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地球物理反演理论. 武汉大学 测绘学院. 《 地球物理反演理论 》 课程组. 一、本课程的性质和任务. 性质: 《 地球物理反演理论 》 是固体地球物理学专业的通开课程,通过本课程的学习加深学生对地球物理专业理论实质的理解和认识。促进学生认识和理解本专业和相关专业的结合,从而拓宽学生的专业知识面,并对地球物理学专业的发展和现状有新的认识 。 任务: 掌握地球物理反演理论的基本原理与方法(什么是反演问题、正演问题,线性反演方法原理,广义反演方法, B-G 反演理论,非线性反演问题);能够应用地球物理反演理论的基本原理与方法解决科研中的实际问题。. 二、本课程的内容.

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地球物理反演理论

武汉大学 测绘学院

《地球物理反演理论》课程组

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一、本课程的性质和任务

性质:

《地球物理反演理论》是固体地球物理学专业的通开课程,通过本课程的学习加深学生对地球物理专业理论实质的理解和认识。促进学生认识和理解本专业和相关专业的结合,从而拓宽学生的专业知识面,并对地球物理学专业的发展和现状有新的认识 。

任务:

掌握地球物理反演理论的基本原理与方法(什么是反演问题、正演问题,线性反演方法原理,广义反演方法,B-G反演理论,非线性反演问题);能够应用地球物理反演理论的基本原理与方法解决科研中的实际问题。

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二、本课程的内容

1、绪论

2、线性反演理论与方法

3、广义反演法

4、Backus-Gilbert反演理论

5、非线性反演方法

6、地球物理大地测量(联合)反演理论与应用

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三、本课程的教学模式

研究型教学模式:

课堂讲座与讨论相结合

参考教材:讲座4次

参考文献:讲座讨论6次

综合 :2次

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参考教材:

1, 王家映,地球物理反演理论,武汉:中国地质大学出版社,2002

2,傅淑芳 朱仁益,地球物理反演问题,北京:地震出版社,1998

3,杨文采,地球物理反演的理论与方法,北京:地质出版社,1997

4,姚姚,地球物理反演基本理论与应用方法,武汉:中国地质大学出版社,2002

参考文献:

英文:12-20篇

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1, S.M. Tan and Colin Fox, The University of Auckland ,Chapter 3, Regularization Methods for Linear Inverse Problems

2,S.M. Tan and Colin Fox, The University of Auckland ,Chapter 5 , Bayesian statistical inference and parameter estimation

3, S.M. Tan and Colin Fox, The University of Auckland ,Chapter 6 , The Recursive Linear Inverse Problem

4, S.M. Tan and Colin Fox, The University of Auckland ,Chapter 8 , Sampled solutions to Inverse Problems

5, Albert Tarantola and Bernard Valette ,Generalized Nonlinear Inverse Problems Solved Using the Least Squares Criterion,Reviews of Geophysics and Space Physics, Vol. 20, No. 2, pages 219–232, May 1982

6 , Klaus Mosegaard,Albert Tarantola ,Monte Carlo sampling of solutions to inverse problems, Journal of Geophysical Research, Vol. 100, No., B7, p 12,431–12,447, 1995.

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7, John A. Scales and Luis Tenorioz, Prior information and uncertainty in inverse problems, GEOPHYSICS, VOL. 66, NO. 2, 2001; P. 389–397

8, Alberto Malinverno, Parsimonious Bayesian Markov chain Monte Carlo inversion in a nonlinear geophysical problem, Geophys. J. Int. (2002) 151, 675-688

9, Sven Friedel, Resolution, stability and efficiency of resistivity tomography estimated from a generalized inverse approach, Geophys. J. Int. (2003) 153, 305–316

10, M. S. Zhdanov and E. Tartaras , Three-dimensional inversion of multitransmitter electromagnetic data based on the localized quasi-linear approximation, Geophys. J. Int. (2002) 148, 506–519

11, Christel Tiberi, Cynthia Ebinger, Val´erie Ballu,etal., Inverse models of gravity data from the Red Sea–Aden–East African rifts triple junction zone , Geophys. J. Int. (2005) 163, 775–787.

