什么是数学模型

1. 什么是数学模型 对于现实中的原型，为了某个特定目的，作出一些必要的简化和假设，运用适当的数学工具得到一个数学结构。也可以说，数学建模是利用数学语言（符号、式子与图象）模拟现实的模型。把现实模型抽象、简化为某种数学结构是数学模型的基本特征。它或者能解释特定现象的现实状态，或者能预测到对象的未来状况，或者能提供处理对象的最优决策或控制。

2. 什么是数学建模 把现实世界中的实际问题加以提炼，抽象为数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性，并用该数学模型所提供的解答来解释现实问题，我们把数学知识的这一应用过程称为数学建模。

3. 本章重点： 数学模型、数学建模、数学模型的作用和特点、建模基本过程、问题分析、合理假设常用建模方法、机理分析法、类比建模法、图示法、微元法、平衡原理、数据分析法、人口增长模型结论、分支定界法、均衡价格结论、存储模型（确定型）结论、货币的时间价值—终值与现值公式、年金的终值与现值公式

4. 数学建模的几个过程 • 第一步：问题分析； • 第二步：合理的简化假设； • 第三步：建立数学模型； • 第四步：模型求解； • 第五步：模型分析（包括检验、修改、应用和评价等）

5. 数学模型的作用和特点： • （1）数学建模不一定有唯一正确的答案. • （2）数学建模没有统一的方法. • （3）模型的逼真性与可行性. • （4）模型的渐进性. • （5）模型的可转移性.

6. 常用的建模方法 • (1) 机理分析法 • (2) 类比法 • (3) 平衡原理 • (4) 微元法 • (5) 图示法 • (6 ) 数据分析法

7. 人口增长模型 • 问题提出 人口问题给我们这个赖以生存的地球造成的麻烦是越来越大了，资源、环境、疾病以至于温饱都成了问题，所以人们对这个问题给予了充分关注。那么人口增长的规律是什么？如何在数学上描述着一个规律成了各界人士关注的一个热点。

8. 人口增长模型 模型假设 （1）时刻t的人口函数是连续可微的； （2）人口的增长率（=出生率-死亡率）是常数； （3）人口数量的变化是封闭的，即人口数量的增减只取决于人口中个体的生育和死亡。

9. 人口增长模型 • 模型建立 {人口增长数}={出生人口数}-{死亡人口数} 时间间隔 内人口的增量为 其中 ， 分别为出生率和死亡率 为常数r，再设开始时的人口数为 ，便 构成一个初值问题

10. 人口增长模型 • 模型求解 此为一阶可分离变量方程的初值问题，很 容易求得其解为

11. 人口增长模型 • 模型分析、评价与检验 1961年世界人口总数为人，在1961~1970年这 段时间内，每年平均的人口增长率为2% 即 但利用上式对1961年后的世界人口进行预测， 则会得出令人不能理解的结论：当2670年时达到 4400万亿人，这相当于地球上每平方米要容纳至 少20人。

12. 人口增长模型 • 模型分析、评价与检验 那么用这种指数模型估计的结果与实际结 果的误差如此之大的原因是什么呢？其一是 假设人口增长率为常数不合理；其二是假设 3显然也不合理。所以也就导致了比较适合 人口发展规律的新数学模型的产生。

13. 人口增长模型 • 模型的修改与重建 1. 将增长率r表示为人口x(t)的函数r(x),按 前面的分析，r(x)应为x的减函数。为简单， 我们假定其为x的线性函数（线性化） 其中r，s>0，这里r相当于x=0时的增长率， 成为故有增长率。显然对任意的x>0，r(x)<r。

14. 人口增长模型 • 模型的修改与重建 2.设定自然资源和环境条件等因素所能容纳 的最大人口数量为（也称最大人口容量） 因为时增长率应为零，由此确 定，便得到增长率函数的表达式为 其中常数r， 要根据人口统计数据确定。

15. 人口增长模型 • 模型的修改与重建 3.将指数模型中r换为上式便得到新模型 称为阻滞增长模型或罗捷斯蒂克（Logistic） 模型仍然使用可分离变量方程解法可得其解 为

