1 / 38

RELASI REKURENSI

RELASI REKURENSI. Tim Matematika Diskrit. Barisan yang didefinisikan secara rekursif.

eilis
Download Presentation

RELASI REKURENSI

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. RELASI REKURENSI Tim MatematikaDiskrit

  2. Barisan yang didefinisikansecararekursif Sebuahbarisandapatdinyatakandalambeberapacara.- denganmenuliskanbeberapasukupertamabarisanitumisalnya: 3, 5, 7, …- menyatakanbarisandalamrumuseksplisitdalamsuku-sukunyamisalnya: an = 2n + 1- menyatakanbarisansecararekursifsuatubarisandinyatakansecararekursifjikakondisiawalbarisanditentukan, dansuku-sukubarisanselanjutnyadinyatakandalamhubungannyadengansejumlahsuku-suku yang sudahdinyatakansebelumnyamisalnya: ak = ak-1 + 2 (relasirekurensi) dan a0 = 3 (kondisiawal)

  3. Contoh 1. Suatubarisan c0, c1, c2, … didefinisikansecararekursifsbb: Untuksemuabilanganbulat k ≥ 2, ck = ck-1 + k ck-2 + 1 Dengankondisiawal: c0 = 1 dan c1 = 2. Hitunglah c5. Penyelesaian: Karenabarisandidefinisikansecararekursif, maka c5tidakbisadihitungsecaralangsung, tetapiharusterlebihdahulumenghitung c2, c3, dan c4. c2 = c1 + 2 c0 + 1 = 2 + 2.1 + 1 = 5 c3 = c2 + 3 c1 + 1 = 5 + 3.2 + 1 = 12 c4 = c3 + 4 c2 + 1 = 12 + 4.5 + 1 = 33 c5 = c4 + 5 c3 + 1 = 33 + 5.12 + 1 = 94 Jadi c5 = 94

  4. Contoh 2. Misalkan a1, a2, …; b1, b2, … dan c1, c2, … adalah 3 barisan yang semuanyamemenuhirelasirekurensi: Nilaisuatusukusamadengan 3 kali nilaisukusebelumnya. Jadiak = 3 ak-1; bk = 3 bk-1; ck = 3 ck-1 Tetapikondisiawalketigabarisantersebutberbeda: a1 = 0; b1 = 1; c1 = 2 Nyatakanbarisan-barisantersebutdengancaramenuliskanbeberapasukuawalbarisantersebut! Apakahketiganyamerupakanbarisan yang sama? Penyelesaian: Barisanaiadalah: 0, 0, 0, … Barisan biadalah: 3, 9, 27, … Barisan ciadalah: 6, 18, 54, … Tampakbahwaketigabarisantersebutberbeda

  5. Contoh 3. (Bilangan Fibonacci) Padatahun 1202, Leonardo of Pisa yang dikenaldengan Fibonacci mengemukakanmasalahsbb: Misalkanmula-mulaadasepasangkelinci (jantandanbetina) yang barulahir. Setiapbulan, kelinci-kelinci yang sudahberumur 2 bulanakanberanak 2 ekorkelinci (jantandanbetina). Carilahbanyaknyakelincisetelah 12 bulan (dansecaraumumsetelah n bulan) Penyelesaian: Padabulan ke-0, ada 1 pasangkelinci (sebutpasangan A) Padabulan ke-1, tetapmasihada 1 pasangkelinci (A) karenabelucukupumuruntukberanak Padabulan ke-2, pasangan A mempunyaisepasanganak (sebutpasangan B). Jadi total ada 2 pasangkelinci. Padabulan ke-3, pasangan A mempunyaisepasanganaklagi (sebutpasangan C), tetapipasangan B belumpunyaanakkrnbelumcukupumur. Total 3 pasang. Padabulan ke-4, pasangan A mempunyaisepasanganaklagi (sebutpasangan D), pasangan B jugamempunyaisepasanganak (sebutpasangan E). Total 5 pasangkelinci). Dan seterusnya …

