Площадь

1. Площадь Презентацию подготовили Наркунас Татьяна и Куропаткина Ирина

2. Понятие площади многоугольника • Площадь многоугольника – величина той части плоскости, которую он занимает. • Единица измерение площади – см2 (квадрат со стороной 1 см). • Площадь выражается числом, показывающим сколько раз в многоугольнике уложилась единица измерения. • Свойства площадей.

3. Свойства площадей • Равные многоугольники имеют равные площади. • Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников. • Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

4. Площадь многоугольника

5. Прямоугольник • Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. а2 S S+a2+b2+S=2S+a2+b2=(a+b)2= =a2+2ab+b2 => 2S=2ab, S=ab S b2 b a

6. Параллелограмм • Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту. а В SABCD=SABHD+SBHC= =SABHD+SAED=SABHE==BH*AB Е D Н С

7. Треугольник • Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту. B D SABDC=SABC+SBDC=2SABC=BH*AC => SABC=1/2BH*AC A H C

8. Трапеция B C H1 SABCD=SABD+SBDC= =1/2BH*AD+1/2DH1*BC= =1/2BH(AD+BC) A D H

9. Теорема Пифагора В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. b а S=(a+b)2=4*1/2ab+c2 a2+b2+2ab=2ab+c2 a2+b2=c2 b а с с с с а b а b

10. Теорема, обратная теореме Пифагора Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный. e B a c d f AB2+BC2=AC2; ∆DEF – прямоугольный и АВ=DE u BC=DF , тогда DE2+DF2=EF2=AB2+BC2=AC2 => AC=EF, тогда ∆ABC=∆DEF (CCC), ∆ABC – прямоугольный.

11. Доказательство Вальдхейма. Sтрап.=(a+b)2/ 2 Sтрап.=2*1/2ab+c2/2

12. Формула Герона Рассмотрим треугольник АВС, в котором АВ=c, ВС=a, АС=b. В любом треугольнике по крайней мере два угла острые. Пусть А и В – острые углы треугольника АВС. Тогда основание Н высоты СН треугольника лежит на стороне АВ. Введем обозначения: СН=h, AH=y, BH=x. По теореме Пифагора a2-x2=h2=b2-y2, откуда y2-x2=b2-a2, или (y-x)(y+x)=b2-a2. Так как y+x=c, то y-x=(b2-a2)/c. Сложив два последних равенства и раздели на 2, получим: y=(b2+c2-a2)/2c. Примем полупериметр треугольника за p: p=1/2(a+b+c)

13. Следовательно,

14. Задачи • Формула Герона. • Теорема Пифагора. • Сумма расстояний от точки до боковых сторон равнобедренного треугольника.

15. Пусть стороны треугольника – 6см, 8см, 12см, какова его площадь? • S= 13*(13-6)(13-8)(13-12) = 13*7*5*1 = 455

16. Докажите, что площадь квадрата, построенного на катете равнобедренного прямоугольного треугольника, вдвое больше площади квадрата, построенного на высоте, проведенной к гипотенузе. a²/2 a 45˚ a√2/2 a√2 a a² a a√2/2 a√2/2 45˚ 45˚ 45˚ a a

17. Докажите, что сумма расстояний от точки на основании равнобедренного треугольника до боковых сторон не зависит от положения этой точки. S1=a*x/2 S2=b*x/2 x x S=(a+b)*x/2 а b