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财经类数学 微积分学

财经类数学 微积分学. 教学计划. 1 总学时 8 0 , 在本学期完成 ; 2 本学期修完课程 , 合格 , 得 3 学分. 微积分的教学目的. 《 微积分 》 是近代数学中最伟大的成就之一 , 是高校财经类各专业的一门必修的重要的基础课 . 通过本课程的学习，使学生掌握微积分学的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，特别注意培养学生的熟练运算能力和综合运用所学知识去分析解决问题的能力。. 成绩评定.

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财经类数学 微积分学

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  1. 财经类数学 微积分学

  2. 教学计划 • 1 总学时 80 ,在本学期完成; • 2本学期修完课程,合格,得3学分

  3. 微积分的教学目的 • 《微积分》是近代数学中最伟大的成就之一,是高校财经类各专业的一门必修的重要的基础课.通过本课程的学习，使学生掌握微积分学的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，特别注意培养学生的熟练运算能力和综合运用所学知识去分析解决问题的能力。

  4. 成绩评定 • 1 最终本学期微积分成绩由平时成绩30%和期末闭卷考试70%组成 • 2 平时成绩由任课老师根据平时上课纪律和作业完成情况由100分制评定 • 一般情况是:一次清点人数不到扣5分(清点人数的时间由任课老师临时决定,一学期不得少于5次);一次作业不交扣5分 • 3 期末考试由学校统一组织进行

  5. 第一章 函 数 一. 函数的概念 1. 集合 所谓集合是指具有某种特定性质的事物的总体.组 成这个集合的事物称为该集合的元素. 设M是具有某种 特征的元素x的全体所组成的集合,记作 M={ x| x所具有的特征} 这里x所具有的特征,实际就是x作为M的元素适合的充 要条件. 区间是用得较多的一类数集.

  6. 2. 绝对值的性质 定义1.8 性质

  7. 3.邻域 设a, b都是实数, 且a<b, 数集{x|a<x<b}称为开区间. 记作(a, b), 即 其中a和b称为开区间的端点, (如图) ° ° a b 类似还有闭区间, 半开半闭区间以及无限区间. 其中数 b−a称为有限区间的长度.

  8. • • a b • ° a b • ° a b ° a

  9. • a • a ° a

  10. 在微积分中常用到特殊的开区间——邻域. 定义.以 x0为中心, 以δ 为半径, 长为2δ 的开区间. 即 称为点x0的δ 邻域 , 记为U(x0 ,δ ).

  11. 例1点2的1邻域{x||x-2|<1}=(1,3). 点−(½ )的½邻域记为{x||x+ ½|< ½}=(-1,0). 定义. 点 x0的去心邻域.即 ° 定义.点 x0的左邻域,即 点 x0的右邻域,即 可类似定义多元微积分中用到的平面上点的邻域.

  12. 4、函数的概念 • (1)、定义1.9 设 x,y 是两个变量,若对D中每一个值 x,按照一 定的对应法则 ƒ,总有确定的数值和它对应,则称 y是 x的函数;记作 y=ƒ(x).称 x 为自变量, y 为因变量; D 为定义域;集合 D(f)={y|y=f(x),x∈D}为值域. (2).常用的函数表示法:表格法.图形法和解析式法. (3)、函数的定义域 对表格法和图形法所表示的函数,其定义域与对应规则是 一目了然的. 对解析式法(又称公式法)表示的函数,其定义域是指有唯一确定实数值的因变量与之对应的自变量的全体数值所构成的集合,这种定义域称为函数的自然定义域. 当函数有实际意义时,要按照实际意义确定其定义域.

