( 多元函数微分法及其应用 )

1. (多元函数微分法及其应用)

2. 第八章 多元函数微分法及其应用 本章主要讨论二元函数的微分法及其应用. 第一节 多元函数的基本概念 一. 平面点集 n维空间 1.平面点集 当在平面上引入一个直角坐标系后,平面上的点P与有序二元 实数组(x,y)之间建立 一一对应.这样我们把有序实数组和平面 上的点等同起来.这种建立了坐标系的平面称为坐标平面.

3. 坐标平面上具有某种性质P的点的集合,称为平面点集,坐标平面上具有某种性质P的点的集合,称为平面点集, 记作 E = {(x,y)|(x,y)具有性质P}. 邻域： 与点 的距离小于δ的 p(x,y)的全体, 的δ邻域,记作 称为点

4. y δ p0(x0,y0) x E p 从几何图形看, U(p0,δ)表示以点 为中心,δ>0为半径的圆的内 部所有的点如果不强调邻域半径δ, 的邻域 用U(p)表示点.

5. 内点 外点 边界点 聚点 设E是平面上的一个点集,p是平面上的一个点 如果存在点p的某一个邻域U(p),使U(p)∈E,则 . 是E的内点. 称p为E的内点.(如图).显然,E的内点属于E,但E的点不一定 E p

6. 外点 如果存在点P的任一邻域U(p),使U(p)∩E=φ,则称P 为E的外点. 若点集E的点都是E的内点,则称E为开集, 例如,点集 E1={(x,y)|4< <9}中每个点都是E1的内点,因而E1为 开集. 若点p的任一邻域内既有属于E的点,又有不属于E的点(点p 本身可以属于E也可以不属于E).则称p为E的边界点.E的边 界点的全体称为E的边界. 上面E1的边界是圆周 =4和 =9

7. 如果点p的任一邻域内总有无限多个点属于点集E,则称p为E如果点p的任一邻域内总有无限多个点属于点集E,则称p为E 的聚点.显然E的内点一定是E的聚点,E的边界点也可能是E 的聚点.例如,设 ={(x,y)|0<x+y≤1}那么,直线x+y=0上的任 的聚点.并且它们不属于 一点既是 的边界点又是 因此,点集E的聚点可以属于E,也可以不属于E.

8. 区域 若对于集合D内的任意两点都可以用完全位于D内的折线 连接起来,则称集合D为连通集.连通的开集称为开区域.简称 区域. 例, ={(x,y)|4< <9}是开区域; ={(x,y)|0<x+y≤1 } 不是开区域.因为它不是开集.区域连同它的边界一起,称为 闭区域.例如{(x,y)|0≤x+y≤1} 既不是 不是闭区域,(因为它有一边不包含边界)因而 开区域,(它又有一边包含边界)又不是闭区域

9. 若存在正实数r,使点集 ,其中O为坐标点, 表示E内的一切点到原点的距离不超过r.则称点集E为有界 点集;否则(表示找不到r)称为无界点集.例如 是有界开区域 {(x,y)|x+y>0}是无界点集.

10. n 维空间 1.定义 设n为取定的一个自然数,我们用Rn表示n元有序 的全体所构成的集合,即 实数组 |xi∈R,i=1,2,..n} Rn=R× R×... × R={ Rn中的元素, 也用x表示,即x= 当所有的xi=0(i=1,2…n)时,称这样的元素为零元,记为0或O.

11. 在解析几何中通过直角坐标系, (或 )中的元素分别与 平面或空间中的点或向量建立一一对应,这样在 中的元素 也称为 中的一个点或一个n维向量,而称 X 中的零元0 称为坐标原点或n维零向量. 为点x的第i个坐标或n维向量x的第i个分量,在

12. 2.在Rn中定义线性运算.设x= 为Rn中任意两个元素,λ∈R y= 规定 x+y= λx= 之间的距离 3. Rn中点x = 和点y = ρ(x,y),规定

13. 显然,n=1,2,3时,上述的规定与数轴上,直角坐标系下平面及空间显然,n=1,2,3时,上述的规定与数轴上,直角坐标系下平面及空间 中两点之间距离一致. Rn中元素x= 与零元0之间的距离ρ(x,0),记 为‖x‖,即 结合向量的线性运算,我们得到

14. 4. Rn中变元的极限 a= ∈Rn 如果 设x= ‖x-a‖→0,则称变元x在Rn中趋于固定元a, 记作x→a 由于线性运算和距离的引入,前面研究的邻域,内点,开集, 闭集等一系列概念都可定义.

