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6. Series. Sucesiones Veamos un ejemplo de sucesión compleja: {1 + i n }:. Si lim n  z n = L , decimos que la sucesión es convergente. Otro ejemplo: la sucesión converge. . Límite de una sucesión. Una sucesión {z n } de números complejos z n = x n + i y n

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- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
slide2
Sucesiones

Veamos un ejemplo de sucesión compleja: {1 + in}:

Si limnzn= L, decimos que la sucesión es convergente.

slide4

Límite de una sucesión

Una sucesión {zn} de números complejos zn = xn + iyn

convergeac = a + ibsii la sucesión de partes reales {xn}

converge aay la sucesión de partes imaginarias {yn}

converge ab.

y

Demostración ( ):

Si |zn-c| < , con zn = xn + iyn

entonces dentro de un círculo

de radio ,parac = a + ib

se cumple que:

|xn-a| < , |yn-b| < 

b+

zn

b

c

b-

x

a-

a+

a

Por tanto la convergencia zn  c

implica que xn  a, yn  b.

slide5

Demostración ():

Igualmente, si xn  ay yn  bcuando n   , entonces para

un >0 dado, podemos hallar un N suficientemente grande tal

que para  n> N se cumpla que:

|xn-a| < /2, |yn-b| < /2

con lo que zn= xn+iynestará

contenido en un cuadrado de

centro c y lado .

De modo que znestará contenido

en un círculo de radio  y

centro c.

y

b+

b+/2

zn

b

c

b-/2

b-

x

a

a-

a+

a-/2

a+/2

slide6

Diremos que una sucesión {zn} es convergentesii:

lim zn = c. Una sucesióndivergente significa que no converge.

n 

Ejemplos:

  • La sucesión {in/n} = {i, -1/2, -i/3, 1/4,......} es convergente y límite es 0.

(2) La sucesión{in} = {i, -1, -i, 1,....} es divergente.

(3) La sucesión {zn} con zn= (1+i)n es divergente.

{zn} = { 1+i, 2i, -2+2i, -4, -4-4i,....}

(4) La sucesión {zn} con zn= 2-1/n + i(1+2/n) es convergente.

{zn} = { 1+3i, 3/2+2i, 5/3+5i/3, 7/4+3i/2,....}

El límite cuando n es c = 2+i

(y |zn-c| = |-1/n+2i/n| = 5/n <  si n > 5/)

slide8
La sucesión converge a i. Observa que

Re(i) = 0 y Im(i) = 1. Entonces:

slide9

Igual que hemos hecho mención a la parte real

e imaginaria para la convergencia de la sucesión,

podemos hablar del módulo y el argumento. Así:

Sea

,donde

Si

,entonces

slide10

Sea por ejemplo la sucesión de términos:

El módulo

converge a:

Y el argumento a:

Por tanto la sucesión

converge a:

series
Series

Dada una sucesión {zn}, una serieinfinita o serie se puede

formar a partir de una suma infinita:

Los z1, z2, ..... son denominados términos de la serie.

La sucesión de sumas:

s1 = z1

s2 = z1 + z2

s3 = z1 + z2 + z3

........

sn = z1 + z2 +....zn

es la sucesión de sumas parciales de la serie infinita.

series convergentes
Series convergentes

Una serie convergente es aquella tal que la sucesión de sumas parciales converge, i.e.:

donde s es la suma o valor de la serie y se expresa:

Una serie divergente es aquella que no converge.

Llamaremos resto Rnde la serie a:

Si la serie converge y suma s, entonces

slide13

Ejercicios:Demostrar que

  • Una serie con zm= xm+iym converge con suma s = u+iv sii

u = x1+x2+..... converge y v = y1+y2+..... converge.

(2) Si una serie z1+ z2 +.... converge, entonces

En caso contrario, la serie diverge.

(3) Que {zm}  0 es condición necesaria para la convergencia,

pero no suficiente.

