Základy mechaniky, 9. přednáška

1. Základy mechaniky, 9. přednáška Stav napjatosti materiálu. Obsah přednášky : jednoosý a dvojosý stav napjatosti, stav napjatosti ohýbaného nosníku, deformace ohýbaného nosníku, řešení staticky neurčitých úloh Doba studia : asi 1,5 hodiny Cíl přednášky : seznámit studenty s obecným popisem stavu napjatosti v rovině a v prostoru, zevrubně seznámit studenty s lineární teorií nosníků

2. Základy mechaniky, 9. přednáška Na předcházející přednášce jsme se seznámili s nejjednodušším - jednoosým stavem napjatosti. Prostý tah nebo tlak v určitém směru. F F S s - normálové napětí[Pa, MPa] F - síla[N] S - průřezová plocha[m2, mm2] Tomuto napětí s říkáme „normálové napětí“ protože je vyvoláno silou, kolmou k rovině průřezu, deformace (prodloužení) je kolmá k rovině průřezu. V technické praxi se však často setkáváme se složitějším způsobem namáhání. Např. dvojosý stav napjatosti v rovině (tzv. 2D stav napjatosti). F F F F

3. Základy mechaniky, 9. přednáška Dvojosý stav napjatosti y Vznikají dvě normálová napětí ve dvou směrech. Fy Sx Fx Fx Příslušná deformace je samozřejmě opět prodloužení nebo zkrácení. x Sy Fy Kromě toho však vzniká kvalitativně nový druh namáhání - smykové napětít. Fy y y Fx Sx gyx x x Sy Fx gxy Fy Deformace, příslušející smykovému napětí, je zkoseníg.

4. Základy mechaniky, 9. přednáška Dvojosý stav napjatosti Kromě toho však vzniká kvalitativně nový druh namáhání - smykové napětít. Fy y y Fx Sx gyx x x Sy Fx gxy Fy Deformace, příslušející smykovému napětí, je zkoseníg. Velikost zkosení jako důsledku smykového napětí je dána Hookovým zákonem pro smyk : Zde : je modul pružnosti ve smyku.

5. Základy mechaniky, 9. přednáška Dvojosý stav napjatosti Dvojosý stav napjatosti je tedy definován třemi hodnotami napětí : sx - normálové napětí ve směru osy x, sy - normálové napětí ve směru osy y, txy=-tyx - smykové napětí v rovině x-y (tzv. sdružená napětí). Tyto hodnoty bývá zvykem uspořádat do tzv. tenzoru napětí. sy tyx Z rovnováhy sil na elementárním objemu lze odvodit velikost normálového napětí sa a smykového napětí ta, vztahující se k rovině skloněné o úhel a : txy a sa sx ta sx txy Tyto vztahy lze graficky interpretovat pomocí tzv. Mohrovy kružnice. Kreslíme ji do grafu, na jehož vodorovnou osu vynášíme normálové napětí s, na svislou osu smykové napětí t. Střed Mohrovy kružnice leží na ose s. tyx sy t Jeden bod Mohrovy kružnice představuje normálové napětí s a smykové napětí t, vztahující se k jedné určité rovině. txy 2a s tyx Jeden průměr Mohrovy kružnice představuje stav napjatosti : dvě normálová napětí sx a sy (k sobě kolmá - 2a = 180º) a dvě sdružená smyková napětí txy=-tyx. sy sx