15. 二. 多元函数的概念 1.多元函数的定义 在实际问题及科技活动中,经常遇到多个变量之间的依赖 关系.看下面的两个例子. 例1椭圆的面积S取决于它的长,短半轴长a与b,它们之间有 如下关系 一对数值(a,b)时,面积S的对应值就随之确定了. S=πab (a>0,b>0) 这里的a,b在一定范围内取定 我们从这里就可以得到二元函数的定义.

16. 定义1设D是 的一个非空子集,称映射f:D→R为定义在D上 的二元函数,通常记为 Z=f(x,y), (x,y)∈D 或 z=f(p) P∈D 其中点集D称为该函数的定义域,x,y称为自变量,z称为因变量 ,数集 f(D)={z|z=f(x,y),(x,y)∈D} 称为该函数的值域. 记 .

17. 类似地可以定义三元及三元以上的函数.三元函数记类似地可以定义三元及三元以上的函数.三元函数记 u=f(x,y,z). 点函数z=f(p)(p∈D)是定义在点集D上的一个函数.这 里设D是平面点集,则z=f(p)定义的是一个二元函数.如果D 是数轴上的点集(或空间内的点集),则z=f(p)定义的是一 元(或三元)函数.

18. 例2圆柱体的体积V和它的底半径R,高h的关系为:V=πR2h (R>0,h>0). 例3

19. z Z=f(x,y) M y o y x p x 在上述函数概念中,关键的两点为: (1)自变量x,y的变化范围,称为定义域; (2)对应法则,即函数关系. 关于函数概念,我们主要研究三方 面的问题: (1)求函数的定义域; (2)建立函数关系; (3)求函数值.

20. 2. 二元函数的定义域: 二元函数中自变量x,y的取值范围称为函数的定义域. 围成平面区域的曲线称为该区域的边界,包括边界在内的区 域称为闭区域;不包括边界在内的区域称为开区域;包括部 分边界在内的区域称为半开区域.如果区域延伸到无穷远处, 称为无界区域,否则称为有界区域.

21. 注意:二元函数z=f(x,y)中,自变量在定义域内可以独立地注意:二元函数z=f(x,y)中,自变量在定义域内可以独立地 取值,即x取值与y取值没有必然联系,而且有可能出现x可 以取不同的值,而y的值不变,或y可以取不同的值,而x的值 是不变的情况. • 多元函数的定义域 • 函数的定义域与函数的实际意义有关.我们约定:在没 • 有明确指出定义域 D时,函数的定义域是使函数有定义的点 • 的全体.这样的定义域叫做函数的自然定义域.

22. y x+y=1 x x 例3 求下列函数的定义域: 解:(1)要使根号内的数有意义, 因此函数的定义域为 {(x,y)| x+y-1≤0}图形为右所示 y (2)要使 有意义,必须x2+y2-1≥0,并且

23. 此函数的定义域为{(x,y)|1≤x2+y2≤5} 其图形为以原点为中心,半径分别为1和 之间的部 分,包括两个圆 多元函数的定义域的求法: 要先写出构成部分的各简单函数的定义域,再联立不 等式组,即得到所求的定义域.