Recuerda que para la serie harmónica 1+ ½ +1/3 +...

el término 1/n  0 cuando n tiende a infinito, perola

serie diverge.

serie geom trica
Serie geométrica

Para la serie geométrica:

el término enésimo de la sucesión de sumas parciales es:

Observa que zn 0 cuando n   para |z| < 1, en cuyo casi Sn converge a a/(1 – z). La serie diverge para |z|  1.

slide15
Ejemplo:es una serie geométrica con a = (1 + 2i)/5 y z = (1 + 2i)/5. Puesto que |z| < 1, tenemos que:
slide17
Teorema de Cauchy para series.

Una serie z1+ z2 +.... es convergente sii dado cualquier >0

podemos hallar un N tal que |zn+1+zn+2+...+zn+p| <  para todo

n > N y p =1, 2...

Convergencia absoluta.

Una serie z1+ z2 +... es absolutamente convergentesi la serie de

los valores absolutos de sus términos

 |zm| = |z1| + |z2| + ......

m=1

es convergente. Si z1+ z2 +... converge pero |z1|+ |z2| +.... diverge,

la serie z1+z2.... es condicionalmente convergente.

Si una serie es absolutamente convergente es convergente

Ejemplo:La serie 1- 1/2+ 1/3- ¼ +... converge condicionalmente.

slide18
¿Es la serie convergente?

Es absolutamente convergente, puesto que

|ik/k2| = 1/k2 y la serie real

es convergente.

De modo que la serie original es convergente.

slide19
Comparación de series:

Si dada una serie dada z1+ z2+ ... , podemos hallar una serie

convergente b1+ b2+ ... con términos reales no negativos tal que

|zn|  bnpara todo n = 1, 2, ...entonces la serie dada converge,

incluso absolutamente.

(Ejercicio: demostrarlo)

Criterio del cociente:

Si una serie z1+ z2+ .... con zn0 (n = 1, 2, ...) cumple que

|zn+1/zn|  q < 1 ( n > N, con un q dadopara cualquier N)

la serie converge absolutamente. En cambio si

|zn+1/zn|  1 ( n > N) la serie diverge.

(Ejercicio: demostrarlo)

slide20
Si tenemos una serie z1+ z2 +.... con z n 0 (n = 1, 2, ..) tal que

Entonces se cumple que:

  • Si L < 1 la serie converge absolutamente.
  • Si L > 1 diverge.
  • Si L = 1 “no sabe, no contesta”.

(Ejercicio: demostrarlo)

Dado

¿Es S convergente o divergente?

Converge.

slide21
Criterio de la raíz:

Si una serie z1+ z2 + ... cumple que para todo n > N

n|zn|  q < 1 (n < N)

donde q<1 está fijado, la serie converge absolutamente. Si para infinitos n se cumple que:

n|zn|  1 , la serie diverge.

Entonces, si una serie z1+z2+... cumple que para todo n > N

lim n|zn| = L

n

entonces:

  • Si L < 1 la serie converge absolutamente
  • Si L > 1 diverge
  • Si L = 1 no podemos extraer conclusiones
slide22
Dado

¿Es S convergente?

Como el límite es mayor que 1, la serie diverge.

Ejercicio: demostrar que

La serie geométrica

converge con suma 1/(1-q) si |q| < 1 y diverge para otros valores.

slide27

¿Qué es un número primo?

Un entero mayor que uno se llama número primo si

solo tiene como divisores a 1 y a él mismo.

"primo" = "de base"

slide28

Hay dos hechos sobre la distribución de los números primos de las que espero convencerles tan fuertemente que queden permanentemente grabadas en sus corazones. La primera es que, a pesar de su sencilla definición y de su papel como ladrillos en la construcción de los números naturales, los números primos pertenecen a la clase más arbitraria y perversa de los objetos estudiados por los matemáticos: crecen como malas hierbas entre los números naturales, parecen no obedecer otra ley que las del azar, y nadie puede predecir donde brotará el siguiente. El segundo hecho es incluso más

sorprendente, pues afirma justo lo contrario: que los números primos exhiben sorprendentes regularidades, que hay leyes que gobiernan su comportamiento, y que obedecen estas leyes con precisión casi militar.