6. Základy mechaniky, 9. přednáška Dvojosý stav napjatosti Je zřejmé, že jistý stav napjatosti lze vyjádřit nekonečně mnoha trojicemi hodnot sx, sy a txy, vztahujícími se k osám x a y, natočeným vůči zvolené výchozí poloze o různý úhel a. t Dále je zřejmé, že existuje jedna mimořádná trojice hodnot sx, sy a txy, vztahujících se k osám, které označíme 1 a 2. Normálová napětí s1 a s2 představují maximum resp. minimum z hodnot normálových napětí pro různé úhly a. Tato napětí označujeme jako první a druhé hlavní napětí. Smykové napětí v rovině 1-2 je nulové t12=0. txy s2 2a s1 s tyx sy sx Stav napjatosti je v tomto případě vyjádřen pouze dvěma hodnotami hlavních napětí. Třetím parametrem však je úhel natočení a os 1-2 vůči osám x-y. Potenciální energie napjatosti, vztažená na objemovou jednotku, tzv. měrná potenciální energie, je ? Zde E - je modul pružnosti v tahu, m - Poissonovo číslo. t Zvláštní stav napjatosti, tzv. prostý smyk, nasává, je-li s1=-s2. s1 s2 s

7. Základy mechaniky, 9. přednáška Vyhodnocení dvojosého stavu napjatosti Vyhodnocení jednoosého stavu napjatosti z hlediska porušení soudržnosti materiálu je jednoduché. K poruše nedojde je-li : Zde sdov je tzv. dovolené napětí. Jeho hodnota může odpovídat mezi kluzu, mezi pevnosti vydělené požadovanou bezpečností, nebo jiným způsobem stanovené hodnotě. U dvojosého stavu napjatosti je posouzení komplikovanější. Je-li např. první hlavní napětí s1 poněkud větší než dovolené napětí (ne příliš) a druhé hlavní napětí s2 menší, není snadné odpovědět zda dojde k porušení materiálu. Situaci názorně dokumentuje tzv. Haighův diagram. Zde na vodorovnou osu vynášíme první hlavní napětí s1, na svislou osu druhé hlavní napětí s2. s2 Představme si dále virtuální experiment. Vzorek materiálu budeme zatěžovat ve dvou osách tak, že poměr obou napětí bude v průběhu zatěžování zachován. V okamžiku porušení uděláme v grafu značku. Tento postup opakujeme pro různé hodnoty poměru s1/s2. Takto vzniklá křivka vypovídá o schopnosti materiálu snášet dvojosý stav napjatosti. s1

8. Základy mechaniky, 9. přednáška Vyhodnocení dvojosého stavu napjatosti Abychom mohli vyhodnotit dvojosý stav napjatosti, je třeba zvolit kritérium posouzení. Jedním z nejjednodušších kritérií je tzv. Rankinova teorie. Podle té rozhoduje o pevnosti větší z obou napětí. K porušení nedojde je-li větší z obou napětí menší než napětí dovolené. Tato teorie je velmi jednoduchá ale velmi nepřesně vypovídá o chování materiálu při dvojosém stavu napjatosti. Protože bere v úvahu jen větší z obou napětí, prakticky stírá rozdíl mezi jednoosým a dvojosým stavem napjatosti. Poměrně často používaná je teorie HMH, zvaná podle svých autorů - Huber, Mises, Hencky, nebo též energetická hypotéza. Podle ní o stavu napjatosti vypovídá potenciální energie. Hypotéza HMH definuje tzv. redukované napětí : s2 Vyhodnotit nebezpečí porušení pak je již jednoduché : s1 Poznámka : Snadno nahlédneme že v případě dvojosého tahu (s1>0, s2>0) je redukované napětí menší než součet obou napětí. Únosnost ve dvojosém tahu je větší než v jednoosém.

9. Základy mechaniky, 9. přednáška Vyhodnocení dvojosého stavu napjatosti Při posuzování dvojosého stavu napjatosti z hlediska porušení materiálu je třeba mít na paměti dvě věci. Jakékoliv posouzení podle jakékoliv teorie je jen jedna z více možností. Hypotéz je více a neustále se hledají další, jiné přístupy k posouzení a vyhodnocení dvojosého (ale též trojosého) stavu napjatosti. Žádná teorie není univerzální. Naopak, např. redukované napětí podle hypotézy HMH, vhodné po posouzení namáhání oceli, není vhodné pro posouzení namáhání litiny. Redukované napětí je skutečně zjednodušená, neúplná informace. Úplná informace je tenzor napětí.