12, Yukitoshi Fukahata and Tim J. Wright, A non-linear geodetic data inversion using ABIC for slip distribution on a fault with an unknown dip angle, Geophys. J. Int. (2008) 173, 353–364

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绪论

1,地球物理反演的研究对象

2,地球物理反演的发展简史

3,地球物理反演的研究内容和方法

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地球物理反演的研究对象

地球物理反演是在地球物理学中利用地球表面观测到的物理现象推测地球内部介质物理状态的空间变化及物性结构的一个分支。

地球物理学可分为固体地球物理学和勘探地球物理学两大方面,其理论上有一个共同的核心问题:如何根据地面上的观测信号推测地球内部与信号有关部位的物理状态,如物理性质、受力状态或热流密度分布等,这些问题就构成了地球物理反演的独特研究对象。

具体地说,地球物理反演研究的是各种地球物理方法中反演问题共同的数学物理性质和解估计的构成和评价方法。它是从各个地球物理分支中抽象出来的边缘学科。

地球物理反演又可分为单一地球物理现象的反演和多种地球物理现象的联合反演。

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地球物理反演的发展简史

如果把天然地震的震源参数的推测归入地球物理反演范围,那么我国东汉的科学家张衡应该是从事地球物理反演的先驱。牛顿根据万有引力定律推测地球密度,开尔文研究地球的弹性和热传导,都是早期地球物理反演的范例。

地球物理学中反演问题的研究,在早期主要来自科学家对地球内部构造的好奇心,并受到物理学与地质学发展的推动。

1880年美国学者J. A. Ewing 等人发明了近代地震仪,地震记录的分析便提到日程上来,上世纪初,地震、地磁和重力的数据都有了一定程度的积累,地球物理数据的分析问题逐渐受到了重视,而定量的分析地球物理数据便导致了地球物理反演问题的研究。

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地球物理反演的发展简史

Hergloz于1907年提出的地震走时数据反演;

1909年A. Mohorovicic 发现莫霍面;

1912年 Beno Gutenbeg 发现古登堡面;

1947年第一台电子数字计算机的诞生标志着科学技术的一场革命,对地球物理数据分析产生了巨大的推动作用;

1950‘年代地球物理中的正演问题广泛使用了电子计算机,而与正演计算关系紧密的试错法和拟合法也随之用计算机来实现;

1967年--70年,美国地球物理学家Backus 和应用数学家Gilbert创建BG 理论,BG理论在70年代后期逐渐普及;

90年代非线性理论在自然科学的各个领域都成为研究前沿;

目前联合反演理论及其应用。。。

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地球物理反演的研究内容和方法

地球物理反演的出发点是描述地球内部发生的物理现象满足的数学物理方程。数学家称为偏微分方程,物理学家称之为运动方程或场方程{对运动方程的研究和证实是物理学方法论的核心!}。典型的物理学研究方法如下图 :

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地球物理反演的研究内容和方法

对于地球物理学家来说,他们习惯用的研究方法和物理学的方法只有一点不同,全盘接受运动方程,而则修改介质函数和边界条件(地球模型)或初始条件(激发源特性)。

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反演失败的原因

1,运动方程

2,地球物理数据

3,介质模型和激发模型

4,上述3方面的总体配合

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地球物理反演研究的方法是对地球数据、模型和约束条件作准确的数学描述的基础上,根据数学物理方程导出在计算机上快速实现的准确稳定算法,以进行某种物理不可实现过程的计算机“仿真”。地球物理反演研究的方法是对地球数据、模型和约束条件作准确的数学描述的基础上,根据数学物理方程导出在计算机上快速实现的准确稳定算法,以进行某种物理不可实现过程的计算机“仿真”。

地球物理反演研究的内容不仅涉及到地球物理学、应用数学,还与信息科学、计算机科学发展有关。

地球物理反演的研究内容和方法

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反演问题和正演问题

目前,人类对地球内部的物理性质以及矿产资源的分布已经有了不同程度的了解。这种知识多数来自于地表地质和地球物理、地球化学资料的反演和解释,而不是来自于钻井。对于地球表层的了解是如此,深层更是如此。

地球物理学是把地球作为研究对象的一门学科。地球物理学中的反演问题就是研究利用地球物理的观测数据去反推描述地球物理模型特征的理论与方法。

反演问题:具体来说,就是有结果及某些一般原理(或模型)出发去确定表征问题特性的参数(或称模型参数)。反演问题是相对于正演问题而存在。

正演问题:就是按事物的一般原理(或模型)以及相关的条件(初条件、边条件)来预测事物的结果。

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地球物理学中的反演理论的目的是根据观测数据求取相应的地球物理模型。地球物理学中的反演理论的目的是根据观测数据求取相应的地球物理模型。

反演理论的任务可以归纳为解决5大问题:

1、解的存在性:即给定一组观测数据后,是否一定存在一个能拟合观测数据的解或模型;

2、模型构制:如果存在性是肯定的,如何求得或构制能拟合观测数据的模型;

3、非唯一性:能拟合观测数据的模型是唯一,还是非唯一的;

4、解的稳定性:当反演问题中的数据稍有变化时其解是否会发生大的变化?

