3.2 线性微分方程的基本理论

1. 3.2线性微分方程的基本理论 线性微分方程是常微分方程中一类很重要的方程，它的理论发展十分完善，本节将介绍它的基本理论.

2. 一、基本概念 n阶线性微分方程: 我们将未知函数 及其各阶 导数 均为一次的n阶微分方程， 称为n阶线性微分方程. 它的一般形式为:

3. 式中 及 是区间 上的连续函数。 如果 式中的 n阶线性齐次微分方程: 则(3.2.1)变为 我们称以上方程为n阶线性齐次微分方程，简称齐线性方程,（3.2.1）称非齐线性方程。

4. 上面两个方程分别为齐次和非齐次的线性方程。 关于高阶方程同一阶方程一样, 也有相类似的解的 存在惟一性定理.

5. 定理3.1：如果(3.2.1）的系数 及右端函数 在区间 上连续， 则对任一个 及任意的 方程（3.2.1）存在惟一的解 满足下列初始条件

6. 引入 线性微分算子: 称L为线性微分算子. 例如: 性质3.1 为常数. 性质3.2

7. 二、齐次线性方程解的性质和结构 定理3.2 (叠加原理) 如果 是方程（3.2.2）的n个解， 则它的线性组合 也是方程（3.2.2）的解，这里 是常数.

8. 例1验证 是方程 的解. 解: 分别将 代入方程, 得 所以为方程的解.

9. 基本解组: 如果方程（3.2.2）的任意一个解 都可以表示为 , 则称 是方程组（3.2.2） 的基本解组。 线性相关: 对定义在区间(a, b)上的函数组 如果存在不全为0的常数 ，使得

10. 在(a,b)上恒成立,称这些函数在所给的区间上线性相关，不然称这些函数线性无关.在(a,b)上恒成立,称这些函数在所给的区间上线性相关，不然称这些函数线性无关. 例2:函数 在任何区间上都是线性 无关的，因为如果 (3.2.5) 只有当所有的时才成立.

11. 则 (3.2.5) 事实上, 如果至少有一个 式的左端是一个不高于n次的多项式，它最多可有n个不同的根 . 因此, 它在所考虑的区间上不能有多于n个零点, 更不可能恒为零. 注1：在函数 中有一个函数 等于零, 则函数 在（a,b）上线性相关。

12. 在任何区间上都线性无关. 在任何区间上都线性相关. 注2：考虑到两个函数构成的函数组 如果 或 在(a, b) 上有定义, 则在（a,b）上线性无关的充要条件为 在（a,b）上不恒为常数. 或 例3:

13. 注3：函数组的线性相关与线性无关是依赖于所取注3：函数组的线性相关与线性无关是依赖于所取 的区间。 例4:函数 上是线性 无关, 而在 和 上是线性相关的. 事实上 在区间 上不是常数, 分别在区间 和 上是常数.

14. Wronskian 行列式: 由定义在区间（a, b）上的 k个k-1次可微函数 所作成的行列式 称为这些函数的Wronskian行列式, 通常记做

15. 行列式恒等于零, 即 . 定理3.3如果函数组 在区间 (a, b) 上线性相关, 则在(a, b) 上它们的 Wronskian 证明: 由假设知存在一组不全为零的常数 使得 依次将此恒等式对t微分, 得到n个恒等式

16. 上述n个恒等式所组成的方程组是关于 的齐次方程组, 它的系数行列式就是Wronskian 行列式, 由线性代数的知识知, 要使方程组存在 非零解, 则必有

17. 推论 3.1 如果函数组 的Wronskian行列式在区间（a, b）上某点 处不等于0, 即 ,则该函数组在区间 上线性无关。 注:定理3.3的逆定理不一定成立.例

18. 显然对所有的t, 恒有 但 在 上线性无关. 事实上, 假设存在恒等式 则当 时, 有 当 时, 有 故 在 上线性无关.

19. 定理3.4 若函数组 是方程（3.2.2） 在区间（a,b）上的n个线性无关的解,则它们的 Wronskian 行列式 在该区间上任何点都不为零. 证明: 用反证法 使得 假设有 考虑关于 的齐次线性代数方程组

20. 其系数行列式 故它有非零解 现以这组解构造函数 由定理3.2 知, 是方程(3.2.2) 的解. 又因为

21. 即这个解满足初始条件 又 也是方程(3.2.2)满足初始条件的解, 由解 的惟一性知, 由 不全为零, 知矛盾, 从而定理得证.

