第三章数学教育的基本理论

第三章数学教育的基本理论 • [德]Felix Klein(1849-1925) 克莱因之路(P3) • [荷] H.Freudenthal(1905-1990) 费赖登塔尔(P43) • [美] G.Polya(1887-1985) 波利亚解题理论(P46) • [瑞] Jean Piaget(1896-1980) 皮亚杰智力发展理论 • [美] D.P.Ausubel 奥苏伯尔有意义言语学习理论 • 中国”双基”数学教学理论(2006) • 差异数学教学理论(2007) 祝”嫦娥一号”探月卫星发射成功! 公元2007年10月24日18:05

F·克莱因（F. Klein, 1849-1925） 弗赖登塔尔（H. Freudenthal, 1905-1990）波利亚（G. Pólya, 1887-1985）

克莱因(Klein)的数学教育观点 • 克莱因，数学家、数学教育家.一代几何学权威，1872年发表著名的几何学“爱尔兰根纲领”，用运动群下的不变量对几何学进行分类，成为划时代的数学里程碑. • 他后来是世界数学中心——哥廷根大学的数学领导人.并在那培养了第一个数学教育博士Rudolf Chimmack. • 1908年，在第四届国际数学家大会(ICM)上成立了国际数学联盟(TMU)的一个新的下属组织——国际数学教育委员会(ICMI)，克莱因当选为该委员会第一任主席.

Klein的数学教育观 （1）数学教师应具备较高的数学观点，只有观点高了，事物才能显得简单明了；（2）教育应该是发生性的(数学教学是生成的)；（3）应该用综合起来的一般概念和方法来解决问题，而不是去钻研那种特殊的解法(通法通识)；（4）应该把算术、代数和几何学方面的内容，用几何的形式以函数为中心观念综合起来(统一观点下的、整体的数学).

§3.1 Freudenthal数学教育理论 • 弗赖登塔尔（H. Freudenthal, 1905-1990） • 荷兰皇家科学院院士和数学教育研究所所长 • 专长为李群和拓扑学，后重心转向数学教育 • 1967-1970年期间任国际数学教育委员会(ICMI)主席，倡议召开第一届ICMI；倡导数学教育研究要像研究数学一样，以科学论文形式交流，即前人作了什么，我作了什么，证据是什么，并有详细的文献支持，注重学术研究规范. • 1987年曾来华访问（华东师大和北京师大）

Freudenthal数学教育理论 • 代表作《作为教育任务的数学》 • 数学教育的基本特征（现实,数学化,再创造）: ——情景问题是教学的平台. ——数学化是数学教育的目标. ——学生通过自己努力得到的结论和创造是教育内容的一部分. ——“互动”是主要的学习方式. ——学科交织是数学教育内容的呈现方式.

何谓数学教育中的现实 • 数学教育中的现实——数学来源于现实，存在于现实，应用于现实，而且每个学生有各自不同的“数学现实”. • 数学教师的任务之一就是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实. • 如：例题生活化，问题情境化.

运用“现实的数学”进行教学 • 第一，数学的概念、运算、法则和命题，都是来自于现实世界的实际需要而形成的，是现实世界的抽象反映和人类经验的总结. • 第二，数学研究的对象，是现实世界同一类事物或现象抽象而成的量化模式. • 第三，数学教育应为不同的人提供不同层次的数学知识.

什么是数学化 • 人们在观察、认识和改造客观世界的过程中，运用数学的思想方法来分析和研究客观世界的种种现象并加以整理和组织的过程——即数学地组织现实世界的过程就是数学化. • 数学教学即是数学化的教学. 抽象化、公理化、模型化、形式化等等，都可看成是数学化. • 现实数学教育所说的数学化的形式有两种：实际问题转化为数学问题的数学化；从符号到概念的数学化.

数学化的基本流程（1） 实际问题转化为数学问题的数学化的流程： 1.确定一个具体问题中包含的数学成分； 2.建立这些成分与学生已知数学模型之间的联系; 3.通过不同方法使之形象化、符号化和公式化； 4.找出蕴涵其中的关系和规则； 5.考虑相同数学成分在其他数学知识领域的体现; 6.作出形式化的表述.

数学化的基本流程（2） 从符号到概念的数学化的基本流程： 1.用数学公式表示关系； 2.对有关规则作出证明； 3.尝试建立和使用不同的数学模型； 4.对得出的数学模型进行调整和加工； 5.综合不同数学模型的共性，形成新模式； 6.用已知数学语言尽量准确的描述得到的新概念和新方法.