16. 人口增长模型 • 模型的修改与重建 4.模型解的再分析与检验 对上式求二阶导数可得 由此我们来分析人口总数x(t)的变化规律

17. 人口增长模型 • 模型的修改与重建 （1） ，即无论人口初值如何，人口总数均以 为极限，并且 是x(t)图形的水平渐近线。

18. 人口增长模型 • 模型的修改与重建 当 时， >0，这说明x(t)是 单调增加的；当x< 时， >0， 当x> 时， <0，即 是x(t)图形的拐 点。这就是说，人口变化率函数 在处 取到最大值。

19. 人口增长模型 • 模型的修改与重建 根据以上分析可知，人口总数尽管一直是增长 的，但有极限值限制而不会无限增长下去，到了 自然资源与环境条件等因素所能容纳的最大人口数是便 会停止增长，这是合乎人类发展常识的。另外，人口总 数达到极限值一般以前是加速增长时期，此后的增长率 会逐渐变小，最终达到零增长。 最后， 的确定要根据人口统计资料以及自然环境等 因素确定，因而当条件改变时， 也将随着改变

20. 分支定界法 • 分支定界法的一般思路 • ① 先求问题的解，若恰为整数解则停，否则转下一步； • ② 以上述解为出发点，将原问题分解为两个支问题——所谓“分支”，且每一支问题各增加一个新条件——所谓“定界”. • ③ 求解支问题，并对新的非整数解问题再分支、定界，直到求得整数解.

21. 均衡价格 设p是商品价格，Q表示商品需求量且 仅与价格p有关，即Q = Q (p)， 一般设为p 的线性函数（线性化） 式中a，b均为正常数，b——该商品的社会 最大需求量. 同理，设G=G(p)表示供给函 数，并且 式中c，d均为正数，d/c为厂方可能接受的最低价 格.p(t)写成p(t-1)是因为商品的生产需一定的时间 (一个生产周期)，价格对商品的供给量的影响有 一定的滞后作用.

22. 均衡价格 则均衡价格为： 设 是该商品的初始价格，通过递推 过程得到

23. 存储模型 设商品每天销售量为常数R，商品的进货时间间隔为常数 T ，且进货量为常数Q，进货一次手续费也是常数 ，单 位商品存储费 元/天. 又设开始时的库存量为Q，到第T天 时库存量降为零.且销售是连续均匀的，故在周期内平均存 量为/2.于是平均每天的支出为 因为Q=RT，于是 模型的解（最优进货量）为： 上式为存储论中著名的经济订购批量公式，简称EOQ(Economic Ordering Quantity)公式.

24. 货币的时间价值——终值与现值公式 货币用于存银行，会随着时间的推移产生效益，从而 使货币增值，这就是货币的时间价值.衡量货币时间价值 的两个常用概念是货币的终值与现值.在复利计息情形， 若本金为P，利率为R，期数为n，则到n期末，本利和为 其中的S即为货币P的终值. 反之，现在手中的多少钱存银行n期就可以变成S元呢? 显然有 这里的Q称为货币S的现值，亦即n期末的S元相当于现在的 Q元.

25. 年金的终值与现值公式 • 年金的终值 设每期发生在期初的年金数为A，每期利率为R， 表 示n期的本利和，那么第一期投入A到n期末成为 . 第二期年金仍为A，但只存了n-1期，到n期末成 为 ，依此类推，到第n期的年金A便只存一期， 到期末本利和为A(1+R). 上述各期本利和的总和即为发生在 期初的年金A的终值，利用等比数列前n项和公式即得为 同理可推导发生在期末的年金的终值(每一期年金都比发生 在期初的少存一期)应为

26. 年金的终值与现值公式 • 年金的现值 设发生在期初的年金数为A，则第一期的现值就是 A，第二期的现值为 ，最后一期的现值 为 ，于是年金A的现值总和 同理有发生在期末的年金A的现值总和