10. Základy mechaniky, 9. přednáška Stav napjatosti ohýbaného nosníku Jak již bylo uvedeno dříve, základní silové účinky, definující namáhání nosníku, jsou tzv. vnitřní statické účinky : normálová síla N, posouvající síla T a ohybový moment MO. Tyto již přímo slouží k výpočtu napětí. normálová síla Nejjednodušší je výpočet normálového napětí s z normálové síly N. s - normálové napětí ve směru osy nosníku [Pa, MPa] je po celém průřezu rovnoměrně rozložené, N - normálová síla [N], S - průřezová plocha nosníku [m2, mm2]. posouvající síla ohybový moment

11. Základy mechaniky, 9. přednáška Stav napjatosti ohýbaného nosníku Jak již bylo uvedeno dříve, základní silové účinky, definující namáhání nosníku, jsou tzv. vnitřní statické účinky : normálová síla N, posouvající síla T a ohybový moment MO. Tyto již přímo slouží k výpočtu napětí. posouvající síla Výpočet smykového napětí t z posouvající síly T je poněkud složitější. Odvození uvedeného vztahu pro smykové napětí je poněkud složitější. Protože u štíhlých nosníků bývá smykové napětí méně důležité, nebude zde tento vztah odvozen. Některé veličiny však budou dále podrobněji vysvětleny. t - smykové napětí [Pa, MPa] T - posouvající síla [N], MS - statický moment plochy nad počítaným místem k neutrální (těžištní) ose [m3, mm3]. J - moment setrvačnosti plochy [m4, mm4], b - šířka průřezu nosníku [m, mm].

12. Základy mechaniky, 9. přednáška Stav napjatosti ohýbaného nosníku Průřezové parametry profilu nosníku. y S průřezovým profilem nosníku je spojeno několik důležitých geometrických parametrů : S [m2, mm2] - průřezová plocha - nebude dále diskutováno (viz učivo základní školy); T - těžiště - nebude dále diskutováno (viz příslušná kapitola tohoto materiálu), osa, procházející těžištěm (zde osa x), bývá nazývána „neutrální osa“; MS[m3, mm3] - statický moment plochy nad počítaným místem k neutrální (těžištní) ose; J [m4, mm4] - moment setrvačnosti. S T x - neutrální osa rovina ohybu

13. Základy mechaniky, 9. přednáška Stav napjatosti ohýbaného nosníku Průřezové parametry profilu nosníku. y MS[m3, mm3] - statický moment plochy nad počítaným místem k neutrální (těžištní) ose. b Sy Ty V jistém místě (zde označeném dvojitou šipkou ) chceme vypočítat smykové napětí t. Poloha tohoto místa je dána souřadnicí y nad neutrální (těžištní) osou x. Šířka profilu v tomto místě je b. Plocha profilu nad tímto místem (zde vyznačena barevně) je Sy. MS je moment plochy Sy k neutrální ose x. Je-li Ty těžiště této dílčí plochy Sy a yTy je souřadnice tohoto těžiště, pak : yTy y T x - neutrální osa rovina ohybu

14. Základy mechaniky, 9. přednáška Stav napjatosti ohýbaného nosníku Průřezové parametry profilu nosníku. y J [m4, mm4] - moment setrvačnosti profilu k neutrální ose. b Uvažujme ve výšce y nad neutrální (těžištní) osou x nekonečně tenký proužek (zde vyznačen barevně) délky b a nekonečně malé šířky dy (délka b(y) je samozřejmě, s výjimkou obdélníkového průřezu, funkcí souřadnice y). Plocha tohoto proužku je přirozeně nekonečně malá : dy y T x - neutrální osa Kvadratický moment této plošky k ose x je : Moment setrvačnosti J je součet kvadratických momentů všech nekonečně mnoha proužků. rovina ohybu

15. Základy mechaniky, 9. přednáška Stav napjatosti ohýbaného nosníku Průřezové parametry profilu nosníku. J [m4, mm4] - moment setrvačnosti profilu k neutrální ose. Kruhový průřez o průměru d : Obdélníkový průřez b × h : b fd h neutrální osa neutrální osa Mezikruží o vnějším průměru d tloušťka stěny t : Dutý obdélníkový průřez b × h, tloušťka stěny t : b fd h neutrální osa neutrální osa t t

