1 / 58

PRST (PST)

PRST (PST). Pravdepodobnosť & jej využitie. Grécke písmená. Koľko vás je?. 5 6 7 8 9 10. 11 12 13 14 15 16. Na čo to komu bude?. Uľahčenie práce Zjednodušenie problému Predpovedanie budúcnosti . Čo budeme skúmať?. Pokusy sa delia na: Deterministické (nenáhodné)

Download Presentation

PRST (PST)

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. PRST (PST) Pravdepodobnosť & jej využitie

  2. Grécke písmená

  3. Koľko vás je? • 5 • 6 • 7 • 8 • 9 • 10 • 11 • 12 • 13 • 14 • 15 • 16

  4. Na čo to komu bude? • Uľahčenie práce • Zjednodušenie problému • Predpovedanie budúcnosti 

  5. Čo budeme skúmať? • Pokusy sa delia na: • Deterministické (nenáhodné) • Stochastické (náhodné) • Budeme sledovať pokusy, ktorých výsledkami budú javy • Javy, ktoré vykazujú štatistickú stabilitu:

  6. Merateľný priestor • Ω – neprázdna množina obsahujúca všetky možné výsledky pokusu;priestor elementárnych javov • ω – elementárny jav; • A – neprázdny systém podmnožín Ω, ktorá je σ-aditívna, čiže: • AA • AA • – jav, A • (Ω, A) sa nazýva javové pole alebo merateľný priestor

  7. Definícia pstnej funkcie • Nech (Ω, A) je javové pole, je zobrazenie také, že • (normovanosť) • A: (nezápornosť) • Asú po dvoch disjunktné (), potom (σ-aditivita) • Potom je funkcia pravdepodobnostná a svätá trojica (Ω, A, ) sa nazýva pravdepodobnostný priestor

  8. Vlastnosti pstnej funkcie • Odvoditeľné z definície • (subtraktívnosť) • (monotónnosť)

  9. Klasická psť • Definovaná vzťahom: • Príklad: Aká je pravdepodobnosť, že keď hodíme kockou, padne 6? • Riešenie:

  10. Podmienená psť • Definovaná vzťahom: • Pripomenňme, že , inak nemá vzorec zmysel • Príklad: Na kôpke sú celé čísla od 1 po 10. Janko vyhrá, ak si vyberie číslo väčšie ako Anička. Aká je pravdepodobnosť, že vyhrá, ak si Anička vytiahla 4? • Riešenie: , z toho:

  11. Vlastnosti podmienenej psti • Klasická psť je prípad podm., kedy : • Zo vzorca podm. psti vyplýva: • Predchádzajúci vzorec sa dá zovšeobecniť:

  12. Príklad • V nádobe máme 3 čierne (B) a 3 biele guličky (W). Vytiahneme 3 guličky. Aká je pravdepodobnosť, že budú rovnakej farby? • Odpoveď:

  13. Úplný systém javov • Majme (Ω, A, ) pravdepodobnostný priestor. Javy A tvoria úplný systém javov, ak platí: • Pre takýto systém javov potom platí:

  14. Bayes • Nech A tvoria úplný systém javov v (Ω, A, ) tak, že 0 a tiež 0 . Ptm:

  15. Príklad • Náhodná osoba bola vybratá na test choroby, ktorú má 1 % populácie. Test zdravého človeka ohodnotí ako zdravého s pravdepodobnosťou 0,95, nezdravého človeka ako nezdravého s pravdepodobnosťou 0,99. Náhodnej osobe ukázal test, že je chorá. S akou pravdepodobnosťou je osoba naozaj chorá? • Výsledok:

  16. Váhová psť • Nech v (Ω, A, ) máme Ω spočetnú, kde každý jav má určenú pravdepodobnosť tak, že a . Potom (Ω, A, ) je pstný priestor.

  17. Geometrická psť • Pstná funkcia definovaná predpisom: • Pod (miera) máme na mysli zobrazenie splňujúce nezápornosť, σ-aditivitu a . • Predpokladáme, že je borelovská.