数学学习的“再创造” • 学生“再创造”学习数学的过程实际上就是一个“做数学”(doing mathematics)的过程。其核心是数学过程再现。 • 数学学习是一个经验、理解和反思的过程，强调以学生为主体的学习活动对学生理解数学的重要性，强调激发学生学生主动学习，做数学是学生理解数学的重要途径

§3.2 波利亚的解题理论 • George Polya(1887-1985)乔治.波利亚 • 美籍匈牙利人，布达佩斯大学毕业(法律-语言-数学)，20世纪重要的数学家，更是一位伟大的数学教育家. • 美国国家科学院士、巴黎科学院院士、匈牙利科学院院士，1980年被选为国家数学教育大会荣誉主席. • 喜欢哲学，老师告诉他“学习数学与物理可以帮助人理解哲学”，他徘徊后选择数学，理由是“学物理我不够好.学哲学我又太强，数学在这两者之间.”

波利亚的数学教育观 • 数学研究,编写教材,教师培训. • 波利亚认为,中学数学教育的根本目的是“教会学生思考”——有目的的思考、产生式的思考，也包括形式的和非形式的思维. • 学东西最好的途径是自己探索、亲自去发现它 • 学习过程：探索，阐明，吸收. • 好的数学教师，必须具备数学和教学法两方面的知识.

给数学教师的“十条建议”： （1）对自己的科目要有兴趣（2）熟知自己的科目（3）懂得学习的途径（亲自独立发现）（4）努力观察学生，察觉期望和困难（5）传授知识，更要传授技能，思维方式（6）让学生学会猜想问题（7）让学生学会证明问题（8）从手头上的题目出发，寻找一般模式（9）不要把你的全部秘诀一下子倒给学生（10）启发问题，而不要填鸭式地塞给学生

波利亚Polya的解题理论 • 著作《怎样解题》(1945)《数学的发现》(1954)《数学与猜想》(1962)《数学分析中的定理和问题》（与G.舍贵,1925年Springer-Verlag出版） • “每个大学生，每个学者，特别是每个老师都应该读读这本引人入胜的书”——范.德.瓦尔登.

解题(Problem Solving)是数学的特点 • 波利亚对解题理论进行了系统、深入的研究，《怎样解题(How to Solve It)》,1945年由美国斯普林格大学出版，至少翻译成17种以上文字. • 问题是数学的心脏，数学教学的本质在于解题.波利亚热衷于数学与数学教育研究，特别是中学教师的培训. • 他指出应当给学生“以适合他们程度的问题去引起他们的好奇心，并且用一些吸引人的问题来帮助他们解题”，这样做“会引起学生们对对立思考的兴趣并教给他们一些方法”.

解题(Problem Solving)是数学的特点 • 学习数学就是学习解题. • 解题是数学的一大特点.其他学科，例如语文，也需要习作，需要命题作文，但其数量与种类均不能与数学的习题相提并论。至于理化等科，它们的特点是动手实验或实习. • 我国南宋数学家杨辉曾指出： “夫学算者，题从法取，法将题验，凡欲明一法，必设一题.”

解题(Problem Solving)是数学的特点 • 学数学的目的，不是别的，就是为了学会解题. • 数学书中有不少公式、法则、定义、定理，这些都不需要死记硬背，而是要通过解题逐步地理解、掌握.所以上谕学习数学的学生，都把重要精力花在解题上. • “数学尖子”就是解题能力强的同学. • 任何一本现代的数学课本，都配备了相当数量的习题，用以领悟巩固所学的内容、方法. • 但做习题并不只是在学完一个方法或一些知识之后，知识、方法应当尽可能地通过问题的形式引入.

