最值问题的

高三专题讲座 解法最值问题的黄石三中郝海滨

Q P 2 2 2 - - ) ( 40 10 t ) ( 30 20 t + 20 + =√100· [ 5(t – 2)2+9 ] , 当 t=2时,f(t)max=√100 · 9 =30 先看下面的例子： B0 B B 1）在河面上一只小船以10m/分的速度由南向北匀速行驶；在离河面高20m的桥上，一辆汽车由西向东以20m的速度匀速前进。如图，它们行驶路线的公垂线段是PQ，某时刻小船在水面上P点以南40m处，汽车在桥上Q点以西30m处。求小船与汽车最短距离是多少？ f(t) A A0 解：设经过时间 t 后，汽车和小船分别到点B、A，它们的距离为 f(t). ∵AP⊥PQ，BQ⊥ PQ ，且 AP ⊥ PQ ∴f(t)=│AB │= ∴2分钟后汽车和小船之间的距离最近，距离为30m. 评议：最值问题总是针对变化的对象提出的，我们可以设置一个自变量，用这个自变量将要求的对象表示出来，这就是函数法。

▲函数法求最值、值域 { 常见函数模型㈠㈡㈢㈣(五) Ⅰ一元函数单调性法(常用于一些不规则但是单调的函数} 把要求最值的对象U表为某一自变量x的函数： U=f(x) （x∈某范围） Ⅱ多元函数方法(通常为二元函数) 把要求最值的对象U表为某2个自变量x 、y的函数: U=f(x,y),其中x , y满足一个关系式法一：消元化为一元函数法二：不消元直接用均值不等式法。

b (a,b,x＞0) ㈡二项互倒函数y=axm + n x 例如 y=x+ (x>0), 18 a1x2+b1x+c1 (三)二次分式函数y= x a2x2+b2x+c2 y= + (x>0) x2 4 y=Asin（ωx+φ） x 3 函数法之Ⅰ.一元函数几个常见的模型函数: ㈠二次函数y=at2+bt+c (四)乘积形式的高次函数（见实例）（五）辅助角型三角函数y=aSinωx+bcosωx

b (a,b,x＞0) ㈡二项互倒函数y=axm + n x a1x2+b1x+c1 (三)二次分式函数y= a2x2+b2x+c2 y=Asin（ωx+φ）函数法之Ⅰ.一元函数几个常用的模型函数: ㈠二次函数y=at2+bt+c (四)乘积形式的高次函数（见实例）（五）辅助角型三角函数y=aSinωx+bcosωx

例2已知x∈[- , ] ,则当x= ___ 时, 函数y=2sin2x+2(cosx+sinx) - 1有最大值_______；当 x= ___时,y有最小值_____。 π √ 4 2 1+2 π π 2 2 返回主提纲㈠二次函数y=at2+bt+c A 例1 ABC中,C为直角，则sin2A+sinB ( ) (A)有最大值无最小值， (B)有最小值无最大值， (C)有最大值也有最小值， (D)无最大值也无最小值。－1 例3已知曲线 y2 = 2x, (1)在曲线C上求一点P ，使点P距点A(2/ 3 , 0) 的距离最近，并求出这个最近的距离。 (2)将(1)中的点A的坐标改为( a , 0), a 为常数。求解同样的问题。

(二)返回主提纲 (a,b,x＞0) ㈡二项互倒函数y=axm + 例1求函数y=f(v)=S·( + 4v ) （v∈( 0, c ] ）的最小值，其中S、c是正的常数，且c＞3/2。解: f(v)=S·( + 4v ) ≥ 2 b (不可少这一步!) n x 当 = 4v 时取等号, a+b (答:a ≤2 – 2 ) 2 9 9 2 v v 9 例3设 a , b∈R+ 且a+b=1 , 则 ab + 的最小值为_______ v 此时v= 3 1 1 1 2 ab ab ab 解: ab+≥ 2 分析:上式中等号成立的条件是ab= 可是由已知得ab≤ S· =12S ∈( 0, c ] ∴ 函数y=f(v)的最小值为 12S。例2关于x 的方程 22x+2x ·a + a +1=0有实根,求实数 a 的取值范围. 4.25 =2 ∴它的最小值为2 . 即ab=1 =1/4 取不到1

