 3 - 6 69

12. 1 - 5 2 - 6 3 - 4 61

13. 1 - 6 2 - 3 4 - 5 69

14. 1 - 6 2 - 4 3 - 5 68

15. 1 - 6 2 - 5 3 - 4 67

Beispiel mit 6 Knoten:

Komp.-Teilgraphen:

Nr. 5, 6, 8, 9, 10, 11, 13 u.14

davon der kleinste:

Nr. 10 mit Kantenlänge = 62

Länge des Graphen: 111

(49 + 62) : 2 = 55,5

Þkleinster Graph

beispiel mit 10 knoten
Beispiel mit 10 Knoten:
  • das Rundreiseproblem - Fragestellung
  • Problem und bisherige Lösungen
  • neue Überlegungen
  • Beispiel mit 6 Knoten
  • Beispiel mit 10 Knoten
  • Beispiel mit 26 Knoten (Ergebnisse)
  • Schlussfolgerungen und Ausblick
beispiel mit 10 knoten1
Beispiel mit 10 Knoten:

Entwicklung der ZIP-Formel bei n = 10:

1 · 3 · 5 · 7 · 9 =

1 ·2· 3 · 4· 5 · 6 · 7 · 8 · 9

————————————— =

2 · 4 · 6 · 8

9!

————————————— =

(1 · 2) · (2 · 2) · (3 · 2) · (4 · 2)

9!

————————————— =

( 1 · 2 · 3 · 4 ) · ( 2·2·2·2)

9!

————————————— =

4! · 24

beispiel mit 10 knoten2
Beispiel mit 10 Knoten:

(n – 1)!

—————————

( n/2 – 1 ) ! · 2 n/2 - 1

davon:

{ ( n/2 – 1 ) ! }(Sortierregel)

Teilgraph: —— — — —

(Kantenzahl =n/2)1 x2 x 2 x 2 x 2 (Symmetrie)

Anfangsknoten = x1

beispiel mit 10 knoten4

min. TG

min.TGkomp

Sortierung der 945 Teilgraphen nach Kantenlänge

Beispiel mit 10 Knoten:

lfd.Nr.

K.-Länge

1. Kante

2.Kante

3.Kante

4.Kante

5.Kante

Bemerk.

1

76

1 - 2

3 - 7

4 - 6

5 - 8

9 -10

2

77

1 - 5

2 - 9

3 - 8

4 - 6

7 -10

3

79

1 - 5

2 -10

3 - 7

4 - 6

8 - 9

4

83

1 - 5

2 - 7

3 - 8

4 - 6

9 -10

92

1 - 2

3 - 5

4 - 6

7 -10

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6

93

1 - 2

3 - 9

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5 - 8

7 -10

7

96

1 - 2

3 - 6

4 - 9

5 - 8

7 -10

8

96

1 - 8

2 - 5

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4 - 6

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9

97

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4 - 6

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103

1 - 3

2 - 9

4 - 6

5 - 8

7 -10

....

min. TG + min.Tgkomp = 176; 176 / 2 = 88

bis 945

beispiel mit 10 knoten5
Beispiel mit 10 Knoten:

lfd.Nr.

K.-Länge

1. Kante

2.Kante

3.Kante

4.Kante

5.Kante

Bemerk.

1

76

1 - 2

3 - 7

4 - 6

5 - 8

9 -10

2

77

1 - 5

2 - 9

3 - 8

4 - 6

7 -10

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79

1 - 5

2 -10

3 - 7

4 - 6

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4

83

1 - 5

2 - 7

3 - 8

4 - 6

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92

1 - 2

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4 - 6

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5

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1 - 2

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7

96

1 - 2

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4 - 9

5 - 8

7 -10

8

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1 - 8

2 - 5

3 - 7

4 - 6

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1 - 5

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4 - 6

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1 - 2

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3 - 6

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1 - 8

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3 - 5

4 - 6

7 -10

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103

1 - 3

2 - 9

4 - 6

5 - 8

7 -10

....

bis 945

beispiel mit 10 knoten6
Beispiel mit 10 Knoten:

lfd.Nr.

K.-Länge

1. Kante

2.Kante

3.Kante

4.Kante

5.Kante

Bemerk.