“怎样解题表”（P48） 第一，弄清问题第二，拟定计划第三，实施计划第四，回顾总结为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个感令人困惑的问题，波利亚研究了解题的思维过程，并把他解题风格的心路历程，概括为“怎样解题表”

“怎样解题表”——例1（P50~55） 例给定正四棱台的高h，上底的一条边长a和下底的一条边长b，求正四棱台的体积F. （学生已学过棱柱、棱锥的体积） [讲解]：第一，弄清问题（问题1，2）第二，拟定计划（问题3，4，5）第三，实施计划（作辅助线）第四，回顾总结（正面检核每一步，推理有效、演算准确；回顾过程，总结模式；分析方法，思维策略；心理机制；组合与分解；反思与信念）

12条解题要诀（单墫） 1.要享受到解题的乐趣（浓厚兴趣，有几分痴迷更好）. 2.要有充足的信心. 3.要有百折不回的决心与坚忍不拔的毅力. 4.要做100道有质量的题目. 5.反复探索，大胆地跟着感觉走. 6.从简单做起. 7. 从不同的角度看问题. 8.学思结合，发挥创造性，努力产生“好想法”. 9.创设条件，不断变更题目. 10.因如适当字母（符号），向基本量靠拢. 11.力求简单自然，直指核心. 12注意总结. （每一个解题人，都有自己的经验，根据自己的经验总结出若干条有用的要诀.）

§3.3 建构主义的数学教育理论 • 什么是数学知识. （1）数学知识不是对现实的纯粹客观的反映，任何一种传载知识的符号系统也不是绝对真实的表征；（不过是人们对客观世界的一种结实、假设或假说）（2）数学知识不可能以实体的形式存在于个体之外，真正的理解只能是由学习者自身基于自己的经验背景而建构.

什么是数学理解 • 真正的理解只能是由学习者自身基于自己的经验背景而建构起来. • 理解，取决于个人特定情况下的学习活动过程，否则就是死记硬背或生吞活剥，是被动的复制式的学习. • 学生的理解只能由学生自己去进行，而且要通过对新知识进行分析、检验和批判才能真正做到理解. • 建构主义的有些观点，也要辨证分析.

建构主义观下的数学学习特征 • 数学学习的方式:复制式和建构式. • 学习不是由教师把知识简单地传递给学生，而是由学生自己建构知识的过程，别人无法替代. • 学习不是被动接受信息刺激，而是主动地建构意义，是根据自己的经验背景，对外部信息进行主动地选择、加工和处理，获得自己的意义. • 学习意义的获得，是每个学习者以自己原有的知识经验为基础，对新知信息重新认识和编码，建构自己的理解. ——理解\情境\问题\反思\建构.

数学建构观的基本原则 • 1.主体原则：学生是数学学习的主体. • 2.适应原则：教师应该从学生的现实出发. • 3.建构原则：学生从原有的经验世界中建构. • 4.主导原则：教师是数学建构活动的设计者、参与者、指导者和评估者. • 5.问题解决原则：问题解决是数学教学的核心.

数学教学中一条必须遵守的重要原则：主动学习的原则.数学教学中一条必须遵守的重要原则：主动学习的原则. • 它的中心思想是：学习任何东西的最佳途径就是靠自己去发现. • （所谓师傅引进门修行靠个人）.

建构主义教学观的主要论点 • 教师不应该被看成是“知识的授予者”，而应该是学生学习活动的促进者. • 对传统教学法设计理论的严重挑战(彻底否定). • 数学教师对“什么是数学”和“应该怎样去从事数学研究”的观念对教学观有直接和重要的影响. • 不唯一着眼于结论，而更加注重过程的分析. • 变“问题解决”为“数学地思考”，并以此为中心.

建构主义教学原理应用举例 • 传统数学概念教学的步骤：概念的明确（定义，名称，符号）；分类；巩固；应用与联系 • 数学概念具有过程-对象的双重性，既是逻辑分析的对象，又是具有现实背景和丰富寓意的数学过程。因此，必须返朴归真，揭示概念的形成过程，从现实原形、抽象过程、思想指导、形式表达等多方位理解一个数学概念，使之符合学生主动建构的教育原理。

杜宾斯基:APOS理论（以函数为例） • Action阶段：通过操作活动，理解函数的意义. • Process阶段：把上述操作活动综合为一个函数过程. 如 x → x2，x → f(x). • Object阶段：把函数过程当组一个独立的对象来处理，可进行函数的加减乘除、复合运算. • Scheme阶段：函数概念以一种综合的心理图式存于大脑，形成知识的体系（完整）.

APOS理论（以代数式为例） • 代数式的本质在于“不定元”和数字可以像数一样进行运算. • A：通过运算活动理解具体的代数式. • P：体验代数式的过程. • O：对代数式的形式化表达. • S：建立综合的心理图式. • 建立代数式的心理表征：具体实例，运算过程，字母表示数的思想，代数式定义，能运用.

