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§1 不定积分的概念与性质

上一页. 下一页. §1 不定积分的概念与性质. 一、原函数与不定积分的概念. 二、基本积分表. 三、不定积分的性质. 1. 1. ¢. ,. =. x. (. x. ). 因为. 所以. 是. 的原函数. 2. x. 2. x. 上一页. 下一页. 一、原函数与不定积分的概念. 定义 1 设函数 f 与 F 在区间 I 上有定义,若. 则称 F 为 f 在区间 I 上的一个原函数. 原函数举例. 因为 (sin x )  cos x ,. 所以 sin x 是 cos x 的原函数. 提问:

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§1 不定积分的概念与性质

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  1. 上一页 下一页 §1 不定积分的概念与性质 一、原函数与不定积分的概念 二、基本积分表 三、不定积分的性质

  2. 1 1 ¢ , . = x ( x ) 因为 所以 是 的原函数 2 x 2 x 上一页 下一页 一、原函数与不定积分的概念 • 定义1设函数f 与F 在区间I上有定义,若 则称F为f 在区间I上的一个原函数 • 原函数举例 因为(sin x)cos x , 所以sin x是cos x的原函数. • 提问: • (1)什么条件下,一个函数的原函数存在?

  3. 上一页 下一页 ( 2 )如果f (x)有原函数,一共有多少个? ( 3 )任意两个原函数之间有什么关系? • 几点说明: 1°原函数存在定理:连续函数一定有原函数. 2°若F'(x) = f (x),则对任意常数C, F(x)+C都是 f (x)的原函数. 如(sin x)cos x , 则 (sin x+C)cos x . 所以原函数的个数有无穷多个. 3°设G(x) 、F(x)是 f (x)的任意两个原函数. 则 G(x) - F(x) = C ( C为常数) 即 任意两个原函数之间相差一个常数 证明:(G(x) - F(x)) ′= G‘(x) -F’(x) = f (x) - f (x) = 0 所 以 G(x) - F(x) = C ( C为常数)

  4. 上一页 下一页 • 定义2f (x)在区间I上全体原函数成为 f 在 I上的不定积分. 记作 其中f (x)叫被积函数,f (x)dx叫做被积表达式,x 叫做积分变量,记号 “  ” 叫做积分号. 根据定义,如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数,那么F(x)C就是f (x)的不定积分,即 • 结论:求f (x)的不定积分只要求它的一个原函数F(x)再加任意常数C.

  5. 上一页 下一页 如果F(x)是f(x)的一个原函数, 则 例1求 解:

  6. 上一页 下一页 如果F(x)是f(x)的一个原函数, 则 例2 解 : 合并得:

  7. 2x的积分曲线 上一页 下一页 • 不定积分的几何意义 若F(x)是f (x)的一个原函数,则称F(x)的图形为f (x)的一条积分曲线, F(x)+c的图形是由F(x)的图形沿 y 轴平移c(任意的)所得积分曲线组成的曲线轴. 如图f (x)=2x的积分曲线图 结论: 函数f (x)的不定积分在几何上表示f (x)的全部积分曲线所组成的平行曲线族

  8. 上一页 下一页 二、基本积分表

  9. 例3 上一页 下一页 解 求 例4 解

  10. 2° 上一页 下一页 三、不定积分的性质 • 性质1 • 性质2 ( k为常数 k≠0) • 性质3 证明: 由导数的线性运算法则和不定积分的定义

  11. 上一页 下一页 所以,有: 将性质2、性质3合并可得不定积分线性性质 求 例5 解

  12. 上一页 下一页 求 例6 解 求 例7 解

  13. 上一页 下一页 求不定积分 例8 解 注:以上几例被积函数都需进行恒等变形才能使用基本积分表计算.

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