Don Zagier, "The first 50 million primes" Mathematical Intelligencer, 0 (1977) 1-19

slide30

El teorema fundamental de la aritmética

El teorema fundamental de la aritmética muestra que los primos son los ladrillos básicos con los que están construidos los enteros. Dice:

Todo entero positivo mayor que uno puede ser escrito de forma única como el producto de primos,

con los factores primos en el producto en orden de tamaño no decreciente.

(Euclides, Elementos).

slide31

¿Cuántos primos existen?

Euclides demostró que siempre existe al

menos un primo entre n y (n! + 1) de la

siguiente manera:

(a)n! y (n! + 1) no tienen factores comunes.

(b) O bien (n! + 1) es primo o bien es factorizable:

(b.1) Si (n! + 1) es primo queda demostrada

la afirmación.

(b.2) Si (n! + 1) puede descomponerse en factores,

por (a) ninguno de ellos puede dividir a n!

De modo que cualquier factor de (n! + 1) estará entre n y (n! + 1).

(b.2.1) Si el factor es primo queda demostrada la afirmación.

(b.2.2) Si el factor no es primo, entonces por el mismo argumento

(b.2), será mayor que n y podemos volver a descomponerlo hasta

encontrar finalmente un primo mayor que n.

slide32

Ausencia aparente de un patrón regular

en la secuencia de números primos

Por ejemplo, hay nueve primos entre 9.999.900 y 10.000.000:

Pero entre los cien enteros siguientes, desde 10.000.000 a 10.000.100, hay solo dos:

10.000.019 y 10.000.079.

slide33

Los matemáticos griegos probaron, alrededor del 300 antes de nuestra era, que existen infinitos primos y que están espaciados de manera irregular, es decir que la distancia entre dos primos consecutivos puede ser arbitrariamente larga.

slide35

The Counting Prime Function

"¿Cuántos primos menores que un número x hay?"

Así los primos menores o iguales a 25 son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 y 23 de modo que (25) = 9.

slide36

La distribución de números primos parece ser aleatoria. Por ejemplo, hay probablemente infinitos primos gemelos y existen gaps arbitrariamente largos entre primos.

slide37

"It is evident that the primes are randomly distributed

but, unfortunately we don't know what 'random'

means".

R.C. Vaughan

slide38

Sin embargo, la función π(x) exhibe un sorprendente "buen comportamiento".

"Here is order extracted from confusion, providing a moral lesson on how individual eccentricities can exist side by side with law and order".

The Mathematical Experience by Philip J Davis & Reuben Hersh

slide39

"For me, the smoothness with which this curve climbs is one of the most astonishing facts in mathematics."

Don Zagier, "The first 50 million primes"

Mathematical Intelligencer, 0 (1977) 1-19

slide40

22.0 - 19.7 = 2.3

Observemos que cuando pasamos de un orden de magnitud al siguiente el cociente n/p(n) se incrementa aproximadamente 2.3.

Sabiendo que Ln 10 = 2.30258... Gauss formuló la conjetura de que p(n) es aproximadamente igual a n/Lnn.

slide42

Legendre

En 1798 Legendre publica la primera

conjetura significativa sobre la forma

funcional de (x), cuando en su libro

Essai sur la Théorie des Nombres

escribe que:

slide44

The logarithmic integral

function Li(x)

Zagier en su artículo dice al respecto:

"within the accuracy of our picture, the two coincide exactly."

slide45

Se sabe que Li(x) no es siempre mayor que (x), pero eso

ocurre por primera vez ¡alrededor de 10320!

slide49

El teorema de los números primos:

En 1896, de la Valee Poussin y Hadamard probaron

simultáneamente lo que se había sospechado durante

mucho tiempo, el teorema de los números primos:

El número de primos que no excede a x es asintótico a x/log x. En otras palabras, la probabilidad de que "un número x escogido

al azar sea primo es 1/log x".

