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第五章 导数和微分

第五章 导数和微分. §1 导数的概念 §2 求导法则 §3 参变量函数的导数 §4 高阶导数 §5 微分. §1 导数的概念. 教学内容：. 1 、给出了导数的物理模型 — 瞬时速度和几何模型 — 切线斜率。. 2 、给出了函数在一点的导数（可导）的定义和函数在一点的左、 右导数的定义，以及函数在区间上可导的定义；给出了可导与连 续的关系。. 3 、给出了导数的几何意义 — 切线的斜率。. 4 、给出了应用导数的定义计算导数的例题。. 教学重点 :. 导数的定义和计算. 要求 :.

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第五章 导数和微分

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  1. 第五章 导数和微分 • §1 导数的概念 • §2 求导法则 • §3 参变量函数的导数 • §4 高阶导数 • §5 微分

  2. §1 导数的概念 教学内容： 1、给出了导数的物理模型—瞬时速度和几何模型—切线斜率。 2、给出了函数在一点的导数（可导）的定义和函数在一点的左、 右导数的定义，以及函数在区间上可导的定义；给出了可导与连 续的关系。 3、给出了导数的几何意义—切线的斜率。 4、给出了应用导数的定义计算导数的例题。 教学重点: 导数的定义和计算 要求: 1、知道导数的构造性定义,理解导数在研究函数性态方面的作用. 2、知道导数和连续的关系,即可导必连续,连续不一定可导. 3、应用导数的定义计算函数在一点的导数.

  3. 问题的提出: 在中学里我们学习过，物体作匀速直线运动，其速度等于位移除以时间。而物体的运动往往不可能总是匀速的，通常人们所说的物体运动速度是指物体在一段时间内的平均速度。平均速度不能反映物体的瞬时速度。如果我们已知物体的运动规律，如何计算它的瞬时速度?

  4. 1. 瞬时速度 两个例子:

  5. 则物体在时刻 t 0的瞬时速度定义为 速度反映了路程对时间变化的快慢程度

  6. 在其上一点 曲线 y Q T P O x 即为曲线在点 P的切线的斜率. 2. 切线的斜率

  7. 定义1: 即 (1) 一 导数的定义

  8. 解: 由定义求得 所以切线方程为 即

  9. 证因为 注: 利用导数的定义可证, 常量函数在任何点的导数为零, 即

  10. 定义2: 类似地, 可以定义左导数 左﹑右导数统称为单侧导数.

  11. 单侧导数与导数的关系: 注: 下列函数个别点的导数或左右导数应用导数的定义. • 函数在个别点的函数值单独定义的, 其余点的函数 • 值用统一解析式定义的(函数在个别点连续). (2) 求分段函数在分段点的导数. 例

  12. 解由于 因此

  13. 可以证明： 可导→连续。即可导是连续的充分条件。 连续是可导的必要条件。

  14. 定义: 例 证明 (i) 为正整数. (ii) (iii) 特别 二 导函数

  15. (ii) 下面只证第一个等式, 类似地可证第二个等式. 由于 证(i)和(iii)的证明略.

  16. 法线方程为: 注: 三﹑导数的几何意义

  17. 例 解由于

  18. 定义3 定理 (费马定理) 注: 极值点与稳定点的关系: 1. 极值点不一定是稳定点,稳定点也不一定是极值点. 2. 可导函数的极值点一定是稳定点.

  19. 达布(Darboux)定理 (导函数的介值定理) 证: (略)

  20. 教学内容： 1. 给出了函数的和、差、积、商的求导法则. 2. 给出了反函数的求导法则,并得到了指数函数,反三角函数 的求导公式. 3. 给出了复合函数的求导法则, 并得到了幂函数的求导公式. 教学重点: 熟练掌握复合函数的求导法则. 要求: 1. 掌握求导法则,尤其是复合函数的求导法则. 2. 能熟练应用求导法则及基本初等函数的求导公式计算 初等函数的导数. §2 求导法则

  21. 一 导数的四则运算和复合函数的链式法则

  22. 问题的提出: 从上一节可以看到,应用导数的定义可以求函数的导数, 但通常比较繁琐,有没有更为简单、方便有效的方法求 函数特别是初等函数的导数? 初等函数导数的计算方法: 1.利用求导的四则运算法则及复合函数的链式法则求导； 2.利用反函数求导法则求导； 3.对数求导法； 4.利用导数的定义求导；

  23. 例 解 由于 例 求下列函数的导函数: 解

  24. 基本求导法则: 例 二 反函数的导数

  25. 证 (2) (3)的证明略去. 对数求导法的步骤: 1. 两端取绝对值之后, 再取自然对数. 2. 等式两端分别对自变量求导. 三 对数求导法

  26. 例 解 先对函数取对数, 得 再对上式两边分别求对数, 得 整理后得到

  27. 例 设 解 当 当 补充: 分段函数的导数

  28. 教学内容： 本节给出了由参量方程所确定的参变量函数的 求导法则. 教学重点: 参量方程的求导法则. 要求: 能熟练求出参变量函数的导数. 问题的提出: 前面两节我们学习了显函数的导数的求解方法,如何 求由参量方程所确定的参变量函数的导数呢? §3 参变量函数的导数

  29. 例 试求由上半椭圆的参变量方程 的导数. 所确定的函数 解 由公式(1)求得 例 由公式(2)有 证

  30. §4 高阶导数 教学内容： 1、给出了高阶导数的定义，并得到幂函数y=xn、三角函数 y=sinx、y=cosx、指数函数y=ex的n阶导数公式。 2、给出了求两个函数乘积的高阶导数的莱布尼茨公式。 3、给出了求由参量方程所确定的函数的二阶导数的计算公式。 教学重点： 各类函数高阶导数的计算。 要求： 熟练掌握各类函数高阶导数的计算及莱布尼茨公式的应用。 问题的提出： 速度是位移的导数，而加速度又是速度的导数，那么加速 度与位移是什么关系呢？