瑞士心理学家哲学家J.Piaget • 关于智力发展的四个阶段： • 1、感觉运动阶段（0~2岁） • 2、前运算阶段（2~7岁） • 3、具体运算阶段（7~12岁） • 4、形式运算阶段（12~15岁）即命题运算思维 • 智力发展理论概念：图式，同化，顺应，平衡

在中学数学教学中的应用 • 学习要有准备 • 具体运算阶段运用数学符号语言和概念有困难 • 初中生处于具体和形式运算两个阶段——提供适合运算的学习策略，设计相应的教学活动。例如，初中生喜欢通过图表、模型和其他具体手段进行数学学习。 • 智力源于动作（活动） • 缺点:影响智力发展的因素还有社会文化语言等

§6.4 Ausubel有意义学习理论 • 讲授法至今仍是学校教学中最为常用的一种重要的教学方法 • 美国认知心理学家奥苏伯尔提出了有意义言语学习理论。他认为，讲解法是一种非常有效的教学方法，并倡导应当更加致力于发展有效的讲解教学技巧，包含一个有意义学习的有效的讲解过程。

学习类型及学习条件 • 根据课堂学习中知识的来源和学习过程的性质，将学习划分为“机械—意义”“接受—发现”两个维度。 • 机械的学习与有意义的学习——前者的实质是形成文字符号的表面联系，学生不理解文字符号的实质；后者是指以符号为代表的新知识与学习者认知结构中已有的适当知识建立非人为的和实质性的联系。 • 接受学习与发现学习——全部学习内容是以定论的形式呈现给学生者的；学生需要进行独立的或有指导的发现。 • 概念学习是有意义学习的核心，概念同化是典型的有意义接受学习

有意义接受学习的条件 • 学习材料本身应有逻辑意义，它必须符合非人为的和实质性的标准；（外部因素） • 学习者的认知结构中必须具备适当的知识，以便与新知识进行联系；（认知因素） • 学习者必须具备有意义学习的意向，即学习者具备积极主动地把符号所代表的新知识与其认知结构中原有适当观念加以联系的倾向。（情感因素）

§6.5 中国数学“双基”教学理论 • 数学双基教学，是中华文化的组成部分，具有悠久的历史. • 稻作文化的精耕细作；儒家文化的注重基础；科举考试、考据文化的严谨推演——这些传统合力形成双基. • 认知心理学研究的支持——人的专长是由自动化技能、概念性理解和策略性知识组成；有意义的接受学习，更是注重“双基”的接受与形成；“熟能生巧”现代研究表明数学是“做”出来的.这些都是与“双基”息息相关。 • “双基”教学是一种精细的优质教学.

中国数学“双基”教学理论特征 第一，记忆通向理解形成直觉（记忆背诵，熟能生巧，促进理解）第二，运算速度赢得思维效率（条件反射，算法直觉，高级思维）第三，逻辑演绎保持严谨准确（抽象定义，逻辑表达，理性思维）第四，“重复”练习依赖变式提升（在变化中求得重复，在重复中获取变化；概念变式、过程变式、问题变式，等；提倡多种不同的算法和多种不同理解） • 数学“双基”教学，还有纵向的3个层次：双基基桩建设——以双基模块教学——构建双基平台（程序性知识）（知识链网络）（综合发展基础） • 参见：张奠宙，“中国数学‘双基’教学理论框架”《数学教育学报》，2006年第3期第1-3页

“双基”数学教学的发展 数学“双基”的要求应该与时俱进：双基+创新=优质 • 数学问题解决的教学 • 数学建模教学 • 数学开放题教学 • 数学文化教学 • 数学双基和计算机信息技术相结合 ——没有基础的创新是空想，没有创新的基础是傻练

数学“双基”教学策略 • “双基”教学理论是以重视逻辑演绎为主要特征，是“熟能生巧”的一种继续. • 数学“双基”教学策略包括三个主要环节：（1）以问题驱动引入；（2）师生互动交流；（3）精讲多练变式. • 一些具体做法: 情境创设；对话提问；巩固练习；启发式；熟能生巧，精讲多练，变式训练，题海战术；小步走,小转弯,小坡度; 大容量,快节奏,高密度.

建构主义教学观下的“双基”教学 • 准确把握建构主义数学教育观，促进数学“双基”科学有效地进行： • 第一，学生的学习与教师的教学是一个统一的过程，学习观与教学观应作为一个整体看待. • 第二，数学基本技能在数学学习过程有着特别重要的意义. • 第三，教师应该树立正确的“学生观”，“吃透两头”（教材和学生）：宽容、适应、尊重、创造. • 第四，教师的中心任务是围绕主题，精心设计.