  13. 求函数定义域时要注意；分式的分母不能为零；对数的真数要大于零;偶次方根号下不能是负数;一些三角函数和反三角函数它自己的变化范围等. 例2 求函数 的定义域 解：要使函数y有意义，必须 故，函数的定义域为

  14. 的定义域 例3求函数 解：要使函数有意义，必须 即 亦即 故，函数的定义域为：

  15. (4)、函数关系的建立与函数记号 例4某型号手机价格为每只1000元时能买出15只,当价格为每只800元时,能买出20只.已知手机的价格高低与其需求量多少是线性关系,试建立该型号手机的需求量与价格之间的函数关系. 解 价格x元/只,需求量y只,则 例5　看书 P24 例1、例2、例3、例4

  16. 因函数关系只与其定义域及对应规则有关,至于自变量,因变量用什么字母表示,不影响函数关系. 求 f(x) 例6若 解法1： 故 则 解法2：令 将此代入表达式 故

  17. (5) 关于函数的值域 例7 下列函数表达式是否表示同一个函数 (1) （否） （否） (2) （是） (3) (4) (是) 看书：P41 20

  18. ＝0，3， 在 的函数值 例8 求函数 解： 5. 显函数及隐函数:由方程 F(x , y)=0 所确定的函数 y=ƒ(x)或x=ƒ−1(y) 称为隐函数.而将y=ƒ(x)称为函数的显式. ，

  19. 6. 反函数 设函数的定义域为D,值域为W. 若对∀y∈W,D上至少可以确定一个数值 x与 y对应,且ƒ(x)=y⇔x=φ(y). 若把 y看作自变量, x看作因变量,则称函数x=φ(y)为函数 y =ƒ(x)的反函数. 而原函数 y =ƒ(x)为直接函数; x , y互换便有y=φ(x), 从而函数与反函数定义域、值域及图象间有一定的关系.

  20. 7.分段函数 问题：是否所有的函数都可用一个数学式子表示呢？ 有的函数在其定义域的不同范围内, 要用两个或两个以上的数学式子来表示, 这一类函数叫作分段函数. 例9绝对值函数 定义域(−∞,+∞). 值域[0, +∞). y y=|x| o x

  21. 例10符号函数 定义域(−∞,+∞). 值域{−1，0，1}. y ° 1 • o x ° –1 例11狄立克莱函数

  22. 例12取整函数(阶梯曲线)y = [x]为不超过x 的最大整数部分. 如图: y • ° • ° • ° • ° –2 –1 o 1 2 x • ° –1 • ° • ° 实际上是取左端点. 注意: 分段函数虽有几个式子, 但它们合起来表示一个函数, 而不是几个函数.

  23. 8.复合函数 所谓复合函数就是把两个或两个以上的函数组合成一个新的函数. 复合而成的复合函数为 定义1.15设 y = ƒ(u)是定义在U上的函数, 而且 u=φ(x)是定义在 D上的函数, 值域为Z. 若∀x∈D, 对应的 Z⊆U, 则称 y =ƒ(φ(x))是函数 y = ƒ(u)和u=φ(x)复合而成的复合函数. u作中间变量.

  24. 例13求下列函数的复合函数 因u=2+x2的值域为{x|u≥2}不能使 y=arcsinu有意义, 故它们不能复合成一个复合函数.

  25. 例14 将下列函数分解成基本初等函数或简单函数 2、 1、 4、 3、 解：1、 2、 3、 4、

  26. 二. 函数的几种特性 1. 函数的奇偶性:设函数的定义域D关于原点对称(为 对称区域),而且∀x∈D,若ƒ(−x)=±ƒ(x),则称ƒ(x)为

  27. 的图形具有对称性.(图1) y (–x,ƒ(x)) (x,ƒ(x)) y (x,ƒ(x)) o x –x x –x o x x (–x,–ƒ(x)) 图1

  28. 的奇偶性 例15：判断函数 解：函数的定义域为 ，且 = 故，函数是奇函数.

  29. 2.函数的单调性:若ƒ(x)对其定义区间 I上,∀x1, x2∈D,当x1< x2时, 恒有 则称ƒ(x)在区间I 上严格单调或单调 的. (图2) 对应曲线是 y y y= ƒ(x) y= ƒ(x) o x o x 图2

  30. 3. 函数的有界性:∃M>0,∀x∈D, | ƒ(x) |≤M则称ƒ(x) 在D内有界. (图3) y y=M y= ƒ(x) o x y=–M y y=M y y= ƒ(x) o x o x y= ƒ(x) y=–M 图3

  31. 4. 函数的周期性:∃T≠0,使ƒ(x+T)=ƒ(x).则称ƒ(x)为周期函数. 满足函数的最小正数 T称为ƒ(x)的(最小正)周期. 其图象每隔 T个单位就重复. (图4) y y= ƒ(x) T –2T o –T 2T x 图4