5、结果的评价:如果解是非唯一的,如何才能从构制的模型中提取关于真实模型的地球物理信息。

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反演问题的概念及公式

反演问题的主要内容有三方面:

1、解的适定问题,包括解的存在性、唯一性和稳定性

2、反演问题的求解方法

3、反演问题的解的评价

解的存在性、唯一性与反演问题的数学确定性有关;而解的稳定性则与反演问题的物理确定性以及求解方法对观测数据的处理状况有关。

论证解的存在性有时也是提供解法的过程:对于选定的模型和已知条件,若解存在,那么它是否是唯一解?若不是唯一解,为解决其唯一性,通常应加上附加的约束条件,或增加观测数据,或二者兼而有之。观测数据通常是有误差的,且与测量的状况有关。解的稳定性就是研究当反演问题中的数据稍有变化时其解是否会发生大的变化?若数据的微小变化所引起的解在定义域中的变化也是微小的,则认为解的值连续依赖于数据,问题的解是稳定。若此时解在定义域中的变化很大且不规则,则称问题的解是不稳定的,即为病态。

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反演问题的求解方法

在处理反演问题中,通常我们更关心的是求解方法。由于实际问题的复杂性,有时尽管作过解的存在性与唯一性的验证,但并不等于就有了求解的方法。且在实际应用时,也不强求要先解决适定性才能求解。许多问题都是通过反复的实践与演变,才能建立起比较完整的理论。

反演问题的解的评价

研究解的评价的一系列准则及折衷原则是反演问题的一个重要内容。没有给出解的评价的反演理论是不完全的,且它不同于一般正演问题的误差分析,而是在反演理论中提取真实解信息的重要工具。

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模型构制问题

在模型的构制时,如何处理观测数据和模型参数,有三种不同的观点和方法:

1、把观测数据和模型参数(既可是离散模型,也可以是能用有限个参数表征的连续模型)都看成是随机变量,通过研究它们所遵循的概率分布对观测资料进行反演 。

2、把观测数据作为随机变量,把模型看成是由一些确定参数所决定的。反演的任务就是估算这些待定的参数和误差。

3、视观测数据为随机变量,模型是连续函数,形成一套连续介质的反演理论与方法,这就是著名的B-G反演法。

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反演问题的数学适定性讨论

适定问题:反演问题中,对于允许的数据d的每一个集合,问题的解m存在且唯一,且连续依赖于d,这时,线性偏微分方程问题称为适定问题,或说其解是适定的(well or properly posed problem)。

不适定问题:部分不满足或全不满足上述条件的问题便称作不适定问题(ill or improperly posed problems)。

条件适定问题:实际的反演问题中,观测数据存在误差;在实际使用的计算机中,数的位数也是有限的,其指数传播的误差就可能造成算法的不稳定性;-.-.-.如此诸多原因的每一方面,都造成问题的实际物理内容的确定存在性与相应数学问题的不适定性之间的明显矛盾。为使问题得以解决,只有对问题的解加上适当的附加条件,使问题成为适定的。在数学上面临的问题是在“条件适定”(conditionally well posed)概念下求解不适定问题。

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对反演问题求解,不能强求反演问题的精确解,而应当去寻求那种满足方程但近似满足定解条件,或近似满足方程但精确满足定解条件,或两者都近似满足的解。对反演问题求解,不能强求反演问题的精确解,而应当去寻求那种满足方程但近似满足定解条件,或近似满足方程但精确满足定解条件,或两者都近似满足的解。

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反演问题的解及其评价

对于反演问题的答案(解),人们往往习惯于希望象解正演问题一样得到解的确切数值。但由于反演问题的不适定性,能按这样的方式得到的反问题的精确解甚少,实际得到的是“根据模型设计所期望得到的解的类型与根据已知资料(数据)实际能得到的信息之间的各种各样的折衷解”。不同的折衷方案给出反问题的不同形式的解。

常用的解的形式:

1、模型参数的估算值

2、模型参数的约束值

3、模型参数的加权平均值

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反演理论的局限性

地球物理学中的反演理论的目的是根据数据求取相应的地球物理模型。所以,首先必须确定观测数据和地球模型参数之间的函数关系,使既可以根据给定的模型参数计算相应的观测数据(即实现正演计算),也可以根据观测数据求取地球物理模型的参数,实现反演映射。