  6. Anakkelinci yang lahirpadatiapbulanke - dinyatakandalamtabelsbb:

  7. MisalkanFnmenyatakanbanyakpasangankelinci yang hiduppadabulanke-n (n ≥ 0) Maka: F0 = 1, F1 = 1, F2 = 2, F3 = 3, F4 = 5, … Fnterbentukdari 2 halyaitu: Fn-1pasangkelincidaribulansebelumnyaditambahdenganjumlahpasangananak yang dilahirkan. Karenakelinci yang mempunyaianakadalah yang berumur minimal 2 bulan, makajumlahpasanganak yang diperolehsamadenganjumlahkelincipada 2 bulansebelumnyayaitu Fn-2. MakadidapatrelasiFn = Fn-1 + Fn-2dengan F0 = 1; F1 = 1. Relasiinidikenaldenganrelasi Fibonacci. Fi yang terbetukdisebutBilangan Fibonacci.

  8. Contoh 4. (Menara Hanoi) Padatahun 1883, seorangahlimatematikaPerancisbernamaEdouard Lucas mengemukakansuatuteka-tekisbb: Menurutlegenda, adasebuahkuilBudha yang di dalamnyaterdapat 3 tiangberdiameterkecilterbuatdaripermata. Padawaktuduniadiciptakan, Tuhanmenciptakan 64 buahcakramdenganukuranberbeda-bedapadasalahsatutiang. Cakram-cakramtesebutditumpuksatu di atas yang lain, sedemikianhinggasemakinkeatas, diameter cakramsemakinmengecil. Biksu-biksukuiltersebutberusahamemindahkancakramsatu demi satudarisatutiangketiang lain, sehinggasemuacakramberpindahdaritiang A ketiang C. Syaratnya: pemindahanhanyabolehdilakukansatupersatu, danpadasetiapkeadaan, cakramdengan diameter yang lebihkecilharusberada di atascakramdengan diameter yang lebihbesar.

  9. Menurutlegenda, setelahpemindahantersebutselesai, makatiang, cakram, dansemua yang adaakanhancurmenjadidebu. Bersamaandenganitu, akanterdengarhalilintar yang menggelegardanduniaakanhilang (kiamat). Misalkanbiksu-biksutersebutdapatmemindahkansebuahcakramdalamsatudetik, berapa lama duniaakankiamatsejakdiciptakan? Penyelesaian: Suatucarapenyelesaian yang efisienadalahsecararekursif. Misalkankitatahutentangmemindahkan (k-1) cakramdaritiangketiang lain. Makacara paling efisienuntukmemindahkan k cakramdaritiang A ketiang C adalahsbb:

  10. Langkah 1. pindahkan (k-1) buahcakramdaritiang A ketiang B. Jika k > 2, eksekusilangkahinimemerlukansejumlah proses untukmemindahkancakramsatu per satu. Langkah 2. pindahkancakram yang terletak paling bawahdaritiang A ketiang C. Langkah 3. pindahkan (k-1) buahcakramdaritiang B ketiang C. sepertilangkah 1, jika k > 2, langkah 3 jugamemerlukansejumlah proses di dalamnya. Misalkanmn = jumlahlangkah minimal untukmemindahkan n buahcakramdarisatutiangketiang lain. Perhatikanbahwamntidakdipengaruhiolehasaldantujuantiang. mnjugatidaktergantungdaribanyaknyacakram yang terletak di bawah n buahcakram yang dipindahtersebut.

  11. Langkah 1 memerlukan mk-1 kali perpindahan. Langkah 2 memerlukan 1 kali perpindahan. Langkah 3 memerlukan mk-1 kali perpindahan. Jadijumlahkeseluruhanperpindahan minimal adalah: mk = mk-1 + 1 + mk-1 = 2mk-1 + 1 Kondisiawalterjadijika k = 1 Diperolehpersamaanrekursif m1, m2, …, sbb: mk = 2 mk-1 + 1 (relasirekurensi) m1 = 1 (kondisiawal) Makauntukmemindahkan: 2 cakram, dibutuhkan m2 = 2 m1 + 1 = 2.1 + 1 = 3 langkah 3 cakram, dibutuhkan m3 = 2 m2 + 1 = 2.3 + 1 = 7 langkah 4 cakram, dibutuhkan m4 = 2 m3 + 1 = 2.7 + 1 = 15 langkah, dst 64 cakram, dibutuhkan m64 = … = 1,844674.1019detik≈ 5.84542.1011tahun