16. Základy mechaniky, 9. přednáška Stav napjatosti ohýbaného nosníku Smykové napětí nosníku. y Je zřejmé že z veličin, určujících smykové napětí, statický moment MS a šířka profilu b (s výjimkou obdélníkového průřezu) jsou proměnnými veličinami, závislými na souřadnici y. Smykové napětí t tedy není po průřezu rozloženo rovnoměrně. Obecně se nedá říci kde je smykové napětí maximální, to závisí na tvaru průřezového profilu. Obvykle (u běžných profilů) to bývá v neutrální ose. (Např. u obdélníkového profilu je průběh smykového napětí parabolický s maximem v neutrální ose.) y T x - neutrální osa rovina ohybu

17. Základy mechaniky, 9. přednáška Stav napjatosti ohýbaného nosníku Smykové napětí nosníku. Závěrem této části výkladu se pokusíme názorně vysvětlit podstatu vzniku smykového napětí v ohýbaném nosníku. Představme si dvě desky volně na sobě položené na dvou prostých podporách. Při zatížení se obě prohnou a současně po sobě v dotykové rovině poněkud proklouznou.

18. Základy mechaniky, 9. přednáška Stav napjatosti ohýbaného nosníku Smykové napětí nosníku. Závěrem této části výkladu se pokusíme názorně vysvětlit podstatu vzniku smykového napětí v ohýbaném nosníku. Pokud desky navzájem slepíme, obě se opět prohnou, nemůže však dojít k proklouznutí. Horní deska je stlačována, spodní deska je natahována. Rozdíl mezi tahovou silou ve spodní desce a tlakovou silou v horní desce vytváří smykové napětí. Vrstva lepidla je namáhána smykovým napětím a bude-li toto napětí příliš velké, dojde k porušení lepeného spoje. vrstva lepidla, namáhaná smykem

19. Základy mechaniky, 9. přednáška Stav napjatosti ohýbaného nosníku Ohybové napětí nosníku. Ohybové napětí nosníku. Konečně třetí a nejdůležitější namáhání je důsledkem ohybového momentu MO. Intuitivně cítíme že na horní straně ohýbaného nosníku je tlakové napětí, na spodní straně tahové. Odvodíme charakter rozložení normálového napětí s po průřezu nosníku a jeho velikost. Vyjdeme ze dvou základních předpokladů : * Napětí nepřesahuje mez kluzu - platí Hookův zákon. * Rovinný řez nosníkem (kolmý k ose nosníku) se po prohnutí natočí avšak zůstane rovinným. ohybový moment

20. Základy mechaniky, 9. přednáška Stav napjatosti ohýbaného nosníku Ohybové napětí nosníku. Uvažujme krátký úsek nosníku délky l. Z předpokladu zachování rovinnosti průřezů vyplývá že dva rovinné průřezy, kolmé k ose nosníku (navzájem rovnoběžné), spolu budou po prohnutí svírat jistý úhel f. Dále předpokládejme, že v jistém místě průřezu bude napětí nulové, tedy i deformace nulová a délka l zde zůstane zachována. Tomuto místu budeme říkat neutrální osa. Tato neutrální osa se vlivem prohnutí zakřiví s poloměrem křivosti R. V libovolném místě, daném souřadnicí y od neutrální osy, se délka l zvětší (zmenší) o Dl. Pro úhel f pak platí : f MO R neutrální osa l y l+Dl s l Pak můžeme vyjádřit poměrnou deformaci : Platí-li dále Hookův zákon, můžeme formulovat první důležitý závěr : Napětí se po výšce profilu mění lineárně. Zde E je modul pružnosti v tahu, R je poloměr zakřivení neutrální osy.