1

76

1 - 2

3 - 7

4 - 6

5 - 8

9 -10

2

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1 - 5

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3 - 8

4 - 6

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1 - 5

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1 - 5

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1 - 2

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1 - 2

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9 -10

9

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1 - 5

2 - 3

4 - 6

7 -10

8 - 9

10

100

1 - 2

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8 - 9

11

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3 - 6

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101

1 - 8

2 - 9

3 - 5

4 - 6

7 -10

13

103

1 - 3

2 - 9

4 - 6

5 - 8

7 -10

....

bis 945

beispiel mit 10 knoten7

min.TGkomp

Beispiel mit 10 Knoten:

lfd.Nr.

K.-Länge

1. Kante

2.Kante

3.Kante

4.Kante

5.Kante

Bemerk.

1

76

1 - 2

3 - 7

4 - 6

5 - 8

9 -10

2

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1 - 5

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min. TG

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4 - 6

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4 - 6

9 -10

92

1 - 2

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4 - 6

7 -10

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5

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93

1 - 2

3 - 9

4 - 6

5 - 8

7 -10

7

96

1 - 2

3 - 6

4 - 9

5 - 8

7 -10

8

96

1 - 8

2 - 5

3 - 7

4 - 6

9 -10

9

97

1 - 5

2 - 3

4 - 6

7 -10

8 - 9

10

100

1 - 2

3 - 6

4 - 5

7 -10

8 - 9

11

100

1 - 5

2 - 7

3 - 6

4 -10

8 - 9

12

101

1 - 8

2 - 9

3 - 5

4 - 6

7 -10

13

103

1 - 3

2 - 9

4 - 6

5 - 8

7 -10

....

min. TG + min.Tgkomp = 175; 175 / 2 = 87,5

bis 945

beispiel mit 10 knoten8

opt. TG

opt.TGkomp

Beispiel mit 10 Knoten:

lfd.Nr.

K.-Länge

1. Kante

2.Kante

3.Kante

4.Kante

5.Kante

Bemerk.

1

76

1 - 2

3 - 7

4 - 6

5 - 8

9 -10

2

77

1 - 5

2 - 9

3 - 8

4 - 6

7 -10

3

79

1 - 5

2 -10

3 - 7

4 - 6

8 - 9

4

83

1 - 5

2 - 7

3 - 8

4 - 6

9 -10

92

1 - 2

3 - 5

4 - 6

8 - 9

5

7 -10

6

93

1 - 2

3 - 9

4 - 6

5 - 8

7 -10

7

96

1 - 2

3 - 6

4 - 9

5 - 8

7 -10

8

96

1 - 8

2 - 5

3 - 7

4 - 6

9 -10

9

97

1 - 5

2 - 3

4 - 6

7 -10

8 - 9

10

100

1 - 2

3 - 6

4 - 5

7 -10

8 - 9

11

100

1 - 5

2 - 7

3 - 6

4 -10

8 - 9

12

101

1 - 8

2 - 9

3 - 5

4 - 6

7 -10

13

103

1 - 3

2 - 9

4 - 6

5 - 8

7 -10

....

bis 945

beispiel mit 10 knoten9
Beispiel mit 10 Knoten:

Anzahl der Teilgraphen

nach dem 1.Durchlauf: nur noch 11 von 945 Teilgraphen

Summe der Kantenlängen

bei insgesamt 181.440 Gesamt-Graphen

beispiel mit 10 knoten10
Beispiel mit 10 Knoten:
  • Von insgesamt 945 Teilgraphen scheiden beim back tracking der begrenzten Enumeration aus:
  • Abbruch nach der 5. Kante: 0
  • Abbruch nach der 4. Kante: 1
  • Abbruch nach der 3. Kante: 3
  • Abbruch nach der 2. Kante: 15
  • Abbruch nach der 1. Kante: 105

Þ möglichst frühzeitiger Abbruch !!

beispiel mit 10 knoten11
Beispiel mit 10 Knoten:

Beziehung zwischen Anfangsknoten und Kantenplatz:

1. Kante2. Kante3. Kante4. Kante5. Kante

1-2...1-10 2-3...2-10 3-4...3-10 4-5...4-10 5-6...5-10oder oder oder oder 3-4...3-10 4-5...4-10 5-6...5-10 6-7...6-10oder oder oder 5-6...5-10 6-7...6-10 7-8...7-10oder oder oder 7-8...7-10 8-9...8-10oderi = k für k = 1 9-10.

i = k, k + 1 , ... , 2k -1 für k > 1

beispiel mit 10 knoten13
Beispiel mit 10 Knoten:

weitere Überlegungen:

  • Numerierungsregel

(die größten Abweichungen nach vorn)