  12. Contoh 5. (Perhitunganbunga bank) Jikakitamenyimpanuang di bank, biasanya bank memberikanbunga yang dihitung per tahun, misali. Jikabungadiberikan per periodetertentudandalamsatutahunada m kali periode, makabesarnyabunga per periode = i/m. Sebagaicontoh, suatu bank memberikanbunga 12% = 0,12 per tahundanbungadiberikansecarabulanan. Makabesarnyabunga per bulan = 0,12/12 = 0,01. Untuktiapbilanganpositif k ≥ 1, misalkan: Pk = jumlahtabunganpadaakhirperiodeke-k (tanpaadatransaksi). NyatakanPksehinggarelasirekurensisuku-sukusebelumnya!

  13. Penyelesaian: Besarnyabungaselamaperiodeke-k adalahjumlahtabunganpadaakhirperiodeke (k-1) dikalikandenganbungauntukperiodetersebut. Jadi, bungaselamaperiodeke-k adalah (Pk-1) (i/m). Jumlahuangtabunganpadaakhirperiodeke-k (=Pk) didapatdengancaramenjumlahkanuangtabunganpadaakhirperiodeke(k-1) (=Pk-1) denganbungan yang didapatselamaperiodeke-k tersebut. Makajumlahuangtabunganpadaakhirperiodeke-k adalah: Pk = Pk-1 + Pk-1 (i/m) = Pk-1 (1 + i/m) Kondisiawal (P0) adalahjumlahuangtabunganmula-mula.

  14. PenyelesaianRelasiRekurensidenganIterasi Prinsipnya: dihitungsuku-sukubarisansecaraberurutanterusmenerussehinggadiperolehsuatupolatertentu.Misalnya:

  15. Contoh 6. Misalkan a0, a1, a2, …, barisan yang didefinisikansecararekursifsbb: Untuksemuabilanganbulat k ≥ 1, ak = ak-1 + 2 (relasirekurensi), a0 = 1 (kondisiawal) Carilahrumuseksplisitbarisantersebutdenganmetodeiterasi. Penyelesaian: ak = ak-1 + 2 = (ak-2) + 2 = ak-2 + 2.2 = (ak-3) + 2.2 = ak-3 + 3.2 = (ak-4) + 3.2 = ak-4 + 4.2 Sesuaipola, terlihatbahwaak = ak-k + k.2 = a0 + 2.k Karena a0 = 1 makapenyelesaianpersamaanrekursifadalahak = 1 + 2k. Jikadiselesaikandengancaramenaik: a1 = a0 + 2 a2 = a1 + 2 = (a0 + 2) + 2 = a0 + 2.2 a3 = a2 + 2 = (a0 + 2 + 2) + 2 = a0 + 3.2 … ak = a0 + k.2 = 1 + 2k

  16. Contoh 7. Carilahrumuseksplisitbarisan m1, m2, … yang menyatakanmasalahmenara Hanoi. mk= 2 mk-1 + 1 untukbilanganbulat k ≥ 2 m1 = 1 Penyelesaian: mk = 2 mk-1 + 1 = 2 (2mk-2 + 1) + 1 = 22 mk-2 + 2.1 + 1 = 22 (2mk-3 + 1) + 2.1 + 1 = 23 mk-3 + 22.1 + 2.1 + 1 = 23 (2mk-4 + 1) + 22.1 + 2.1 + 1 = 24 mk-4 + 23.1 + 22.1 + 2.1 + 1 = … = 2k-1mk-(k-1) + 2k-2.1 + … + 23.1 + 22.1 + 21 + 1 = 2k-1 m1 + 2k-2 + … + 23 + 22 + 21 + 1 Karena m1 = 1 maka: mk = 2k-1 + 2k-2 + 2k-3 + … + 23 + 22 + 21 + 1 mkmerupakanderetgeometridengan r = 2 yang besarnya = 2k -1 Jadimk = 2k -1 untukbilanganbulat k ≥ 1