正演是反演的前提和条件,只有解决了正演计算,不管是解析方法还是数值方法,才能实现反演映射。但是,在自然界并不是所有的物理问题都已弄清它们的机理而能提出明确的数学模型。如地球起源问题、地震成因问题等,对这类问题,目前反演是无能为力的。这就是反演理论的局限性。

一般来讲,正演问题比较完善,且从认识论方面来看,其因果关系较为明确。而反演问题在实质上是比较困难的,它的多解性一直困扰着人们,致使某些解有时很难解释。反演理论正在发展中,所以用“反演问题”与“反演理论”两术语,意义相同。

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二、线性反演理论与方法

1、反演问题的线性化

常用的两种方法

A、参数代换法:通过参数代换将非线性方程线性化的方法

近震直达波走时表的编制问题

经均匀介质传播的近震直达波,其走时 t 为震中距

的函数,

走时方程为

为波的传播速度,

其中

为震源深度

则有

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B、Taylor级数展开法:

对问题给定一个初始模型m,它与真实模型差异不大,则将模型函数在m处按Taylor级数展开,取一阶项,使方程变换为线性方程。

一般模型

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2、长度法原理

求解线性反演问题的最简单方法是以长度的度量为基础。测量长度可以用不同的度量,若用矢量的模-引入矢量的范数:

范数、 范数、 范数:

对应线性规划、最小二乘法、P范分析

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线性反演理论-参数化模型的最小长度解

给定一组观测数据:

假定观测数据和核函数作如下假设

是没有误差的精确数据

是线性无关的

1, 解是存在的:

2

取决于观测数据,

与观测数据无关

3,反演问题的解是非唯一的,在特殊解上加以任何零化子向量所得到的模型,

都可以拟合观测数据

4,在所有能拟合观测数据的模型中,

范数为最小的模型,必然是

的模型,即“最小模型”。最小模型是能拟合观测数据,

而又无零化空间(由零化子组成的空间)影响的那个模型。

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3、线性反问题的范数极小解与第一类先验假设(紧约束)3、线性反问题的范数极小解与第一类先验假设(紧约束)

a、超定问题的最小二乘解

{观测资料提供了充分的确定模型参数的信息}

b、纯欠定问题的最小长度解

{观测资料没有提供足以确定模型参数的信息}

c、混定问题的阻尼最小二乘解

{虽然有足够多的观测数据,但没能提供足以确定模型参数的独立信息}

d、另一类紧约束条件-等式约束与不等式约束

Fm≥h:线性不等式约束。这一类约束用于必须使

或需要某些边界条件的情况。

≥0

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4、长度的加权度量(宽约束)

在实际反演中,有时要求长度接近于均值意义下的极小解,此时长度定义为:

阻尼最小二乘解属于长度的加权度量法。

5、模型参数解估值的协方差

观测数据有误差给模型参数的估值带来误差

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三、广义反演法

基于广义逆矩阵建立起来的线性反演法叫广义反演法。

所谓广义逆,是矩阵 在常规意义下的逆的推广,用 表示。 是唯一的,它是满足Penros 四个条件的广义逆

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数据分辨率矩阵

用广义反演法解反演问题,不但可以求得一个拟合观测数据的模型m, 而且可以获得一些与观测数据d和模型参数m有关的辅助信息,数据分辨矩阵F(data resolution matrix)或信息密度矩阵(Information density matrix) ,它是模型拟合观测数据好坏程度的标志。

参数分辨率矩阵

参数分辨率矩阵R(parameter resolution matrix)或称模型分辨率

矩阵(model resolution matrix)也是广义反演法获得的另一重要的辅助信息,它是用广义反演法构制的模型与真正地球物理模型接近程度的一种重要标志。

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实验设计

分辨率矩阵F不是观测数据d的函数,而仅仅是数据核G和解反演问题时所附加先验信息的函数。因此,在进行实际观测之前就可以把F计算出来,从而可以根据F的性态选择一组最佳的观测方式,获得一组分辨率最高的观测数据。这就是所谓的实验设计。

参数分辨率矩阵R也不是观测数据d的函数,而仅仅是数据核G和解反演问题时所附加先验信息的函数,它也是实验设计的重要依据。

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四、B-G反演理论

讨论连续介质的反演理论,由G.Backus 和 F.Gilbert在20世纪60年代、70年代建立的。 Backus 和 Gilbert认为,所有可能的地球模型构成了一个无穷维的抽象空间,故描述它的函数将是空间坐标的连续函数。