slide50

El teorema nos dice que x/log x es, hasta cierto punto, una buena

aproximación a π(x) . Al decir que "a(x) es asintótico a b(x)" o

"a(x) ~b(x)" decimos que el límite de a(x)/b(x) es 1 cuando x

tiende a infinito. Pero, observemos que a(x) ~ b(x) no significa

que a(x) - b(x) sea pequeño.

slide51

El teorema de los números primos implica que podemos

usar x/(log x - a) (con cualquier constante a) para aproximar

(x).  Chebychev demostró que la mejor elección era a = 1.

slide52

Que Li(x) sea asintótica con (x) es impresionante,

pero lo que nos gustaría es estimar (x) lo mejor

posible. Es decir, si

nos gustaría conocer este error E(x) lo más

exactamente posible. Y eso nos lleva al problema

más famoso de la matemática...

slide53

La función zeta ζ(s)

Euler la llamó función zeta

en 1737. Consideró que s

era un real mayor que 1.

slide55

Euler utilizó esta identidad

para demostrar que

Producto de Euler para la función zeta.

i.e., existen infinitos primos.

slide56

Retomemos nuestro hilo...

Series de Taylor en variable real:

Es fácil ver

por qué el

radio de

convergencia es

|x|<1.

Pero, en este caso:

¿cuál es el motivo?

slide57

¿Podemos expandir cualquier función compleja

en series?

Podemos expandir funciones analíticas en unas

series especiales llamadas “series de potencias”

¿Cómo hallar esas series ?

(1) Usando el Teorema de Taylor

(2) Usando otras series conocidas

(y algunos trucos)

slide58

Serie de potencias

Una serie de potencias en es:

coeficientes complejos

centro de

desarrollo

P.ej.

slide59

Convergencia de series de potencias

Las series de potencias en general convergen para algunos

valores de z, y para otros.

Por ejemplo la serie

(Serie

geométrica)

converge para |z |<1, pero diverge para |z |≥1.

Fuera del círculo de

convergencia la serie

de potencias diverge.

Radio de

convergencia

R =1

Círculo de convergencia:

mayor círculo centrado en z0 en el que la serie de potencias converge.

slide60

Radio de convergencia

infinito; R = 

Ejemplos:

La serie converge para todo z

Radio de convergencia cero;

R = 0

La serie diverge para todo z (excepto z = 0)

slide61

La serie de potencias siempre converge para z = zo

(2) Hay un radio de convergencia R para el cual:

: diverge

: converge

Los valores z tq. pueden converger o no

slide62

En resumen:

El radio de convergencia R puede ser:(i) cero (converge solo en z = z0).(ii) un número finito R (converge en todos los puntos del círculo |z−z0| < R).(iii)  (converge para todo z).La serie de potencias puede converger en algunos, todos o ninguno de los puntos de la circunferencia de convergencia. Hay que determinarlo por separado.

slide63

¿Hay una forma rápida para hallar el radio de convergencia?

La fórmula de Cauchy-Hadamard:

(i) R = 1/L.(ii) R es .(iii) R = 0.

slide65

: converge

: diverge

slide66

Ejemplo:

: diverge

: converge

slide67

Ejemplo:

: diverge

: converge

slide68

Otro ejemplo:

El radio de convergencia es .

slide69

Recuerda además que todo lo dicho para series, evidentemente funciona para series de potencias.

Por ejemplo:

(1) Si la serie diverge.

(2) Si la serie diverge.

(3) Comparar:

(4) Si la serie diverge.

slide70
El test de la raíz nos muestra que R = 1/3. El círculo de convergencia es |z – 2i| = 1/3.

La serie converge absolutamente para:

|z – 2i| < 1/3.

slide71

Resumen y varios comentarios interesantes:

(Observa que para nosotros era:

En el punto iv se resuelve el enigma)

slide78

Series de potencias y funciones analíticas

Cualquier función analítica f (z) puede ser representada por una serie de potencias con radio de convergencia R 0. La función representada por la serie es analítica en todo punto dentro del radio de convergencia.