  17. Contoh 8. MisalkanKnadalahgrafdengan n buahtitikdansetiappasangtitikdihubungkandengansebuahgaris (Graf Lengkap). JikaSnmenyatakanjumlahgarisdalamKn, maka: a. BuktikanbahwaSnmemenuhirelasirekurensiSn = Sn-1 + (n-1) dankondisiawal S1 = 0 b. SelesaikanrelasirekurensiSntersebut. Penyelesaian: a. Knuntuk n = 1, 2, 3, 4, dan 5 K1 K2 K3 K4 K5

  18. Banyaknyagarisdalam K4adalahbanyaknyagaris K3 ditambahdenganbanyaknyagarisbaru yang harusdibuatakibatpenambahansatubuahtitik. Banyaknyagarisbaru yang ditambahkanpada K4samadenganbanyaknyatitikpada K3. Jadi S4 = S3 + 3. Secaraumum: Sn = Sn-1 + (n-1) Kondisiawal S1 = 0 jelasbenarkarenatidakmungkinmembuatgarisdarisatubuahtitik. b. Sn = Sn-1 + (n-1) = (Sn-2 + (n-2)) + (n-1) = Sn-2 + (n-2) + (n-1) = (Sn-3 + (n-3)) + (n-2) + (n-1) = Sn-3 + (n-3) + (n-2) + (n-1) = … = Sn-(n-1) + (n-(n-1)) + …+ (n-3) + (n-2) + (n-1) = S1 + 1 + 2 + … + (n-2) + (n-1) Karena S1 = 0 maka Sn = 1 + 2 + … + (n-2) + (n-1) = ½ n (n-1)

  19. Contoh 9. Buktikanbahwarumuseksplisit yang didapatpadacontoh 8 merupakanrumus yang benar. Penyelesaian: Dari contoh 8 didapatSn = ½ n (n-1) Akan dibuktikankebenaranrumustersebutdenganinduksimatematika. Basis: Akan dibuktikankebenaranrumusuntuk n = 1. Menurutrumus, untuk n = 1, S1 = ½ 1 (1-1) = 0 Menurutkondisiawal, S1 = 0. jaditerbuktirumusbenaruntuk n = 0. Induksi: Misalkanrumusbenaruntuk n = k. JadiSk = ½ k (k-1) Menurutpersamaanrekurensiuntuk n = k + 1, Sk+1 = S(k+1)-1 + ((k+1) -1) = Sk + (k) = ½ k (k-1) + k (hipotesainduk) = ½ k (k+1) = ½ (k+1) ((k+1)-1) Terbuktirumusbenaruntuk n = k + 1 JadirumuseksplisituntukSnbenaruntuk n ≥ 1.

  20. PenyelesaianRelasiRekurensilewatPersamaanKarakteristik Suatucarapenyelesaianrelasirekurensi yang dapatmenentukanrumuseksplisitdenganpastiadalahmelaluipersamaankarakteristik.a. RelasiRekurensi Linier denganKoefisienKonstanMisalkan n dan k adalahbilangan-bilanganbulattidaknegatifdengan n ≥ k. Relasirekurensi linier derajat k adalahrelasiberbentuk: c0(n) an + c1(n) an-1 + … + ck(n) an-k = f(n), c0(n) danck(n) ≠ 0Jika c0(n), c1(n), …, ck(n) semuanyakonstanta, makarelasirekurensidisebutrelasirekurensi linier dengankoefisienkonstan.Jadirelasirekurensi linier dengankoefisienkonstanadalah: c0 an + c1 an-1 + … + ck an-k = f(n)Apabiladalampersamaantersebut, f(n) = 0, makadisebutrelasirekurensihomogen linier dengankoefisienkonstan.

  21. Contoh 10. Tentukanapakahpersamaan di bawahinimerupakanrelasirekurensi linier, linier dengankoefisienkonstanatauhomogen linier dengankoefisienkonstan. Jikademikiantentukanderajatnya! a. an – 7 an-1 + 10 an-2 = 0 b. bk = bk-1 + bk-2 + bk-3 c. ck = 2 ck-2 d. dk = dk-12 + dk-2 e. ek = ek-1.ek-2 f. fk – 2 fk-1 + 1 =0 g. hk = -hk-1 + (k-1) hk-2

  22. Penyelesaian: a. Relasirekurensihomogen linier dengankoefisienkonstan derajat 2. b. Relasi (b) dapatdinyatakandenganbk – bk-1 – bk-2 – bk-3 = 0, yang merupakanrelasirekurensihomogen linier dengan koefisienkonstanderajat 3. c. Relasirekurensihomogen linier dengankoefisienkonstanderajat 2. d. Bukanrelasirekurensi linier karenamemuatsukukuadratis dk-12. e. Bukanrelasirekurensi linier karenamemuatpergandaansuku (ek-1.ek-2) f. Relasirekurensi linier dengankoefisienkonstanderajat 1 (f(n) = -1) g. Relasirekurensi linier denganderajat 2 (koefisientidakkonstan)

  23. b.RelasiRekurensiHomogen Linier denganKoefisienKonstan Misalkandiberikansuaturelasirekurensihomogen linier dengankoefisienkonstan: an + c1 an-1 + … + ck an-k = 0, ck≠ 0 dan n ≥ kPersamaankarakteristik yang sesuaidenganrelasirekurensitsbadalah:tk + c1 tk-1 + … + ck = 0 Misalkanα1, α2, …, αkadalahakar-akarpersamaankarakteristik di atas. Ada 2 kemungkinanakar:1. SemuaakarberbedaJikasemuaakarpersamaankarakteristikberbeda, makarelasirekurensimempunyaipenyelesaian: an = c1α1n + c2α2n + … + ckαkn, dengan c1, c2, … , ckadalahkonstanta yang nilainyaditentukanberdasarkankondisiawal.2. Ada akar yang kembar.Misalkanpersamaankarakteristiktsbmempunyai p buahakar yang sama.Jadiakar-akarnyaadalah: α1 = α2 = … = αp, αp+1, …, αk. Makapenyelesaianrelasirekurensitsb: an = (c1 + c2n +…+ cpnp-1) α1n + cp+1 αp+1n + … + ckαkn, c1, c2, … , ckkonstantayang nilainyaditentukanberdasarkankondisiawal.

  24. Contoh 11. Selesaikanrelasirekurensi di bawahinilewatpersamaankarakteristiknya: a. an = 3 an-1 + 4 an-2untuk n ≥ 2 dengankondisiawal a0 = 1 dan a1 = 3. b. an – 3 an-1 + 3 an-2 – an-3 = 0 untuk n ≥ 3 dengankondisiawal a0 = 1; a1 = 2 dan a2 = 4 c. an – 7 an-1 + 16 an-2 – 12 an-3 = 0 untuk n ≥ 3 dengankondisi awal a0 = 1; a1 = 4 dan a2 = 8

  25. Penyelesaian: a. Relasirekurensian- 3 an-1 + 4 an-2= 0, merupakanrelasirekurensihomogen linier dengankoefisienkonstan. Persamaankarakteristik yang sesuaiadalah t2 – 3t – 4 = (t-4)(t+1) = 0 yang mempunyaiakar-akarkarakteristikα1 = 4 danα2 = -1. karenasemuaakar-akarnyaberbeda, makapenyelesaiannyaadalah: an = c1 4n + c2 (-1)n Untukmenentukan c1dan c2, digunakankondisiawal: a0 = 1 sehingga 1 = c1 (4)0 + c2 (-1)0 = c1 + c2 a1 = 3 sehingga 3 = c1 (4)1 + c2 (-1)1 = 4 c1 – c2 Didapatsistempersamaan linier c1 + c2 = 1 dan 4c1 – c2 = 3 yang mempunyaipenyelesaian c1 = 4/5 dan c2 = 1/5 Makapenyelesaianrelasirekurensian - 3 an-1 + 4 an-2 = 0 adalah an = 4/5 (4)n + 1/5 (-1)n

  26. Contoh 12. Suatutaruhandilakukandengancaramelemparkoinseimbang. SeorangpenjudimempertaruhkanRp 1.000,- dalamsetiap kali permainan. Jika yang munculadalahgambarmakaiamenangRp 1.000,- dansebaliknya, iaakankalahRp 1.000,- jika yang munculadalahangka. Penjuditersebutakanberhentibermainjikaiakehabisanuang, atauiamenangRp M (dalamribuan). M adalahbilanganbulatpositif yang besarnyaditentukansebelumiamulaiberjudi. MisalkanPnadalahprobabilitaspenjudiakankehabisanuangjikasebelumberjudiiamembawauangsebanyakRp n (dalamribuan) a. CarilahrumuseksplisituntukPn b. Bagaimanapenjudiharusmenentukan M untukmeminimumkan kemungkinankehabisanuang?

  27. Penyelesaian: a. Jikasuatukoinseimbangdilemparkan, makakemungkinanmunculnyaangkasamadengankemungkinanmunculnyagambar P(angka) = P(gambar) = ½ Iniberartibahwakemungkinanmenang (gambar) dankalah (angka) jugasama. Jikapenjudimempunyai (k-1) ribu, makasetelah 1 kali permainan, ada 2 kemungkinanjumlahuang yang dimilikipenjuditersebut: 1. Uang yang dimiliki = (k) ribu. Initerjadikalaupenjuditersebutmenang/munculgambar. Jikademikian, makakemungkinaniakehabisanuang = Pk. 2. Uang yang dimiliki = (k-2) ribu. Initerjadikalaupenjuditersebutkalah/munculangka. Jikademikianmakakemungkinaniakehabisanuangadalah Pk-2.

  28. Untukkeduakasustsb, kemungkinanterjadinyasama, yaitu= ½. Didapatrelasirekurensi Pk-1 = ½ Pk + ½ Pk-2; 2 ≤ k ≤ M. DidapatPk – 2Pk-1 + Pk-2 = 0 Persamaankarakteristik yang sesuai t2 – 2t + 1 = 0 yang mempunyaiakarkembarα1 = α2 = 1. PenyelesaianrelasirekurensiadalahPn = (c1 + c2n) 1n = c1 + c2n Kondisiawal: Untuk n = 0, probabilitasiaakankehabisanuang = 1. Jadi P0 = 1. Untuk n = M, probabilitasiaakankehabisanuang = 0 karenajikauangnya = M, iaakanberhentiberjudisehinggatidakakankehabisanuang. Jadi PM = 0.

  29. Denganmemasukkankondisi-kondisiawal in kerelasirekurensi, didapat: 1 = c1 + c2(0) atau c1 = 1 0 = c1 + c2 M = 1 + c2 M sehingga c2 = -1/M Relasirekurensi yang sesuaiadalah: Pn = 1 – n/M untuksembarangbilanganbulat n dengan 0 ≤ n ≤ M. selanjutnyadibuktikandenganinduksimatematika. b. Agar penjudikehabisanuang (Pn = 1), maka n/M haruslah = 0. initerjadikalau M sangatbesar. Semakinbesar target kemenangan yang dicapaisupayaiaberhentiberjudi (M), semakinbesarkemungkinannyaiaakankehabisanuang (Pn = 1). Jadiuntukmeminimumkankemungkinankehabisanuang, M harusdibuatsedekat-dekatnyadengan n (uang yang dimilikisebelumiamulaiberjudi).

  30. c. Penyelesaian Total Penyelesaian total relasirekurensi linier (tidakhomogen) dengankoefisienkonstanadalahgabungandaripenyelesaianhomogendanpenyelesaiankhusus. Kesulitanutamamencaripenyelesaiankhususadalahtidakadanyametode yang pastiuntukmenentukannya. Yang dapatdilakukanhanyalahmemperkirakanbentukumumnya. Metodeperkiraantersebutdikenaldengannamakoefisientaktentu (Undetermined Coefficients).Misalkan an + c1 an-1 + … + ck an-k = f(n) adalahrelasirekurensi linier dengankoefisienkonstan. Misalkanjuga c(t) = tk + c1 tk-1 + … + ckadalahpersamaankarakteristik yang sesuai. Untukbeberapajenisfungsi f(n), polaperkiraanpenyelesaiankhusus yang sesuaidapatdilihatdalamtabelsbb: (P, P0, P1, …, Psadalahkoefisien yang harusdicari)

  31. Contoh 13. Carilahpenyelesaian total relasirekurensi di bawahini: a. an – 7 an-1 + 10 an-2 = 4nuntuk n ≥ 2 dengankondisiawal a0 = 8 dan a1 = 36 b. an – 7 an-1 + 10 an-2 = 7.3n + 4nuntukn ≥ 2 c. an – 4 an-1 + 4 an-2 = 2nuntuk n ≥ 2 d. an – 5 an-1 + 6 an-2 = n2 4nuntuk n ≥ 2 e. an – 2 an-1 + an-2 = 5 + 3n untuk n ≥ 2

  32. a. Relasirekurensihomogennyaadalahan – 7 an-1 + 10 an-2 = 0 Persamaankarakteristiknya t2 – 7t + 10 = 0 denganakar-akarkarakteristiknyaadalahα1 = 2, α2= 5. Penyelesaianhomogen an = c1 2n + c5 5n Karena f(n) = 4ndan 4 bukanakarkarakteristik, makauntukmencaripenyelesaiankhususdicobabentukank = P (4)n. Penyelesaiankhususinidisubstitusikankerelasirekurensiawal. Didapat: P 4n – 7 (P 4n-1) + 10 (P 4n-2) = 4n P 4n-2 (42 – 7.4 + 10) = 4n P = -8 Penyelesaiankhususank = -8 (4)n Penyelesaian total = penyelesaianhomgen + penyelesaiankhusus an = c1.2n + c2.5n – 8(4)n

  33. Untukmencariharga c1dan c2, digunakankondisiawal yang diberikan: a0 = 8 sehingga c1(2)0 + c2(5)0 – 8(4)0 8 = c1 + c2 – 8 16 = c1 + c2 a1 = 36 sehingga 36 = c1(2)1 + c2(5)1 – 8(4)1 36 = 2c1 + 5c2 – 32 68 = 2c1 + 5c2 Didapatsistempersamaan linier c1 + c2 = 16 dan 2c1 + 5c2 = 68 Yang biladiselesaikanakanmenghasilkan c1 = 4 dan c2 = 12. Jadipenyelesaianrelasirekurensimula-mulaadalah an = 4(2)n + 12(5)n – 8(4)n

  34. RelasiRekursifdalamIlmuKomputer Dalampemrogramankomputer, relasirekurensidapatdiselesaikandengan 3 cara:1. Mengubahrelasirekurensimenjadirumuseksplisit. Nilaisukubarisanke-n (an) dapatdihitungsecaralangsung. Contoh: ak = ak-1 + 2 dengan a0 = 1Rumuseksplisit yang bersesuaiandenganrelasitsbadalahak = 1 + 2k.Untukmencarisukubarisanke-n (an), yang harusdilakukanadalahmembacaharga n danmembuatstatemenpenugasan an = 1 + 2n

  35. 2. Menggunakanstrukturperulangan (looping). Contoh: untukmenghitungsukuke-n barisan Fibonacci yang memenuhirelasiFn = Fn-1 + Fn-2dengan F0 = 1 dan F1 = 1, makadibuatstruktur program sbb: Depan := 1 Tengah := 1 For i := 2 to n Akhir := Depan + Tengah Depan := Tengah Tengah := Akhir {end For} Write (Akhir)

  36. 3. Menggunakanprosedurataufungsi yang dipanggilsecararekursif. Merupakanimplementasi proses rekursif yang sesungguhnyadalamkomputer. Relasirekursif an dibuatdalamsuatuprosedur/fungsidengan n sebagaisalahsatuparameternya. Fungsi/prosedurinisecararekursifmemanggildirinyasendiridengannilai parameter yang menurun. Jikabarisan Fibonacci diselesaikandengancaraini, makaprogramnyaadalah (dalamstrukturpascal) sbb: Function Fib (n : Integer) : Integer; Begin If ((n=0) or (n=1)) Then Fib := 1 Else Fib := Fib (n-1) + Fib (n-2) End;

  37. LATIHAN Dari buku

More Related