B-G反演理论包括两大部分:

1、在连续介质情况下,如何处理数量有限而有误差的观测数据,即在

一定的限制条件下,寻找一个解释人员可以接受的最优解。这是模

型构制问题,平常讲的“反演方法”问题。

2、在连续介质情况下,如何处理解的非唯一性,如何从众多的非唯一

的解中提取观测所给予模型的真实信息,它包括模型信息的平均值

,平均值函数 ,以及分辨率 。

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B-G反演理论中的两个部分在反演理论中是两个独立的问题,它们的任务和作用是完全不同的。B-G反演理论中的两个部分在反演理论中是两个独立的问题,它们的任务和作用是完全不同的。

模型构制的任务是需求最优解,用于目标函数,限制条件以及模型构制方法的不同,最优解是不相同的,这就是反演的非唯一性。

而线性评价则是在承认解的非唯一性的条件下,欲从任何一个与真实地球物理模型线性接近的﹑能拟合观测数据的模型中,提取它与真实地球物理模型之间存在的共同的信息。

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B-G反演理论

1)B-G线性评价的信息包括在三个量中,即平均值〈 〉、平均函数 和分辨率 。只有综合分析以上三种信息才可能取得关于 处地球物理模型的真正信息。

2)折中准则:在观测数据有误差的情况下,对反演问题提出既要分辨率高,又要 方差小的要求是不现实的,也是不可能的。

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考虑目标函数:

为折中参数, 分别表示分辨率和方差的加权因子,

计算时,必须根据观测数据方差的大小,选择最佳的 ,使方差和 分辨率符合要求。

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B-G线性反演理论中的模型构制和评价,是既有联系,又不相同的两个独立的问题。B-G线性反演理论中的模型构制和评价,是既有联系,又不相同的两个独立的问题。

它们的任务和在反演理论中的作用也不相同。前者是在一定的限制条件下,寻找一个解释人员可以接受的、最优解。这种最优是有限制条件的,并不一定是在接近真实地球物理模型意义上的最优。换言之,不同的标准、不同的限制条件以及不同的模型构制方法都可能得到不同的最优解;反演问题的解无论如何是非唯一的。

而B-G 线性评价,就是在承认解是非唯一的前提下,欲从任何一个与真实地球物理模型线性接近的、能拟合观测数据的模型中,提取它与真实地球物理模型之间存在的共同的、也即从观测数据中所能提取出来的唯一信息。也就是对构制的模型进行评价。

可见,模型构制和评价是反演过程中的两个不同阶段,前者是后者的基础和前提,后者是前者的继续和深化。

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五、非线性反演问题

大多数地球物理问题都是非线性的问题,对于非线性的问题最好的办法是采用非线性的方法去研究。非线性反演方法可以有效地减少解的非唯一性,尽量避免在反演迭代过程中,陷落目标函数的局部极小,因而可以提高分辨率,增强反演的地质效果。

反演算法:梯度法;试凑法;蒙特卡路法;人工神经网络法;模拟退火法;遗传算法;多尺度反演法MSI;区间算法IA;微粒群算法{粒子群优化算法}PSO等。

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1、梯度法-Gradient method/the steepest descent/the steepest ascent,是一种传统的非线性反演法,它是从一个初始模型出发,沿梯度方向搜索求取目标函数极小点的一种最优化方法。

2、试凑法-尝试法,从一个初始模型出发,反复计算比较,直到找到最合适的模型。

3、蒙特卡路法-赌博法,将反演过程中任何一个阶段,用随机发生器产生模型的方法通称为蒙特卡路法,它可以用来解决高次非线性的、多参数、具有多个局部极小的非线性反演问题。

4、人工神经网络法

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5、模拟退火法(SA)

6、遗传算法(GA)

7、多尺度反演法(MSI)

8、区间算法(IA)

9、微粒群算法{粒子群优化算法}(PSO)

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六、地球物理大地测量(联合)反演理论的应用六、地球物理大地测量(联合)反演理论的应用

利用地震数据和大地测量联合反演地震震源破裂过程

利用地震面波和重力资料联合反演地壳-上地幔三维密度结构

联合变形、地震、地质资料反演研究地壳运动速度场、应变-应力变化率场、应变能密度变化场

利用GPS、水准、重力资料及InSAR资料反演研究活动断裂模式