24. 4.二元函数的几何意义: 设二元函数z=f(x,y)的定义域 xoy平面上的某一区域D,对于 D上的每一点p(x,y),在空间可以 作出一点M(x,y,F(x,y))与它对应. 当点p(x,y)在D中变动时,点M(x, y,F(x,y))就在空间作相应地变动 它的轨迹是一个曲面. z Z=f(x,y) M y o y x p x

25. 例如线性函数z=ax+by+c是一个平面. x2+y2+z2=a2确定的函数 z 点集D={(x,y)|x2+y2≤a2}为闭区域.当p 在D中 y 变动时,它对应的两个函数值, 分别表示两个图形.一个是上 半球面,另一个是下半球面.以后我们 讨论的函数是单值的. 当遇到多值函数时,可分成几个单 值分支来讨论. x p p0(x0,y0)

26. 三 多元函数的极限 1.多元函数极限的定义 多元函数极限与一元函数存在形式上一致,但确实有着 本质区别.先研究二元函数的极限 (1)二元函数的极限 设z=f(x,y), ∈D 为其一聚点.选择一动点p(x,y).现在讨论当 时的极限 p(x,y)→ .又因为 显然, 时等阶于 ,

27. 直观定义:和一元函数极限一样,如果在p→p0的过程中,对应直观定义:和一元函数极限一样,如果在p→p0的过程中,对应 的函数值f(x,y)无限接近一个确定的常数A.就说A为当p→p0 , 或x →x0 ,y →y0 时的极限

28. 例如 p p0(x0,y0) 现在我们用ε--δ来定义这个概念: ε--δ语言定义设函数z=f(x,y)的 定义域为D.p0(x0,y0)是D的聚点.如果 对于任意给定的正数ε,总存在δ>0, y p(x,y) ρ x 0 使适合不等式 的一切点p(x,y)∈D,都|f(x,y)－A|<ε成立.则称A为函数z=f(x,y).当x→x0,y→y0时的极限.记作

29. 二元函数的极限称为二重极限. 研究二元函数极限定义时,我们注意以下两点: (1)不研究p0(x0,y0)处的状态,仅研p(x,y)→p0(x0,y0) 的过程中,函数f(x,y)的变化趋势.所以定义中规定, 函数z=f(x,y)在点p0(x0,y0)的某个邻域内有定义,但 不要求函数在点p0(x0,y0)有定义.

30. (2)极限值A应是一个确定的常数,它与p(x,y)趋近 p0(x0,y0)的方式无关.也就是说:p(x,y)以任何方式趋 于p0(x0,y0)时,函数都无限接近于A.

31. 例4求极限 例5设 证明

32. 证明: 成立 化成一元函数求极限 有界量和无穷小的乘积为无穷小

33. 的极限 例6考察函数 f(x,y)= 解: (1)当点p(x,y)沿x轴趋于点(0,0)时, 这是一种特殊的趋近方式 (2)当点p(x,y)沿y轴趋近点(0,0)时 这也是一种特殊的趋近方式 (3)当点p(x,y)沿直线y=kx趋近点(0,0)时 不存在 随着k的不同,极限值也不同.所以

34. 例7求: 例8求:

35. 20. 关于二元函数极限的说明 首先所谓的二重极限存在.是指p以任何方式(或沿任何径) 趋于p0时函数的极限都要存在,且相等于常数A.因此,当p以 某一特殊方式.例如沿某一条(也可能是几条)直线或曲线无 限接近p0时,即使函数无限接近某一确定的常数A,还不能由 此判断该函数存在极限. 这就是说当p沿某一特定方式趋向 p0时,f(x,y)的极限不存在,或p沿某两条特定的方式趋向p0 时,函数极限存在但不相等.则该函数极限不存在.

36. 而一元函数中p趋向p0的方式只有两种.一是沿x轴某一方向而一元函数中p趋向p0的方式只有两种.一是沿x轴某一方向 趋近二是左,右方向 p0 -p p 四.多元函数的连续性 定义4: 设多元函数f(p)定义在D上,,p0是D的聚点.p∈D, 如果当p→p0时函数f(p) 的极限存在,且等于该函数在点p0处 的函数值,即 就称函数f(p)在点p0处连续.

37. 如果函数f(p)在点集M的各点处都连续,就称函数f(p)在M如果函数f(p)在点集M的各点处都连续,就称函数f(p)在M 上连续.可以证明: 一切多元初等函数在其定义域内是连续的. 若函数f(x,y)在点P0(x0,y0)不连续,则p0称为函数的间断 点.这里指出如果在开区域(或闭区域)D内某些孤立点,或者 沿D内某些曲线,函数f(x,y)没有定义但在D内其余部分,函 数都有定义,那么这些孤立点或这些曲线上的点,都是函数 f(x,y)的不连续点,即间断点.