返回主提纲 (三)二次分式函数y= X2+1 a1x2+b1x+c1 (x＞0)的最小值。例如求 y= 的值域例如：求Y= 2x a2x2+b2x+c2 例1 求函数 y = 的值域. 4t +3 t2 +2 sin2 x+cos x - 4 cos x - 2 + 2tg θ ＜ ······ = 1 3 = · · · = tgθ – tg(argz) tg θ tg θ 1- tgθ·tg(argz) 3+2 tg2θ 转化为前一种类型：二项互倒型当 x∈R 时，用判别式法思路:换元,令2 – cosx= t ,将函数化为二项互倒型 ······ (详解在黑板) 例2设复数z=3cosθ+i·2sinθ, 求y=θ – argz(0 ＜θ＜ π/2)最大值. 思路: ∵ θ为锐角 ∴3 cosθ＞0 且2sinθ＞0 ∴argz 为锐角，从而θ – argz的范围是( - π/ 2， π/ 2) . 因为正切函数在( - π/ 2， π/ 2 )上递增，所以只要对y 取tg 即可: tgy=tg(θ - argz)=

例1求函数 y= ctg2 θ·ctgθ · tg 2θ 的最小值 ,其中0＜θ ＜ π π ( 答: 当 x = 1 - 时, Smax = ) 4 4 2 又例设0＜θ ＜, 求 sin2θ·cos θ的最大值 .答: 9 16 3 9 (四)乘积形式的高次函数 ( 答: 8 ) 例2求S = 2( 1 – x ) · y 的最大值.其中0＜x ＜ 1 , y = - 2(x – 1)2+4 . 返回主提纲

（五）辅助角型三角函数y=aSinωx+bcosωx 例1求函数 y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x 的最大最小值 , 以及使y达到最大值的 x 值的集合. 例2求函数 y=2sinx(sinx+cosx) 的值域. 观察:函数 y= cos 2x + cosx不是辅助角型, 看看它可化为哪一类型? [下面请看一元函数的单调性法] 返回主提纲

例3求函数y=f(v)=S·( + 4v ) （v∈( 0, c ] ）的最小值，其中S、c是正的常数，且c＞0。 ⑵函数y= x - √1 – x的最大值是。 ⑶函数 y= x - √x2 – 1的最大值是。 9 例2若∨ x∈(- ∞ , 1] ,a＞－ (x∈N, n≥2). 求实数 a 的取值范围。 v 1+2x+3x+· · ·+(n－1)x nx 一元函数之单调性法定义域的端点处有些函数在其定义域上是单调的，那么它的最值必在取得。例1 ⑴ 函数 y=arccos2x – arctg(x – ½ )的值域是. 想一想: 若条件形式为:1+2x+3x+···(n－1)x+a·nx>0, 则在解答时应当怎样？

模型例子：已知 + =1 (x＞0, y＞0 ) ,求 3x+2y 的最小值. + (问题的变型：直线 =1 过点(1 , 1), 求 3a+2b 的最小值.) y x a b 思路：从得 y= ,代入 X X-1 X 2y X-1 U=3x+2y=3x + 2 = ······ = 1 1 1 1 1 1 1 + x y x x y x y 思路：U=3x+2y = (3x+2y)·( + ) 3x y =5+ + ≥······ • 函数法之Ⅱ.二元函数类型解法一:消元,化为一元函数法利用2个变量所满足的关系式，从中解出一个变量用另一个变量表示，于是可以代掉一个变量，使自变量只剩一个. 解法二:不消元,直接用均值不等式求最值更多例子参见下页》

二元函数最值例子 • 例1设a>1, b<1,且a、b满足2logab=2logba－3.求a+b的最小值。答：例2设正数a、b满足ab=a+b+8 ,则 ab的取值范围是。例3 设正数a、b满足：4b+2ab+2a=60 (a>0,b>0,a<30) ,求当y=k/ab (k为正的常数) 达到最小值时，a、b分别取何值。答：a=6 , b=3

例1设复数Z满足arg(z + i )=2π/3 ,则 的最大值为答:( ) 例2双曲线16x2 – 9y2=144 的右焦点为F2 , 点M为双曲线上的任一点,又已知点A( 9, 2 ).求│MA│+ │MF2│的最小值,并求此时点M 的坐标. 1 │z + 6│+│z – 3i│ 分析: 这里的所求│MA│+ │MF2│不适合用函数法表示.应优先考虑用图象法. 着重研究这个式子连同系数的几何意义, 3 3 5 5 3 答:最小值 , 26 2 点M在( , 2 ) 3 • ▲几何法 ———如果一个最值问题不适合用函数法，而所求对象和已知条件具有一定的几何意义，就试试用几何法解。常常运用几何中的轨迹、斜率、距离等. A （在几何画板上解答） (在几何画板上解答)

水平所限,讲得不好, 请多包涵. 祝你成功！ • 再见!

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