  31. 1、二阶导数的定义 定义1：若函数 的导函数 在点 可导，则称 在点 的导数为 在点 的二阶导数，记作 ，即 同时称 在点 为二阶可导。 2、n 阶导数： 的n-1阶导数的导数称为 的n 阶导数。 3、高阶导数：二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数。 一 高阶导数的概念

  32. 例1 求幂函数 （n 为正整数）的各阶导数。 解 由幂函数的求导公式得 二 高阶导数的计算 1、n 个初等函数的高阶导数 由此可见，对于正整数幂函数xn，每求导一次，其幂次降低1，第 n 阶导数为一常数，大于 n 阶的导数都等于0。

  33. 注：用类似的方法，可求得三角函数y=sin x ,y=cos x及指 数函数的各阶导数。

  34. 莱布尼茨公式： 例4：设 ，求 解 令 由例2和例3有 应用莱布尼茨公式（n=5）得 2、利用莱布尼茨公式求两个函数乘积的高阶导数

  35. 例5 研究函数 的高阶导数。 解 当 时， 当 时， 当 时，由左右导数定义不难求得 而当 时， 不存在，整理后得 当 时 3、分段函数的高阶导数

  36. 由参量方程 所确定的函数 的一阶、二阶 导数分别为: （1） （2） 例6 试求由摆线参量方程 所确定的函数 的二阶导数。 解 由公式（1）得 再由公式（2）得 4、由参量方程所确定的函数的高阶导数

  37. §5 微分 教学内容： 1、给出了函数在一点得微分（可微）的概念，并证明了可导与 可微是等价的。 2、微分运算法则以及一阶微分形式的不变性。 3、高阶微分的定义与计算，并说明高阶微分不具有形式的不变 性。 4、微分在近似计算中的应用。 要求: 1、掌握微分概念，理解微分的分析和几何意义。 2、掌握微分与导数的异同以及它们之间的联系。

  38. 例：设一边长为x的正方形，它的面积 是 的函数。若边 长由 增加了 ，相应地正方形面积地增量 由两部分组成： （Ⅰ） （阴影部分） （Ⅱ） 它是关于 的高阶无穷小量 因此，当给 一个微小增量 时，由此引 起的正方形增量 可近似地用 的线性部分 来代替，且 由此产生的误差是一个关于 的高阶无穷小量。 问题的提出： 恩格斯在《反社林论》中指出：“高等数学的主要基础之一 是这样一个矛盾：在一定条件下直线和曲线应当是一回事”。这 里所说的“一定条件”指的是什么？换句话说，怎样的函数可用线 性函数去逼近？

  39. 定义：设函数 定义在点 的某邻域 内。当给 一个增量 时，相应地得到函数的增量为： 如果存在常数A，使得 能表示成 则称函数 在点 可微，并称（1）式中的第一项 为 在 点 的微分，记作 （1） 或 注意：①函数的微分与增量之间仅相差一个关于 的高阶无穷 小量。 ②若函数 在点 可微，则在点 的小邻域内可 用切线代替曲线。 一 微分的概念

  40. 1、函数 在点 可导与可微是等价的，且 2、函数 在点 的导数 与微分 的区别。 ① 是一个函数，而微分 是 的线性函数， 它的定义域是R,它是无穷小，即 ②从几何意义上说，导数 是曲线 在点 的 切线斜率，而微分 是曲线 在点 的切线方程在点 的纵坐标。 ③导数通常用于关于函数性质理论的研究，而微分通常用于近似 计算和微分运算。 二 可导与可微的联系与区别

  41. 1、微分运算法则 ① ② ③ ④ 2、一阶微分方程的不变性 则 三 微分的运算法则

  42. 例1 求 的微分。 解 （2） 利用函数的导数求微分，即 例 求 的微分。 解 因为 所以 3、函数微分的计算方法 （1） 利用微分运算法则

  43. 例2 求 的微分。 解 由一阶微分形式不变性，可得 （3）利用一阶微分形式的不变性

  44. 1、二阶微分：一阶微分的微分称为二阶微分。记作1、二阶微分：一阶微分的微分称为二阶微分。记作 且有 （1） 2、n阶微分：n-1阶微分的微分称为n阶微分，记作 且有 （2） 例3 设 分别依公式（1）、 （2）求 解 由 得 依公式（1）得 类似地，依公式（2）得 四 高阶微分 3、高阶微分：二阶以及二阶以上的微分统称为高阶微分。

  45. 近似计算公式： ①当 很小时， 解 由物理学知道，单摆周期T与摆长l的关系为 其中g是重力加速度。已知钟摆周期为1秒，故此摆原长为 当摆长最多缩短0.01cm时，摆长的增量 它引起 单摆周期的增量（见下页） 五 微分在近似计算 1、函数的近似计算 例5 设钟摆的周期是1秒，在冬季摆长至多缩短0.01cm，试 问此钟每天至多快几秒？

  46. 这就是说,加快约0.0002秒,因此每天大约加快 ②当 很小时， 例4 求 的近似值。 解 由于 因此取 由上述式子得到 注：利用该公式时，要找一邻近 的点 ，使得 和 容易计算。

  47. 注：在原点附近常用的近似公式：

  48. 绝对误差限公式： （ 为误差限） 相对误差限公式： 解 由直径d计算球体体积的函数式为 并由上述公式可求得体积的绝对误差限和相对误差限分别为 取 求得 2、误差估计 例6 设测得一球体的直径为42cm，测量工具的精度为0.05cm. 试求以此直径计算球体体积时所引起的误差。

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