22. 推论3.2：设 是方程 (3.2.2) 在区间（a,b）上的n个解。如果存在 使得它的Wronskian 行列式 则该解组在（a,b）上线性相关. 推论3.3方程（3.2.2）的n个解 在其定义区间（a,b）上线性无关的充要条件是在 该区间上 存在一点 使得

23. 下面几个定理给出了线性无关解组, 基本解组, 及通解的关系. 定理3.5 n阶齐次线性方程组（3.2.2）一定存在n 个线性无关的解. 证明: 由定理3.1 知, 方程满足初始条件

24. 的解一定存在, 因为 所以这n个解一定线性无关, 故定理得证. 定理3.6如果 是n阶齐次方程 （3.2.2）的n个线性无关的解。则它一定是该方程的 都可以 基本解组，即方程（3.2.2）的任一解 表示成 证明: 设 是方程 (3.2.2) 的任一解, 并且满足条件

25. 考虑方程组 由于它的系数行列式是方程的n个线性无关解的 Wronskian 行列式在 处的值, 故它不为零. 因而上面的方程组有惟一解 现以这

26. 组解构造函数 由解的叠加原理 和惟一性定理得 即 定理3.7 (通解结构定理) 若 是方程（3.2.2）的n个线 性无关的解，则方程的通解可以表示成 其中 是任意常数.

27. 综上得到下列等价命题. 定理3.8 设 是方程（3.2.2）的n个解， 则下列命题等价 (1) 方程（3.2.2）的通解为 (2) 是方程的基本解组. (3) 在(a,b)上线性无关. (4) 存在 使 (5) 任给 有

28. 设 是（3.2.2）的任意n个解， 是它的Wronskian行列式，则对(a,b)上任意 一点， 都有 上述公式我们称为刘维尔(Liouville)公式. 注1： 在 内有一点为零，则在整个 上恒为零. 定理 3.9 (刘维尔公式)

29. 注2：对二阶微分方程 若 是方程的一个解，则可得通解. 设是 与 不同解，则由刘维尔公式可以推得 用 乘以上式两端可得

30. 所以 与 线性无关. 由此得 取 则 为另一个解，因为

31. 例5求方程 的通解. 解：易知 为通解，所以

32. 三、非齐次线性方程解的结构 定理3.10 n阶线性非齐次方程 (3.2.10) 的通解等于它所对应的齐次方程的通解与 它的一个特解之和。

33. 是方程 （3.2.10) 的一个特解， 证明: 设 是方程 （3.2.2) 的通解。首先我们证明 是方程 （3.2.10) 的解。事实上 所以 即 是方程 （3.2.10) 的解。

34. 其次证 是方程 （3.2.10) 的通解。 即证对于（3.2.10）的任意一解 总可以表示为 中的任意常数取 其中 是由 某一特定的值而得到的。事实上， 因为 所以 是方程（3.2.2）的解，其中 可由 中的任意常数取某一特定的值而得到。 于是

35. 定理3.11设 与 分别是非齐次线性方程 和 的解，则 是方程 的解。

36. 证明：由已知可得 因为 所以 是方程 的解。

37. 常数变易法求特解 设 是方程（3.2.2）的n个线性 无关的解， 因而 (3.2.2) 的通解为 (3.2.11) 为求 (3.2.1) 的一个特解, 将(3.2.11) 中的 常数看成 关于t 的函数, 此时(3.2.11) 式变为 (3.2.12) 将 (3.2.12) 代入 (3.2.1) 得到一个 所满足的关系式.

38. 我们还需要另外 n-1个条件来求出 在理论上这些条件是任意给出的,为了运算的方便, 我们按下面的方法来给出这 n-1 个条件. 对 (3.2.12) 式两边对t 求导得 令 得到

39. 对上式两边继续对t 求导, 并象上面的方法一样, 我们得到 继续上面的做法, 直到获得第 n-1 个条件

40. 最后, 将上式两边对t 求导得 将上面得到的 代入 (3.2.10), 得到 所满足的方程组 由n 个未知函数

41. 该方程组的系数行列式恰好是 (3.2.2) 的n 个线性 无关解的 Wronskian 行列式, 故它不等于零, 因而 该方程组有惟一解. 由上面方程组求得

42. 这样我们就得到了(3.2.1) 的特解. 从而 (3.2.1)的通解为

43. 例6求方程 的通解，已知它的对应 齐次线性方程的两个解为 解：利用常数变易法，令 将它带入方程，可得关于 的方程

44. 解得 于是原方程的通解为