  18. Príklad • Aká je psť, že náhodne vygenerované čísla x, y z intervalu budú vyhovovať podmienke: • Výsledok:

  19. Náhodná veličina (premenná) • Výsledok náhodného pokusu • Zobrazenie také, že: • Príklady: • Počet padnutých 6 po n hodoch • Počet hodov, kým nepadne 6 • Výška jedincov v populácii • Delenie: • Diskrétna náhodná veličina • Spojitá náhodná veličina

  20. Distribučná funkcia • Definovaná pre danú na (Ω, A, ): • Distribučná funkcia má nasledovné vlastnosti: • Neklesajúca • Spojitá sprava • a 1

  21. Príklad • Hádžeme obyčajnou kockou. Náhodná veličina X je počet hodených 6 po 3 hodoch. Nájdite distribučnú funkciu. • Riešenie

  22. Riešenie • Určíme pre . Otázka je, aká je psť, že po 3 hodoch kockou padne 6 práve -krát? Ak je záporné, tak, keďže kocka padne najmenej 0 krát. • Určíme pre . Psť, že 6 padne po 3 hodoch 0-krát alebo menej je rovná .

  23. Riešenie (pokr.) • Určíme pre . Napr. pre sa pýtame, aká je psť, že počet padnutých 6 bude menší alebo rovný . Logicky, 6 padne buď 0-krát, alebo aspoň 1-krát. Nemôže padnúť - krát. Pre tento interval vyhovuje teda iba 0, čiže

  24. Riešenie (pokr.) • Určíme pre . Šestka môže tentokrá padnúť 0 alebo 1 krát. Vypočítame ako: • Zvyšok si skúste spraviť sami. Riešenie je ďalej.

  25. Výsledok • Distribučná funkcia pre našu náhodnú veličinu v plnej kráse: a inak.

  26. Diskrétna náhodná veličina • Postupnosť nenulových pravdepodobností • Opisuje ju pravdepodobnostná funkcia: • Pre pstnú funkciu a distribučnú funkciu platí vzťah:

  27. Príklad • Uvažujme náhodnú veličinu X ako v predchádzajúcom príklade. Určime jej pstnú funkciu. • Riešenie: Najprv uvážme hodnotu pstnej funkcie na množine . Psť, že počet padnutých 6 bude v tejto množine je logicky 0. Preto:

  28. Riešenie • Vyriešme pstnú funkciu pre . Psť, že kocka padne práve 0 krát je: • Vyriešme pre :

  29. Riešenie • Podobne sa pre dopracujeme k výsledku pre 2 a 3. Riešením je:

  30. Príklady diskrétnych rozdelení • Alternatívne rozdelenie • Binomické rozdelenie • Poissonovo rozdelenie

  31. Alternatívne rozdelenie • Jeden pokus, jav buď nastane, alebo nenastane. Náhodná veličina je počet javov, ktoré nastanú. Ak jav nastane s pravdepodobnosťou , potom: a 0 inak

  32. Binomické rozdelenie • Jav nastane s psťou . Náhodná veličina je počet pokusov, kedy jav nastal. Pokus opakujeme -krát. Potom: pre , 0 inak

  33. Poissonovo rozdelenie • Jav nastáva s hustotou λ. Náhodná veličina je počet javov, ktoré za dané obdobie nastanú. Potom platí: pre N, 0 inak

  34. Príklad • V Brnenskej nemocnici denne porodia v priemere 5 bábätiek. Aká je psť, že zajtra sa nenarodí ani jedno? • Riešenie: Náhodná veličina počet narodených bábätiek má Poissonovo rozdelenie. Vypočítame:

  35. Spojité náhodné veličiny • Opisuje ju pravdepodobnostná funkcia: • Následne potom: Kde sa nazýva hustota rozdelenia pravdepodobnosti

  36. Vlastnosti hustoty

  37. Spojité rozdelenia • Rovnomerné rozdelenie • Exponenciálne rozdelenie • Normálne rozdelenie • Gamma rozdelenie

  38. Rovnomerné rozdelenie • Náhodná veličina má rovnomerné rozdelenie na intervale , ak psti každého bodu sú „rovnaké“, inak povedané, hustota je konštantná. Čiže:

More Related