变式教学成为中国数学教学的特征 • 变式教学的一般含义：在教学中使学生确切掌握概念的重要方法之一。即在教学中用不同形式的直观材料或事例说明事物的本质属性，或变换同类失去的非本质属性特征以突出事物的本质特征。目的在于使学生理解哪些是事物的本质特征，哪些是事物的非本质特征，从而对一事物形成科学概念。（顾明远.〈教育大辞典〉上海教育出版社，1999）

我国数学教学中的“问题变式” • 中国的问题解决教学，包括习题和考题，“问题变式”早已为广大数学教师广泛使用。翻开任何一本数学习题辅导书，其中的例题和习题，都是使用边式的方法，由浅入深地排列，循序渐进地解答。 • 是一种精致的“变式”教学设计。 • 例证：3个具体例子（P68-69）

中国优质数学教学的若干特点 • 1．突出知识性的具体目标（三维目标） • 2．教学中长于由“旧知”引出“新知”（复习引入） • 3．注重对新知内部的深入理解（沟通联系、建立关系、形成体系） • 4．强调解题，关注方法和注重技巧（思想方法） • 5．重视及时巩固、强化练习和记忆有法 • （参见：涂荣豹、宋晓平，《课程教材教法》2006年第2期，第43-46页）

通过教“问题解决”，培养数学教师研究性教学的意识通过教“问题解决”，培养数学教师研究性教学的意识 • 教师不仅要能有效地组织教学，而且必须具有一定的教学研究能力。 • 数学教师基本素质构成中，坚实的数学基础理论和广博的专业知识是尤其必要的。因为数学教学的根本目的是教会学生如何学习、研究与应用数学，所以数学教师对数学本身进行研究是特别需要的，否则教学只能是就事论事、照本宣科。

“问题解决”是数学教育的核心 • 问题是数学的心脏，“数学真正的组成部分是问题和解。”（P.R. Halmos） • 数学教育活动中，“解题”是最基本的活动形式。 • 美国数学家Halmos在《解题的教学》中指出：“为了培养学生的研究性意识，每位教师都应当作好研究工作，并且在做研究工作方面训练有素——那是保持研究意识经久不衰并且始终处于一种能传递给他人的良好状态的唯一办法。”（《数学译林》1990年第3期）

G.Polya要求数学教师需提供“从事适当水平的创造性工作的机会”，“如果一个教师连非常规问题都没有解决过，从没有经历过发现的紧张和成功的喜悦，如果他也看不到自己的学生有过这种紧张和成功，那么他就应该另找职业，而不应再教数学。”G.Polya要求数学教师需提供“从事适当水平的创造性工作的机会”，“如果一个教师连非常规问题都没有解决过，从没有经历过发现的紧张和成功的喜悦，如果他也看不到自己的学生有过这种紧张和成功，那么他就应该另找职业，而不应再教数学。” • 荷兰数学教育家H.Freudenthal提出：中学数学教师的最低要求其中之一就是“对于如何进行数学研究有初步的概念。”他说：“数学知识既不是教出来的也不是学出来的，而是研究出来的。”

研究意味着发现与创造 • 所谓发现和创造，并非高深莫测。法国数学家阿达玛指出：“一个学生解决某一个代数问题或几何问题的过程，与数学家做出发现和创造的过程具有相同的性质，至多只有程度上的差异。”这也正是把研究引入数学教学过程中的根据和意义所在。 • （程向阳.问题解决与研究性教学意识的培养.《阜阳师范学院学报（自然科学版）》，2001年第18卷第1期，第61-64页）

“创新”与“研究”是密不可分的 • 教育部在《进一步加强高等学校本科教学工作的若干意见》中，特别倡导“积极推动研究性教学，提高大学生的创新能力.” • 国家最近提出“落实科学发展观，建设创新型国家”的战略构想. • 参见：汪劲松，等《实施研究性教学，推进创新型教育》，《中国高等教育》2003年第6期第26页

做一名研究型数学教师 • 只有研究型的教师才能胜任教育改革和创新 • 要联系课改实际开展教育科研 • 要有科学的态度和方法 • 行动研究是中学教师进行教育科研的基本方法 —在研究中行动，在行动中反思，在思考中研究

第三章 数学教育的基本理论