  32. 三.初等函数 1.基本初等函数 应熟练掌握其表达式、定义域、值域、几何特性、 常见公式、图象及性质(见教材 p34 – 37). (1) 常函数y = c (2) 幂函数y =xα (3) 指数函数 (4) 对数函数 (5)三角函数

  33. (6)反三角函数 2. 初等函数 定义由基本初等函数经有限次四则运算和有限次 复合所得到的函数为初等函数. 一般说来, 分段函数不为初等函数, 但 y=|x|却是. 分段函数一般不为初等函数,但是,由于分段函数在其定义域的子区间内都是初等函数, 所以仍可通过初等函数来研究它们.

  34. 四.常用的几个经济函数 1.需求函数 (1)需求函数商品的需求量 Qd, 受消费者的偏好收入及商品价格等等因素的影响.但最主要的是价格因素; 若不考其它因素,把需求量Qd只看成价格p的函数,即 则称此函数为需求函数. 需求函数 Qd= f (p)一般是 p 的递减函数.最常见、最简单的需求函数是如下形式的线性需求函数 (a、b均为正常数)

  35. 这个函数的几何形态,是一条反应需求量与价格关系的曲线,我们称之为需求曲线,如右图.这个函数的几何形态,是一条反应需求量与价格关系的曲线,我们称之为需求曲线,如右图. Qd b o p 特别地,当价格p=0时,需求量Qd=b ,它表示人们的需要是有限的. b/a 为最大销售价格,此时需求量为零. 当然价格 p 也可表示成需求量Qd的函数, p=g(Qd)叫作 价格函数.

  36. 例16某产品销售70元/件,可买出10000件,价格每增加3元就少买300件,求需求量 Qd与价格p 的函数. 解 设价格由70元增加k个3元, 则 p=70+3k, Qd =10000−300k,从而

  37. (2). 供给函数 生产者对商品的生产是由多方面因素所决定的,其中价格是最要的素; 一般地,价格越高,就越要加大供应,因此供给量 Qs是价格 p 的单增函数.最简单的供给函数是如下形式的线性供给函数 (c、d 均为正常数) 反应供给量与价格关系的曲线,我们称之为供给曲线, 如图. Q o p –d

  38. 显然只有价格不低于d/c 时,才有供给量 Qs,因为厂商都不愿作亏本生意. 例17某商品当价格为50元时, 有50单位投放市场, 当价格为75元时, 有100单位投放市场, 求供给Qs与价格 p的函数. 解 设Qs= cp – d,则 Qs= 2p – 50 (3). 均衡价格 均衡价格就是使一种商品的市场需求量Qd与供给量Qs相等时的价格; 即均衡价格就是使 f(p) = g(p)时的价格,记为 p*.显然此时的市场处于均衡状态.

  39. 当市场价格 p 高于均衡价格 p*时,则供给量Qs将增加,需求量Qd将相应地减少;反之,当市场价格 p 低于均衡价格 p*时,则供给量 Qs将减少,而需求量 Qd将增加. 因此,市场上商品价格的调节,就是按照需求律与供给律来实现的. 即如果需求量大于供给量则价格会上涨,反之,价格会降低.因此,市场上商品的价格总是围绕均衡价格上下浮动.

  40. 2. 总成本函数 某商品的总成本是指生产一定数量的产品所需的全部经济资源的价格或费用总额. 它由固定资本(生产准备费,用于维修、添制设备等)a元和可变资本(每单位产品消耗原材料、劳力等费用)b元,则生产x件产品的总成本为 C(x) = ax + b 每件产品的成本(叫单位成本或平均成本)为

  41. 3. 销售收入函数(总收益函数) 总收益是产量的函数.设某种产品的销售量为 x,价格为 p, 则销售收入函数为 R = p · x 而价格 p 又可表为 x 的函数,所以销售收入函数可看成 x的函数 R(x). 4. 总利润函数 总利润是总收入 R(x) 与总成本 C(x) 之差. 设 x 件产品的总成本为 C(x),销售收入为 R(x). 则利润为 L(x) = R(x) – C (x) 5. 其它经济函数

  42. 作业P40 21,22,23,27(单),29,42(单),43,55.

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