Ejemplo:

la serie converge para |z|≤1

Radio de convergencia R = 1

slide79

¿Cómo encontrar la serie de potencias de una función

analítica determinada?

A las series de potencias que representan funciones

analíticas f (z) se les llama series de Taylor.

Vienen dadas por la fórmula:

(Cauchy, 1831)

slide81

Demostración del teorema de Taylor:

y

x

Por la fórmula integral de Cauchy:

Vamos a desarrollar el integrando:

slide83

Donde hemos definido el residuo Rn:

Observemos que:

Si M es el valor máximo que puede alcanzar

sobre C1:

Y puesto que r/r1 < 1, el límite cuando N tiende a infinito

del residuo es cero. De modo que para cada z interior a C0,

la serie de Taylor converge a f(z).

slide84

Brook Taylor

(1685-1731)

En 1715 agregaba a las matemáticas

una nueva rama llamada ahora “El

cálculo de las

diferencias finitas

”,

e inventó la

integración por

partes

. Descubrió la célebre

fórmula conocida como la

serie de

Taylor.

Taylor también desarrolló los

principios fundamentales de la

perspectiva

(1715).

James Gregory (1638 – 1675)

descubrió las “series de Taylor”

40 años antes que Taylor ...

slide85

Ejemplo:

Encontrar la serie de Taylor para

(1) Tomemos centro z = 0 :

punto singular

centro

slide86

(2) Tomemos centro z =1/2 :

punto singular

centro

slide87

Una función analítica f (z) puede ser representada mediante series de potencias con distintos centros zo

(aunque hay únicamente una serie para cada centro).

Hay por lo menos un punto singular en la circunferencia de convergencia

slide88

Ejemplo:

con centro z = 0

¡no hay puntos singulares!

centro

slide89

Unicidad del desarrollo de Taylor

Supongamos que f(z) es analítica y desarrollable alrededor

de z0 , tq:

¿Existirá otra serie

de potencias:

Tomando z = z0 en las

expresiones anteriores:

Son los mismos coeficientes del

desarrollo de Taylor

slide90

Derivar la serie de Taylor directamente a partir

de la fórmula

puede ser complicado.

Normalmente se usan otros métodos:

(1) La serie geométrica

(2) La serie binomial

(3) Otras series conocidas como la exponencial, el coseno, etc.

slide91

Expandir

Ejemplo:

para z = 0

(usar la serie geométrica)

Primero dibujamos el centro y los puntos singulares de f(z) para hacernos una idea:

puntos singulares:

centro

Parece que el radio de convergencia es R=1.

slide92

Sabemos que

Por tanto

La serie geométrica converge para |z|<1

por tanto nuestra serie converge para |z|2 <1

O lo que es lo mismo: para|z|<1.Y efectivamente el radio

de convergencia es R = 1 como habíamos predicho.

slide93

para z = 1

Expandir

Ejemplo:

(usar la serie geométrica)

De nuevo dibujamos el centro y los puntos singulares de f(z):

centro z = 1

puntos singulares:

Parece que el radio de convergencia es R = 1/2

slide94

Sabemos que

por tanto

La serie geométrica converge para |z |<1,

por tanto nuestra serie converge para |2(z-1)|<1

es decir, para |z -1| < 1/2.

slide96

para z = 0

Expandir

Ejemplo:

(Usar la serie binomial)

Centro y puntos singulares R = 1:

Punto singular:

Centro z = 0

slide97

La serie binomial es:

Por tanto:

essingular enz= -1

La serie binomial converge para |z |<1

Por tanto nuestra serie converge para|-z |<1

Es decir |z |<1.

slide98

Puntos singulares:

Centro z = 0

Ejemplo:

Expandir

enz= 0

… el radio de convergencia

debería serR = 2.

slide100

y

converge para

Así que

converge para

slide101

Converge para

|z|<4.

Para:

Converge para

|z|<2

hay convergencia

en el área común

slide103

Ejemplo:

(de uso de series conocidas)

enz= 0

Expandir

no hay puntos singulares…el radio de convergencia

debería ser R = .

