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数学实验

数学实验. 李尚志 教授 中国科学技术大学数学系. 实验十：寻优. 10 .1 光的折射定律 光在同一种介质中走最短路线（直线）， 聪明！ 从一种介质进入另一种介质发生折射， 傻了？. 问题：. 设光在两种介质中的速度比为 u， 两介质分界线为直线。从第一介质的 A 点到第二介质的 B 点，走怎样的路线时间最短？. 求 f(x) 的最小值. 1） 利用Mathematica： 画出 y=f(x) 的图象，观察最小值点的近似位置 x=c.

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Presentation Transcript

  1. 数学实验 李尚志 教授 中国科学技术大学数学系

  2. 实验十：寻优 • 10.1 光的折射定律 • 光在同一种介质中走最短路线（直线），聪明！ • 从一种介质进入另一种介质发生折射，傻了？

  3. 问题： • 设光在两种介质中的速度比为 u，两介质分界线为直线。从第一介质的A点到第二介质的B点，走怎样的路线时间最短？

  4. 求 f(x) 的最小值 • 1）利用Mathematica： • 画出 y=f(x) 的图象，观察最小值点的近似位置x=c. • 运行语句 FindMinimum[f,{x,c}]

  5. 2） 0.618 搜索法（求每一点的 f 值需花成本）： • 确定最初的搜索区间[a,b] • 记d=b-a. 插入两分点 x1= a+0.382d (0.382点）x2= a+0.618d （0.618点） • 求出 f(x1),f(x2).

  6. 如果f(x1)优于f(x2),用[a,x2] 代替[a,b]。 x1已是0.618点，只须再求0.382点的值。 • 否则，用[x1,b]代替[a,b]。 • 不断重复以上过程。

  7. 10.2 奔向最优点 • 问题：设A,B,C是平面上三点。求点P(x,y)到三点距离之和 s=f(x,y) 最小。 • Mathematica语句：FindMinimum[f[x,y],{x,x0},{y,y0}]

  8. 多元搜索：最速下降法 • 从初始位置P0(x0,y0)出发 • 求P0点及点(x0+d,y0), (x0,y0+d)的f值s0,s1,s2。 • u=(s1-s0)/d,v=(s2-s0)/d. • 梯度方向G=(u,v).

  9. 最快下降方向 - G=(-u,-v) • 选步长 h。从 P0 到 P1(x0-hu,y0-hv)。 • 从 P1出发再前进。

  10. 10.3最小二乘法 • 数据点集t={(xi,yi)}. • 用直线 y=kx+b 去拟合，使所有 kxi+b-yi 的平方和 s(k,b)最小。 • Fit[t,{1,x},x]

  11. 实验十一: 最速降线 • 重力场中高度不同的两点A，B。 • 在A静止的质点沿怎样的路径下滑到B点，时间最少？

  12. 时间的计算 • 设A(0,0),B(a,h). • 将x区间[0,a]平均分成n段：xi=ia/n,i=0,1,2,…,n. • 曲线上的点Pi(xi,yi)将曲线分成n段，逐段计算时间T。

  13. 寻找最速降线 • 求T=f(y1,y2,…,yn-1 )的最小值点(y1,y2,…,yn-1 ) 。 • 用光滑曲线连接点Pi • 等时曲线

  14. 最速降线的形状

  15. 网上实验室 网址： • 202.38.68.76/~mathexp/ • 或：http://www.ustc.edu.cn  院系介绍数学系常用连接  网上数学实验

  16. The End • 再见

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