一、引入：

1. 一、引入： 在第二章中，我们讨论了一元函数的极限、连续、导数和微分等基本概念。在许多实际问题中，往往会涉及到多方面的因素，反映到数学上，就是一个变量依赖于几个变量的函数问题，即多元函数问题，因此有必要讨论多元函数的微分学及其应用。多元函数微分学与一元函数微分学有许多共同点，可以看成是一元函数微分学的推广。本章着重讨论二元函数的微分学。 二、本章主要内容： 多元函数的概念. ；多元函数的极限与连续；偏导数；全微分的概念、运算及其应用等内容。

2. 一元函数仅是一个自变量的函数.而在许多实际问题和数学理论中，经常会遇到多个变量之间的依赖关系.下面请看几个实例：一元函数仅是一个自变量的函数.而在许多实际问题和数学理论中，经常会遇到多个变量之间的依赖关系.下面请看几个实例： 一、多元函数的概念 例1 锥体的体积V与锥体的底面积A和高h两个量对应,其关系为 ： 例2 物体运动的动能W与物体的质量m和运动的速度v对应，其对应规律为：

3. 例3长方体的体积V与长方体的长x，宽y，高z三个量对应，其对应规律为：例3长方体的体积V与长方体的长x，宽y，高z三个量对应，其对应规律为： V＝xyz 从上述三例不难看出，一个变量可依赖多个变量变化而变化，如果我们抽去它们的物理、几何等特性，可得到多元函数的定义。 定义1设有三个变量x，y和z，如果对于变量x，y，在它们的变化范围D内任意取定一对数值（x，y）时，变量z按照一定法则总有确定的值与它对应，则称z是变量x，y的二元函数，记为 z＝f（x，y） D称为该函数的定义域，x、y称为自变量，z称为因变量. 数集｛z｜z＝f（x，y）,（x，y）∈D｝称为该函数的值域. 类似地，可以定义三元函数u= f（x，y，z）以及三元以上的函数。二元及二元以上的函数统称为多元函数。

4. 多元函数的定义域：与一元函数类似，我们约定：在讨论用算式表达的多元函数的定义域时，就以使这个算式有确定值y的自变量所确定的点集为这个函数的定义域．一般来说，二元函数的定义域D是xoy面上的一部分平面，这样的部分平面称为区域。围成平面区域的曲线称为该区域的边界，包含边界的区域称为闭区域，不包含边界的区域称为开区域。如果区域能被包含在以原点为圆心的某园内，该区域成为有界区域，否则称为无界区域。多元函数的定义域：与一元函数类似，我们约定：在讨论用算式表达的多元函数的定义域时，就以使这个算式有确定值y的自变量所确定的点集为这个函数的定义域．一般来说，二元函数的定义域D是xoy面上的一部分平面，这样的部分平面称为区域。围成平面区域的曲线称为该区域的边界，包含边界的区域称为闭区域，不包含边界的区域称为开区域。如果区域能被包含在以原点为圆心的某园内，该区域成为有界区域，否则称为无界区域。 邻域：设 （ ）是xOy平面上的一个点，δ是某一正数.与点（ ）距离小于δ的点P（x，y）的全体称为点的δ邻域，记为U（ ，δ），即 U（，δ）＝｛（x，y）｜ ＜δ｝. 在几何上，U（，δ）就是xOy平面上以点（）为中心，δ＞0为半径的圆内部的点P（x，y）的全体. 此外，我们称（，δ）={P|0< <δ}为点 的去心δ邻域

5. 同一元函数一样，二元函数的定义域也是函数概念的一个重要组成部分。一般的，二元函数的定义域为使其表达式有意义的点的集合，且当二元函数描述实际问题时，其定义域还应使实际问题有意义。同一元函数一样，二元函数的定义域也是函数概念的一个重要组成部分。一般的，二元函数的定义域为使其表达式有意义的点的集合，且当二元函数描述实际问题时，其定义域还应使实际问题有意义。 例4求二元函数z＝ln（x＋y）的定义域． 解 因为对数的真数大于零，所以二元函数的定义域是 D＝｛（x，y）｜x＋y＞0｝ 即定义域D是直线x＋y＝0上方的无界区域，如图8-4所示． 例5 求函数的定义域． 图8-4 解 由反正弦函数的定义可知，此函数的定义域是

6. G＝｛（x，y）｜≤1｝ 即定义域G是以原点为中心，1为半径的圆的内部和边界，这是一个有界闭区域，如图8-5所示． 设函数z＝f（x，y）的定义域为D，对于任意取定的点P（x，y）∈D，对应的函数值为z＝f（x，y）.这样以x为横坐标、y为纵坐标、z= f（x，y）为竖坐标在空间就确定一点M（x，y，z）.当（x，y）遍取D上的一切点时，得到一个空间点集合｛（x，y，z）｜z＝f（x，y）,（x，y）∈D｝，这个点集称为二元函数z= f（x，y）的图形（见图8-6）.通常我们也说二元函数的图形是一曲面． 图8-5 图8-6

7. 二、二元函数的极限 与一元函数类似，对于二元函数也可以讨论其变化趋势，下面给出二元函数的极限的定义。 由于多元函数的极限定义与一元函数的极限定义本质上是一样的，所以一元函数的极限的一些性质和运算法则对于多元函数也是成的．例如：如果极限存在，其极限值是惟一的；无穷小量与有界函数的乘积仍是无穷小量；若两个函数f，g的极限分别为a，b，则fg，f /g，的极限等于ab，a/b，（b≠0），等等．

8. 例1 当（x，y）→（0,0）时，求下列函数极限： （1） （2） 解 （1） 由于x→0 →0，又 有界，故 ＝０ （2） 由于（x，y）→（0,0）,当且仅当x2＋y2→0,令 = ＝１

9. 三、二元函数的连续性 在圆周x2+y2＝1上没有定义，所以该圆周上的点都是间断点．

10. 前面已指出：一元函数中关于极限的运算法则，对二元函数仍适用，据极限运算法则，易证二元连续函数的和、差、积、商（分母不为零处）均为连续函数.可以证明二元连续函数的复合函数也是连续函数．前面已指出：一元函数中关于极限的运算法则，对二元函数仍适用，据极限运算法则，易证二元连续函数的和、差、积、商（分母不为零处）均为连续函数.可以证明二元连续函数的复合函数也是连续函数． 定义 以x,y为变量的基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算且可用一个式子表示的函数称为二元初等函数． 一切二元初等函数在其定义区域内是连续的.所谓定义区域是指包含在定义域内的区域．

12. 四、有界闭区域上二元连续函数的性质 性质1（有界性和最大值最小值定理） 如果函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，则f(x,y)在D上有界，且一定存在最大值和最小值。 性质2（介值定理） 如果函数f（x,y）在有界闭区域D上连续，则f(x,y)在D上必可取得介于函数最大值M和最小值m之间的任何值.

13. 本次课内容小结： 本次课主要介绍了多元（重点是二元）函数的基本概念，及二元函数的极限、连续等概念，在学习中注意多元函数与一元函数学习对应内容的相同与不同点。 练习 1、求二元函数z=ln(x-y)的定义域。