Usando la serie

slide106

En algunos casos excepcionales, un punto singular puede incluso aparecer dentro del círculo de convergencia.

Centro

Recordemos que el Ln z es singular (no analítico)

sobre el eje negativo.

slide115

Una serie de potencias

puede diferenciarse término a término en cu círculo de convergencia

slide117

Ejercicio: Obtener el desarrollo de Taylor de la función

f(z) = 1/z alrededor de z0 = 1.

Respuesta:

Ejercicio:Diferenciando la serie anterior obtener el

desarrollo de Taylor de la función g(z) = 1/z2 alrededor

de z0 = 1.

slide119

Ejercicio: Obtener la serie de Maclaurin de la función

“seno integral” (se trata de una función que aparece con

frecuencia en problemas de radiación electromagnética

y que no es posible evaluar en términos de funciones

elementales):

Observa que la serie de Taylor

converge también para 0.

multiplicaci n de series

Podemos multiplicar dos series de potencias término a término,

y “recolectar” los términos con igual potencia para determinar

una nueva serie de potencias, el producto de Cauchy de las

dos series:

Multiplicación de series
slide125

Ejemplo: Obtener mediante el producto de series, el

desarrollo de Maclaurin de f(z) = ez /(1-z).

Para |z| < 1, la condición “más fuerte” de las dos.

slide133

De hecho, podemos definir las funciones

elementales a partir de series de potencias.

Por ejemplo:

slide134

Como hemos visto podemos expandir una función analítica

en serie de Taylor alrededor de un centro.Por ejemplo,

Podemos expandir la misma función

respecto a distintos centros. Por ejemplo:

Notemos que (a) siempre tenemos potencias positivas de (z-z0).

(b) la serie converge dentro de un disco.

slide135

Pero hay otro tipo de series que:

(a) incluyen potencias negativasde (z-z0)

(b) convergendentro de un anillo

Tales series se llamanseries de Laurent.

Ejemplo

Converge para1<|z|<2

Centro

Puntos singulares enz= 1, 2

slide136
Recordatorio:

Singularidades aisladas

Supongamos que z = z0 es una singularidad de una función compleja f. El punto z0 se llama singularidad aislada si existe un disco puntuado abierto 0 < |z – z0| < R en el que la función es analítica.

slide137

La serie de Laurent siempre converge dentro de un anillo.

Si tomamos una función y dibujamos sus puntos singulares, podremos separar el plano complejo en distintas regiones de convergencia.

Ejemplo

centro

centro

En el anillo 1< |z| < 

tenemos la serie de Laurent:

Dentro del disco |z|<1 tenemos la

serie de Taylor:

slide138

Por supuesto, podemos tener

distintos centros ...

centro

centro

En el anillo 2<|z+1|< 

tenemos la serie de Laurent.

Dentro de un disco|z+1| < 2

tenemos la serie de Taylor.

slide139

El centro podría ser, incluso, el punto singular ...

En este caso, la serie es válida

para 0<|z-1|< ,un disco con

el punto singular z0=1situado en

el centro.

centro z0=1

En este caso, la serie está formada por un único término

slide140
La función f(z) = (sin z)/z3 es no analítica en z = 0 y no podemos expandirla como serie de Maclaurin. Sabemos que:

converge para todo z. Así que:

convergerá para todo z excepto z = 0, 0 < |z|.

slide141

Ejemplo

¿Cuántas series con centro z0 = 1/4 puede tener la función

?

La función presenta dos singularidades

(polos simples), enz = -1, 2.

7/4<|z-1/4|<

5/4<|z-1/4|<7/4

|z-1/4|<5/4

El anillo siempre está entre los puntos singulares.

slide142

Ejemplo

¿Cuántas series con centro z0=0 tiene la función ?

La función presenta una singularidad

(polo de segundo orden) en z = 2.

2<|z|<

|z|<2

slide143

Ejemplo

Centro z= 2 para:

Tres singularidades (polos simples): z = -i, 1, 4.