  • Minimalkantenregel

(Berechnung der noch ausstehenden kleinsten Kante für jeden einzelnen Kantenplatz; nicht mehr für alle)

beispiel mit 10 knoten14
Beispiel mit 10 Knoten:

Beispiel: Knoten xi mit seinen 5 Kanten

Minimalkantenregel

Numerierungsregel

beispiel mit 26 knoten
Beispiel mit 26 Knoten:
  • das Rundreiseproblem - Fragestellung
  • Problem und bisherige Lösungen
  • neue Überlegungen
  • Beispiel mit 6 Knoten
  • Beispiel mit 10 Knoten
  • Beispiel mit 26 Knoten (Ergebnisse)
  • Schlussfolgerungen und Ausblick
beispiel mit 26 knoten1
Beispiel mit 26 Knoten:

Weihnachtsrätsel:

  • Das Institut für Rechnergestützte Wissenverarbeitung (KBS) der Universität Hannover hat 1996 als „Weihnachtsrätsel“ die Aufgabe gestellt, für 26 europäische Hauptstädte die kürzeste Rundreise zu finden.
  • Die Aufgabe mit Lösungen finden Sie leider nicht mehr im Internet
beispiel mit 26 knoten2
Beispiel mit 26 Knoten:

Zahl aller Graphen (25!): 15.511.210.043.330.985.984.000.000

Zahl der symm. Graphen: 7.755.605.021.665.492.992.000.000

Zahl aller Teilgraphen : 7.905.853.580.625

  • Ergebnisse:

kl.Teilgraph + kl.Komp.-Teilgraph: 6.845 km + 9.912 km = 16.757 km

heuristisch gefundener kl. Graph: 7.331 km + 8.858 km = 16.189 km

davon die Hälfte : 16.189 km / 2 = 8.094 km

beispiel mit 26 knoten4
Beispiel mit 26 Knoten:

1. Amsterdam

2. Athen

3. Barcelona

4. Belgrad

5. Berlin

6. Brüssel

7. Bucarest

8. Budapest

9. Frankfurt/M

10. Genf

11. Helsinki

12. Istanbul

13. Kopenhagen

14. Lissabon

15. London

16. Madrid

17. Mailand

18. Oslo

19. Paris

20. Prag

21. Rom

22. Sofia

23. Stockholm ...

1. Lissabon

2. Helsinki

3. Madrid

4. Istanbul

5. Athen

6. Bucarest

7. Sofia

8. Stockholm

9. Oslo

10. Belgrad

11. Budapest

12. Kopenhagen

13. Rom

14. Warschau

15. Wien

16. Berlin

17. Amsterdam

18. London

19. Brüssel

20. Prag

21. Mailand

22. Zürich

23. Barcelona ...

Geographische Darstellung des opimalen Graphen

schlussfolgerungen und ausblick
Schlussfolgerungen und Ausblick
  • das Rundreiseproblem - Fragestellung
  • Problem und bisherige Lösungen
  • neue Überlegungen
  • Beispiel mit 6 Knoten
  • Beispiel mit 10 Knoten
  • Beispiel mit 26 Knoten (Ergebnisse)
  • Schlussfolgerungen und Ausblick
schlussfolgerungen
Schlussfolgerungen
  • diese algebraische Lösung ist offensichtlich neu
  • das Weihnachtsrätsel mit 26 Orten ist optimal gelöst
  • es kann gesagt werden, ob eine optimale Lösung gefunden wurde.
  • Symmetrie wird voll ausgenutzt .....
  • und ...
schlussfolgerungen1
Schlussfolgerungen
  • bis ca. 10 Knoten (ggf. mehr) lassen sich symmetrische Graphen mit der Voll-Enumerationoptimal lösen.
  • bis ca. 30 Knoten (ggf. mehr) lassen sich symmetrische Graphen mit der begrenzten Enumerationoptimal lösen.
  • Für alle TSP-Verfahren gilt:
  • Können bekannte Lösungen nicht nur auf Graphen sondern auch auf Teilgraphen angewandt werden, so bringt die ZIP-Methode den entscheidenden Quantensprung der rechentechnischen Vereinfachung.
ausblick
Ausblick
  • es bleibt zu prüfen, ob der neue Lösungsansatz auch auf andere Optimierungsprobleme angewandt werden kann.
  • Alle Aspekte des neuen Lösungsansatzes sind sicherlich noch nicht geklärt und sollten weiter untersucht werden.
traveling salesman problem3
traveling salesman problem

Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit