1. Комбинаторика

1. 1. Комбинаторика Два основных правила комбинаторики: сложения и умножения. 1. Если объект A можно выбрать n способами, а объект B - m способами (не такими, как А), то объект либо A, либо B можно выбратьn+mспособами. 2. Если объект A можно выбрать n способами и, при любом выборе A, объект B можно выбрать m способами, то пару объектов (A, B) можно выбрать nmспособами. Это правило действует также в случаях, когда элементов больше двух.

2. Различие в применении правил: • Правило сложения: выбираем либо А, либо В. • Правило умножения: выбираем и А, и В. • Задача на применение правил: из нечётных цифр составляют все возможные числа, содержащие не более четырёх цифр. Сколько существует таких чисел?

3. Решение: • Всего нечётных цифр пять: 1,3,5,7,9. Значит, однозначных чисел – 5. • Применяем правило умножения: • Двузначных чисел: 5∙5 = 25. Трёхзначных чисел: 5∙5∙5 = 125. Четырёхзначных чисел: 625. Всего можно составить 5+25+125+625=780 чисел.

4. Формулы комбинаторики.

5. ЗАДАЧА:

6. ПЕРЕСТАНОВКИ • Перестановки без повторений —выборки из n элементов по n, которые могут отличаться друг от друга лишь порядком входящих в них элементов. • Число перестановок из n элементов обозначается Р(n). Формула для нахождения количества перестановок без повторений: • Р(n) = n! • Здесь n! – так называемый факториал. . Но: 0!=1

7. ЗАДАЧА: • В среду у шестого класса должно быть семь различных уроков. Сколькими способами можно составить расписание из данных уроков на среду? • РЕШЕНИЕ: • Любое расписание будет состоять из семи уроков, отличаться одно расписание от другого будет только порядков уроков. А значит, мы имеем дело с перестановкой без повторений. • Итак, имеем: 7!= 7∙6∙5∙4∙3∙2∙1=5040 вариантов расписания.

8. СОЧЕТАНИЯ

9. Различия в применении формул: • В случае размещений берётся часть элементов и важно расположение элементов друг относительно друга. • В случае сочетаний берётся часть элементов и не имеет значения расположение элементов друг относительно друга. • В случае перестановок берутся все элементы и изменяется только их местоположение.

10. 2. Теория вероятности.

11. Произведение вероятностей • Произведением событий А и В называется событие АВ, которое наступает тогда и только тогда, когда наступают оба события: А и В одновременно. • Теорема об умножении вероятностей. Вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле:

12. Сложение вероятностей • Суммой событий А и В называется событие А + В, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий: А или В. • Теорема о сложении вероятностей. Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

13. Студент знает 30 из 40 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент знает 2 вопроса, содержащихся в его экзаменационном билете ( в билете 3 вопроса).

14. Противоположные события • Для каждого события В есть противоположное ему событие А , которое наступает тогда, когда не наступает событие В, и наоборот. • Формула вероятности противоположного события: • Р(В) = 1 – Р(А)

15. Вы получаете 6 карт из колоды. Какова вероятность, что среди них есть хотя бы один туз.

16. Формула для объединения событий А и В: Р(А U В)= Р(А) + Р(В) - Р(АВ), где АВ - произведение (пересечение событий). • Задача: Имеется 36 игральных карт. Из колоды наудачу вынимают одну карту. Какова вероятность, что будет вынута или козырная карта, или туз. Запишите ответ, умноженный на 3. • Решение: Пусть событие А заключается в том, что вынута козырная карта, событие • В - вынут "туз". Тогда событие А U B - "вынута или козырная карта, или туз", а событие АВ - "вынут козырной туз". Ясно, что Р(А)=1/4, P(B)=4/36, • P(AB) = 1/36, поэтому по формуле • Р(А U В) = 1/4 + 4/36 - 1/36 = 1/3. 1/3 * 3 = 1. Ответ:1.

17. Задачи на игральные кубики.