1<|z-2|<2

|z-2|<1

slide144

¿Cómo hallar la serie de Laurent?Teorema de Laurent:

Supongamos que la función f(z) es analítica en un anillo de

centro z0, r0< |z - z0| < r1. Entonces f(z) admite representación

en serie de Laurent:

donde

r0

C

r1

¿Cuánto valen los bn’s cuando

f(z) es analítica en |z-z0| < r1?

Pierre Alphonse Laurent (1843)

slide145

Demostración del teorema de Laurent:

y

Por la fórmula integral de Cauchy para un

dominio doblemente conexo:

x

slide148

Observemos que:

Si M es el valor máximo que puede alcanzar

sobre C1:

Y puesto que r/r1 < 1, el límite cuando N tiende a infinito

del residuo es cero. De modo que para cada z interior a C0,

la serie de Taylor converge a f(z).

slide149

Hallando la serie de Laurent

Dado queconverge para|z |<1, la serie

converge para|1/z|<1, o |z|>1

Igual que para el caso de la serie de Taylor, hay distintas formas de hallar la serie de Laurent de una función. En la práctica, no usaremos la fórmula anterior. Un método más simple consiste en usar la serie geométrica, tal como hicimos con la serie de Taylor.

Ejemplo (1)

Expandirla función 1/(1-z) en potencias negativas de z

slide150

Ejemplo

Expandirla función 1/(i-z) en potencias de z-2

(Serie de Taylor)

Dado que converge para |z|<1, la serie

converge para

slide151

Otra posibilidadconsiste en expandir la función

1/(i-z) en potencias negativasdez-2 (serie de Laurent):

Dado que converge

para |z|<1, la serie converge para

slide152

Ejemplo (3)

Expandir la función con centro z = 1

converge para 0<|z -1|<

¡El centro es el punto singular !

slide153

Cada serie de Laurent tienedos partes:

Potencias positivas (serie de Taylor)

DENTRO

Potencias negativas (Parte Principal)

FUERA

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Ejemplo

Expandir la función con centro z=0

¿De cuántas formas podemos hacerlo?

centro

(a) |z|<1

(b) 1<|z|<3

(c) 3<|z|< 

slide155

(a) |z| < 1

Dentro del disco,términos positivos:

serie de Taylor.

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(b) 1 < |z| < 3

potencias negativas

1 < |z| < 

potencias positivas

|z| < 3

Serie de Laurent

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El término está “fuera”

- términos negativos

El término está “dentro”

- términos positivos

En la página anterior, ¿cómo sabíamos qué término expandir en potencias negativas y cuál, si lo había, expandir en potencias positivas?

El anillo final resulta de

la superposición

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(c) 3 < |z| < 

potencias negativas

3 < |z| < 

potencias positivas

|z |< 

slide160
(b) 0 < |z – 3| < 2.

(binomial válida para

|(z – 3)/2| < 1 o |z – 3| < 2)

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En el centro z = 2 f es analítica. Queremos encontrar dos series de potencias enteras de z – 2; una convergiendo para 1 < |z – 2| y la otra para |z – 2| < 2.

1 < |z – 2| < 2.

|(z – 2)/2| < 1 o |z – 2| < 2.

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(a) 0 < |z| < 1,

(b) 1 < |z|,

(c) 0 < |z – 1| < 1

(d) 1 < |z – 1|.

slide168

Dada la función f(z), obtener la serie de Laurent en torno a cada uno de sus puntos singulares. A la vista del desarrollo, clasificar las singularidades.

z0 = 0

z0 = 3

Puntos singulares

Examen

JUNIO 04/05: P-1

slide169

z0 = 0

z0 = 3

0

0

3

3

Polo doble

Polo simple

slide170

P1. Junio 2006

  • Obtener el desarrollo en serie de Laurent de la función f(z)
  • válido en el entorno de cada uno de sus puntos singulares.

Respuesta.