21. Základy mechaniky, 9. přednáška Stav napjatosti ohýbaného nosníku Ohybové napětí nosníku. Další úvahy se budou týkat silového rozboru. Ve vzdálenosti y od neutrální osy uvažujme nekonečně malou plošku dS (zde vyznačena barevně). Šířka plošky odpovídá šířce profilu, výška je nekonečně malá dy. Této plošce odpovídá nekonečně malá síla : f MO Z rovnice rovnováhy pro směr osy nosníku vyplývá : R neutrální osa l y dS l+Dl s dF = s·dS l Připomeneme si dále vztah pro souřadnici těžiště plochy : Je zřejmý druhý závěr : Neutrální osa prochází těžištěm průřezové plochy nosníku.

22. Základy mechaniky, 9. přednáška Stav napjatosti ohýbaného nosníku Ohybové napětí nosníku. Další úvahy se budou týkat silového rozboru. Ve vzdálenosti y od neutrální osy uvažujme nekonečně malou plošku dS (zde vyznačena barevně). Šířka plošky odpovídá šířce profilu, výška je nekonečně malá dy. Této plošce odpovídá nekonečně malá síla : f MO Z momentové rovnice rovnováhy pak vyplývá kvantitativní vyjádření napětí : R neutrální osa l y dS l+Dl s dF = s·dS l Zde uvedený integrál byl již dříve definován jako moment setrvačnosti J. Platí tedy : Třetí závěr tedy již přímo určuje rozložení napětí po výšce profilu.

23. Základy mechaniky, 9. přednáška Stav napjatosti ohýbaného nosníku Ohybové napětí nosníku. Shrneme nyní odvozené závěry : 1) Definujeme neutrální osu jako osu, procházející těžištěm průřezové plochy. Napětí v neutrální ose je nulové. 2) Mimo neutrální osu se napětí šíří lineárně, směrnice je rovna poměru ohybového momentu MO a momentu setrvačnosti průřezu J. (Napětí je přirozeně na jedné straně neutrální osy kladné - tahové, na opačné straně je záporné - tlakové.) f MO R neutrální osa l y l+Dl s l Z praktických důvodů nás obvykle zajímá maximální napětí : Za účelem provádění praktických výpočtů pak byl definován tzv. ohybový modul WO : Maximální ohybové napětí pak je :

24. Základy mechaniky, 9. přednáška Stav napjatosti ohýbaného nosníku Ohybové napětí nosníku. Poslední závěr se týká deformace nosníku. 3) Poloměr zakřivení neutrální osy je : f MO Součin E·J bývá někdy nazýván „ohybová tuhost“ nosníku. Zde E (modul pružnosti v tahu [Pa, MPa]) vyjadřuje vliv materiálu, J (moment setrvačnosti profilu [m4, mm4]) vyjadřuje vliv geometrie - tvaru průřezového profilu. R neutrální osa l y l+Dl s l

25. Základy mechaniky, 9. přednáška Stav napjatosti ohýbaného nosníku Napětí materiálu ohýbaného nosníku tedy je : normálová síla posouvající síla ohybový moment

26. Základy mechaniky, 9. přednáška Stav napjatosti ohýbaného nosníku Napětí materiálu ohýbaného nosníku tedy je : Napětí od normálové síly N a od ohybového momentu MO mají obě směr osy nosníku. Proto je lze prostě sčítat. Napětí od posouvající síly T je napětí smykové a s normálovým napětím se nedá prostě sčítat. Z normálového a smykového napětí lze podle zvolené hypotézy vyjádřit redukované napětí. Například podle energetické hypotézy HMH je redukované napětí :

27. Základy mechaniky, 9. přednáška Deformace ohýbaného nosníku x y Průhybovou křivku ohýbaného nosníku lze vyjádřit na základě poloměru zakřivení R. Pro plochou průhybovou křivku (průhyb mnohokrát menší než délka y<<l) je převrácená hodnota poloměru zakřivení, tzv. druhá křivost, přibližně rovna druhé derivaci průhybové křivky. Při jednotném materiálu (E=konst) a při konstantním průřezu (J=konst) je průhybová křivka dána dvojím integrováním průběhu ohybového momentu. Při integrování je třeba určit integrační konstanty. Ty se určí z okrajových podmínek : V místě kloubové vazby je y=0, v místě dokonalého vetknutí je y=0 a y’=0 (úhel natočení).