18. Задача 2: Игральный кубик подбрасывают дважды. Определите вероятность того, что при двух бросках выпадет разное количество очков. Результат округлите до сотых. • Решение: Всего возможных комбинаций: 6 ∙ 6 = 36.Из них благоприятные исходы можно перечислить:1-й кубик 2-й кубик1 очко 2, 3, 4, 5 или 6 очков. Благоприятных исходов 5. 2 очка 1, 3, 4, 5 или 6 очков. Благоприятных исходов 5. 3 очка 1, 2, 4, 5 или 6 очков. Благоприятных исходов 5. 4 очка 1, 2, 3, 5 или 6 очков. Благоприятных исходов 5. 5 очков 1, 2, 3, 4 или 6 очков. Благоприятных исходов 5. 6 очков 1, 2, 3, 4 или 5 очков. Благоприятных исходов 5. Хотя проще было бы посчитать число неблагоприятных для нас исходов. Когда выпадет одинаковое число очков 1 и 1, 2 и 2, 3 и 3, 4 и 4, 5 и 5, 6 и 6. Таких исходов 6. Всего исходов 36. Тогда благоприятных исходов 36 – 6 = 30. Итак, всего благоприятных исходов 30. Найдем отношение 30/36 = 0,83333… • Ответ. 0,83

19. Задача3: Катя дважды бросает игральный кубик. В сумме у неё выпало 6 очков. Найдите вероятность того, что при одном из бросков выпало 5 очков.

20. 4. В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 16 очков. Результат округлите до сотых. • Первая Вторая Третья Сумма очков • 4 + 6 + 6 = 16 • 6 + 4 + 6 = 16 • 6 + 6 + 4 = 16 • 5 + 5 + 6 = 16 • 5 + 6 + 5 = 16 • 6 + 5 + 5 = 16 • Равновозможных исходов – 6 · 6 · 6 = 216 • Благоприятствующих исходов – 6 • Вероятность события р = 6/216 = 1/36 = 0,277… = 0,28. Ответ: 0,28

21. Задача4: Миша трижды бросает игральный кубик. Какова вероятность того, что три раза выпадут чётные числа?

22. Задачи на бросание монеты.

23. 2. Перед началом футбольного матча судья бросает монету, чтобы определит, какая из команд будет первая владеть мячом. Команда «Меркурий» по очереди играет с командами «Марс», «Юпитер» и «Уран». Найдите вероятность того, что во всех матчах право владеть мячом выиграет команда «Меркурий».

24. 3. В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу. .

25. Задачи из банка задач ЕГЭ и ГИА

26. Задачи из банка Егэ и ГИА • Фабрика выпускает сумки. В среднем на 170 качественных сумок приходится шесть сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых. • Решение. 170 + 6 = 176 - всего сумок. • 170 / 176 = 0,965≈ 0,97 Ответ: 0,97

27. В случайном экспериментебросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 14 очков. Результат округлите до сотых. • . Решение • Всего различных вариантов выпадения очков будет 6*6*6 = 216 • Подсчитаем количество благоприятных исходов, т.е. вариантов, в которых сумма трех кубиков равнялась 14. • 6;6;2 6;2;6 2;6;6 • 5;5;4 5;4;5 4;5;5 • 4;4;6 4;6;4 6;4;4 • 6;5;3 6;3;5 5;6;3 5;3;6 3;5;6 3;6;5 • Всего 15 благоприятных исходов • Вероятность равна 15/216 = 0,06944... ≈ 0,07 • Ответ: 0,07

28. Вероятность попадания в 1-ю группу одного из близнецов 13/26, второго 12/25. • Вероятность попадания обоих (13/26)*(12/25)=0,24 • Групп 2 , поэтому умножаем на 2. • Итого, 0,48.

32. Из колоды в 36 карт наудачу вынимают 3 карты. Найти вероятность того, что среди них окажется хотя бы одна дама. Результат округлите до сотых.

33. Задача1:Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и поэтому набирает её наугад. Определить вероятность того, что ему придётся звонить не более чем в 3 места. • Решение: Вероятность набрать верную цифру из десяти равна по условию 1/10. Рассмотрим следующие случаи: • 1. первый звонок оказался верным, вероятность равна 1/10 (сразу набрана нужная цифра). • 2. первый звонок оказался неверным, а второй - верным, вероятность равна 9/10*1/9=1/10 (первый раз набрана неверная цифра, а второй раз верная из оставшихся девяти цифр). • 3. первый и второй звонки оказались неверными, а третий - верным, вероятность равна 9/10*8/9*1/8=1/10 (аналогично пункту 2). • Всего получаем P=1/10+1/10+1/10=3/10=0,3 - вероятность того, что ему придется звонить не более чем в три места. • Ответ: 0,3

34. Задача :В ящике 5 апельсинов и 4 яблока. Наудачу выбираются 3 фрукта. Какова вероятность, что все три фрукта – апельсины?