Puntos singulares, z = 0, z = 2.

slide171

Entorno de z = 0; 0 < |z| < 2

2

  • Entorno de z = 2; 0 < |z - 2| < 2

2

4

slide173

Obtener el desarrollo en serie de Laurent de la función

a

válido en el disco |z| < a. Especificar el máximo valor de a donde el desarrollo es convergente.

Respuesta.

Ptos. singulares z = ±1. (z = 0 es una singularidad evitable: lim (z→0) f(z) = 1)

amáx = |z– 0| = 1. Recordemos que:

slide175

Sea la función donde se considera la determinación del argumento (0,2π). Se pide:

  • Calcular razonadamente el dominio de analiticidad, y clasificar las singularidades, especificando el tipo.
  • Indicar las coronas en torno a z0 = 0 donde se puede hallar el desarrollo de Laurent.
  • Calcular el desarrollo de Laurent en torno a z0 = 0 en la corona |z| > 4.

P1. Septiembre 2007

slide176

a) La función f es el producto de dos funciones, luego no es analítica en aquellos puntos en los que:

- El cociente no es analítico, es decir, el punto z = 0.

- La función no es analítica. Para analizar el dominio de holomorfía de esta función se debe considerar:

* Por un lado, los puntos singulares de , en este caso, z = 1.

* Por otro lado, los puntos singulares de log w con la determinación (0,2π). Esta determinación no es analítica en w = 0 y en los puntos que cumplen

Im(w) = 0 y Re(w)>0. Introduciendo la variable z = x + iy

Respuesta.

slide178

Con todo, la función f es analítica en todo el plano complejo menos en z = 0 y en el segmento

Im (z)‏

Re (z)‏

  • - Los puntos no son aislados, luego la función no admite desarrollo en serie en torno a ellos.
  • El punto z = 0 es una singularidad aislada. Para analizar de qué tipo observamos que f se puede expresar de la forma con
  • analítica en z = 0 y g(0) = log(-4) = Ln(4) + iπ ≠ 0. Luego z = 0 es un polo doble.
slide179

y buscamos los desarrollos de cada fracción convergente en el dominio |z| > 4 o, expresado de modo más conveniente,

b) El único punto singular aislado es z0 = 0, por lo que se puede obtener tanto la serie de Laurent de la función en torno a z0 = 0 válida en la corona 0 < |z| < d(0,1) = 1, como la serie convergente en el dominio |z| > 4.

Para calcular el desarrollo en serie de la corona |z| > 4, derivamos respecto de z la función , de modo que

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Obtener todos los posibles desarrollos en serie de potencias (Taylor y Laurent) de las funciones complejas:

alrededor de z = 1. Indicar el radio de convergencia de cada una de las series obtenidas.

Respuesta.

a) Desarrollaremos primero en serie de Taylor alrededor de z = 1. Observemos que f(z) tiene un punto singular en z = -1, de modo que el desarrollo será válido para |z – 1| < 2, es decir, |(z – 1)/2| < 1.

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Entonces:

Ahora desarrollaremos fuera del círculo anterior, es decir, para

|z – 1| < 2 ó |(z – 1)/2| < 1, en serie de Laurent.

Observemos que |(z – 1)/2| < 1 y entonces:

slide183

b) Observemos que ;

entonces derivando las series anteriores obtenemos:

slide199

Gracias al desarrollo de Laurent podemos encontrar

el valor de algunas integrales. Por ejemplo, calculemos:

Encontremos las serie de Laurent

de e1/z:

Recordemos:

slide200

Otro ejemplo: Desarrollemos f(z) = 1/(z-i)2 en serie de

Laurent alrededor de z0 = i.

¡Ya está desarrollado! Todos los coeficientes an y bn son cero a excepción de b2 = 1. Entonces, como:

¡Hemos resuelto

infinitas integrales

de una tacada!

slide201

Acabemos con la pregunta de la transparencia

sobre series de Taylor en variable real:

Es fácil ver

por qué el

radio de

convergencia es

|x|<1.

Pero, en este caso:

¿cuál es el motivo?