38. 例9求 和闭区间上一元函数的性质相似,在有界闭区域上多元 函数也有下列主要性质. 性质1(最值定理) 在有界闭区域上的多元连续函数,在该 闭区域上必定达到它的最大值与最小值.

39. 性质2(介值定理) 在有界闭区域上的多元连续函数,如 果取得两个不同的函数值,则它在该区域上取得介于这两 个值之间的任何值至少一次. 性质3(一致连续性定理) 在有界闭区域D上的多元连续 函数必定在D上一致 连续. 性质3表示若f(P)在有界闭区域D上连续,则对于任意给定 的正整数ε,总存在正数δ,使对于D上的任意两点 |<δ时都有 只要当|

40. |f(P1)-f(P2)|<ε 成立. 这里我们补充三个内容: (1)求二元函数的表达式. 这方面的问题有二种情况,一 是已知函数f(x,y)的表达式,求复合函f[φ(x,y),ψ(x,y)] 的表达式,这情况比较简单.只需要把φ(x,y),ψ(x,y)分 别替换f(x,y)中的x,y即可.

41. 另一种是它的反问题,即已知f[φ(x,y),ψ(x,y)]求f(x,y).另一种是它的反问题,即已知f[φ(x,y),ψ(x,y)]求f(x,y). 其一般的方法是令u= φ(x,y),v= ψ(x,y),从中解出x,y, 代入f[φ(x,y),ψ(x,y)]中,把u,v换成x,y即可,但有时不 能从u,v中解出x,y时,往往需要用凑成φψ的函数.

43. (一)求二元函数极限的方法 1.化二元函数为一元函数极限 例3 求

44. 2.应用二元函数极限的夹逼准则计算 夹逼准则:若g(x,y)≤f(x,y)≤h(x,y),且 limg(x,y)=limh(x,y)=A,则limf(x,y)=A.

45. 注意:这里不能把 变成 该定义域为x≠0, 该定义域为x,y同时≠0 如果x→0,y→a就可以采用这个方法. 本题采用的是两边夹的方法.

46. 3.利用连续函数的函数值即是极限值性质.(一切多元初等函3.利用连续函数的函数值即是极限值性质.(一切多元初等函 数在其定义域内都是连续函数) 因为分子,分母是多元初等函数, 当x→1,y→0时恰好在它的定 义域内,所以我们用它的函数值表示它的极限值. (二)证明二元函数极限不存在的方法 证明二元函数极限不存在我们也有几种方法, (1)证明(x,y)沿某一路线趋于点(x0,y0)时,f(x,y)的极限 不存在.

47. (2)证明(x,y)沿不同路线趋于点(x0,y0)时,f(x,y)的极限存(2)证明(x,y)沿不同路线趋于点(x0,y0)时,f(x,y)的极限存 在,但趋于不同的值. (3)利用二次极限存在,但不相等.

48. 不存在 例9 证明极限 证明:当(x,y)沿x轴(即y=0)趋向于点(0,0)时,原式=0 当(x,y)沿y=x的直线趋向于点(0,0)时, 由于f(x,y)沿不同的路线趋向于点(0,0)时的极限不相同,故 它极限不存在.

49. 这里我们举两个例子说明二重极限和二次极限之间区别这里我们举两个例子说明二重极限和二次极限之间区别 例10 的极限 考察函数 f(x,y)= 解: (1)固定y≠0,点p(x,y)沿x轴趋于点(0,y)时, 可见二次极限是存在它为0

50. (2)固定x≠0,点p(x,y)沿y轴趋于点(x,0)时, 可见二次极限是存在的它为0 (3)当点p(x,y)沿直线y=kx趋近点(0,0)时 不存在 随着k的不同,极限值也不同.所以 这例子说明尽管两个二次极限存在且相等,但二重极限却不 存在