28. Základy mechaniky, 9. přednáška Deformace ohýbaného nosníku Jiný způsob řešení průhybu vyžaduje vyjádření potenciální (deformační) energie prohnutého nosníku. Zanedbáme potenciální energii od smykového napětí t a omezíme se na potenciální energii od normálového ohybového napětí s. Vyjdeme z vyjádření potenciální energie tahové napjatosti, vztažené na jednotkový objem, tak jak byla odvozena na předchozí přednášce. Celkovou potenciální energii získáme integrací přes celý objem nosníku. Objem nosníku je V=S·l, kde S je průřezová plocha a l je délka nosníku. Element objemu pak je dV=dS·dx, kde dS je element průřezové plochy a dx je element délky nosníku. Zde jsme dosadili Hookův zákon :

29. Základy mechaniky, 9. přednáška Deformace ohýbaného nosníku Jiný způsob řešení průhybu vyžaduje vyjádření potenciální (deformační) energie prohnutého nosníku. Dosadíme-li dále rozložení napětí po průřezu nosníku : Konečně vzhledem k vyjádření momentu setrvačnosti :

30. Základy mechaniky, 9. přednáška Deformace ohýbaného nosníku F y Průhyb y v místě působení síly F pak lze určit z tzv. Castiglianovy věty. Analogicky určíme natočení osy nosníku f v místě působení momentu M. M f

31. Základy mechaniky, 9. přednáška Deformace ohýbaného nosníku F Jako příklad uvedeme průhyb vetknutého nosníku, zatíženého silou F. y MO = F·x Průběh ohybového momentu je lineární. x Potenciální energie je : Konečně průhyb y v místě působení síly F (na volném konci nosníku) je : Velké množství odvozených vzorců pro průhyb a natočení různě uložených nosníků uvádí nejrůznější technické tabulky.

32. Základy mechaniky, 9. přednáška Řešení reakcí staticky neurčitě uloženého nosníku Jak jsme již ukázali dříve, výpočet deformace nám umožňuje řešit úlohy staticky neurčité. Řešení reakcí staticky neurčitě uloženého nosníku si ukážeme na příkladu. Nosník délky 2·a je uložen na třech podporách a zatížen silou F. Určete reakce v uložení. F A B C a/2 RA=? RB=? RC=? a a Základní přístup je následující : Představíme si, že bod C je volný (bez vazby), zatížený neznámou silou RC. Její velikost musí být taková, aby průhyb v bodě C by nulový (yC=0). F A B C yC=0 a/2 RC=? RA=? RB=? a a

33. Základy mechaniky, 9. přednáška Řešení reakcí staticky neurčitě uloženého nosníku Abychom příslušnou podmínku sestavili, použijeme princip superpozice. I) Nejprve budeme uvažovat nosník na dvou podporách s volným koncem C, zatížený pouze silou F. F yCI A B C fBI a/2 RAI RBI a a Úloha je staticky určitá a snadno nalezneme řešení : např. Castiglianovou větou např. Castiglianovou větou

34. Základy mechaniky, 9. přednáška Řešení reakcí staticky neurčitě uloženého nosníku II) Nyní budeme uvažovat opět nosník na dvou podporách s volným koncem C, zatížený však pouze silou RC. yCII A B C RC RAII RBII a a I tato úloha je staticky určitá a snadno nalezneme řešení : např. Castiglianovou větou

35. Základy mechaniky, 9. přednáška Řešení reakcí staticky neurčitě uloženého nosníku Podle principu superpozice jsou jak celkové reakce, tak celková deformace dány prostým součtem reakcí resp. deformace od jednotlivých složek zatížení. F A B C a/2 RA=? RB=? RC=? a a