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立体几何复习课件 江苏省宝应安宜高级中学. 体积面积问题. 平行问题. 立几概念和方法. 垂直问题. 动态的立体几何. 角度问题. 正方体的截面问题. 距离问题. 三棱柱的体积分割. 柱锥问题. 多面体与球的问题. 综合问题. 生活问题和翻折问题. 返回. 平行问题. 返回. 例: 有以下四个命题: ① 若一条直线与另一条直线平行,则它就与经过另一条直线的平面平行; ② 若一条直线垂直于一个平面的一条垂线,则此直线平行于这个平面;

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- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
slide1

立体几何复习课件

江苏省宝应安宜高级中学

slide2

体积面积问题

平行问题

立几概念和方法

垂直问题

动态的立体几何

角度问题

正方体的截面问题

距离问题

三棱柱的体积分割

柱锥问题

多面体与球的问题

综合问题

生活问题和翻折问题

slide3

返回

平行问题

slide4

返回

例: 有以下四个命题:

① 若一条直线与另一条直线平行,则它就与经过另一条直线的平面平行;

② 若一条直线垂直于一个平面的一条垂线,则此直线平行于这个平面;

③ 若一条直线和一个平面内的两条直线都垂直,则此直线必垂直于这个平面;

④ 平面内两条平行直线,若其中一条直线与一个平面平行,则另一条直线也与这个平面平行. 其中正确命题的个数是( ).

A.0 B.1 C.2 D.3

slide5

返回

解:① 不正确,若一条直线与另一条直线平行,则这条直线可能与经过另一条直线的平面平行,也可能在平面内;

② 不正确,与①相仿,若一条直线垂直于一个平面的一条垂线,则此直线可能平行于这个平面,也可能在平面内;

slide6

返回

③ 不正确,若一条直线和一个平面内的两条直线都垂直,如果在平面内的两条直线平行,则无法判断直线是否垂直于这个平面;

④ 不正确,与①②相仿,该直线仍有可能在平面内。

所以四个命题都是错误的,选A。

slide7

返回

2. 如图,设AB、CD为夹在两个平行平面 、 之间

的线段,且直线AB、CD为异面直线,M、P 分别为AB、CD 的中点,

求证: 直线MP // 平面 .

slide9

返回

例:如图,在四面体SABC中,∠ASC=90°,∠ASB=∠BSC=60°,SA=SB=SC,

求证:平面ASC⊥平面ABC。

slide10

证明:容易证得AB=BC=SB,取AC中点D,连SD、BD,得SD⊥AC,BD⊥AC,证明:容易证得AB=BC=SB,取AC中点D,连SD、BD,得SD⊥AC,BD⊥AC,

由∠ASC=90°,设SA=SB=SC=a,

解得SD= a,BD= a,

而SB=a, ∴∠SDB=90°,

∴平面ASC⊥平面ABC。

返回

slide12

返回

一、概念

直线a、b是异面直线,经过空间任意一点o,作直线a’、b’,并使a’//a,b’//b,我们把直线a’和b’所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角。

slide13

.

o

返回

O是空间中的任意一点

点o常取在两条异面直线中的一条上

θ

b

o

o

o

o

o

α

a

slide14

平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角,特别地,若Lᅩα则L与α所成的角是直角,若L//α或 L α,则L与α所成的角是0º的角。

返回

一、概念

直线a、b是异面直线,经过空间任意一点o,作直线a’、b’,并使a’//a,b’//b,我们把直线a’和b’所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角。

slide15

L

o

返回

A

θ

B

α

slide16

平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角,特别地,若Lᅩα则L与α所成的角是直角,若L//α或 L α,则L与α所成的角是的角。

L

A

θ

o

B

α

返回

一、概念

直线a、b是异面直线,经过空间任意一点o,作直线a’、b’,并使a’//a,b’//b,我们把直线a’和b’所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角。

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。

slide17

α

L

β

返回

A

B

O

slide18

平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角,特别地,若Lᅩα则L与α所成的角是直角,若L//α或 Lα,则L与α所成的角是的角。

L

A

θ

o

B

α

返回

一、概念

直线a、b是异面直线,经过空间任意一点o,作直线a’、b’,并使a’//a,b’//b,我们把直线a’和b’所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角。

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。

A

α

B

O

L

β

slide19
二、数学思想、方法、步骤:

平移 构造可解三角形

找(或作)射影 构造可解三角形

找(或作)其平面角 构造可解三角形

返回

1.数学思想:

解决空间角的问题涉及的数学思想主要是化归与转化,即把空间的角转化为平面的角,进而转化为三角形的内角,然后通过解三角形求得。

2.方法:

a.求异面直线所成的角:

b.求直线与平面所成的角:

c.求二面角的大小:

3.步骤:

② 证

③ 点

④ 算

①作(找)

slide20

D1

C1

A1

B1

G

E

D

C

A

B

F

返回

1. 在正方体AC1中,E、G分别是AA1和

CC1的中点, F在AB上,且C1E⊥EF,

则EF与GD所成的角的大小为( )

(A) 30° (B) 45° (C) 60°(D) 90°

D

EB1是EC1在平面AB1

内的射影

EB1 ⊥EF

DG∥AM∥EB1

EF⊥DG

M

slide21

连结

FG ,A1G, A1G与AE交于O

A1D1

FG

AD又

AD

A1D1

FG

四边形A1GFD1

为平行四边形

A1G

D1F

A1G与AE所成的锐角(或直角)

就是AE与D1F所成的角。

E是BB1

的中点

G

R

t

A1AG

ABE

GA1A= GAO

AOG=90

即直线AE与D1F所成的角为直角。

返回

例1:如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是BB1 、CD中点。求AE与D1F所成的角。

D1

C1

解:如图,取AB的中点G,

(作)

A1

B1

F

D

(证)

C

E

O

(点)

A

B

(算)

slide22

返回

例2、长方体ABCD-A' B'C' D'中, AB=BC=4, AA' =6, E、F分别为BB'、CC'的中点, 求AE、BF所成角的余弦值.

slide23

返回

例3:长方体ABCD-A1B1C1D1,AB=AA1=2 cm, AD=1cm,求异面直线A1C1与BD1所成角的余弦值。

slide24

如图,连B1D1与A1C1 交于O1,

解:

D

C

1

1

A

B

1

1

D

C

A

B

返回

取BB1的中点M,连O1M,则O1MD1B,

于是A1O1M就是异面直线A1C1与BD1所成的角(或其补角)

为什么?

O1

M

slide25

D

C

1

F1

1

A

E1

B

1

1

F

D

C

E

A

B

返回

解法二:

补形法

方法归纳:

把空间图形补成熟悉的或完整的几何体,如正方体、长方体等,其目的在于易于发现两条异面直线的关系。

slide26

D

C

1

F1

1

A

E1

B

1

1

F

D

C

E

A

B

返回

解法二:

如图,补一个与原长方体全等的并与原长方体有公共面

BC1的长方体B1F,

连结A1E,C1E,则A1C1E为A1C1与BD1所成的角(或补角),

在A1C1E中,

由余弦定理得

A1C1与BD1所成角的余弦值为

把空间图形补成熟悉的或完整的几何体,如正方体、长方体等,其目的在于易于发现两条异面直线的关系。

方法归纳:

补形法

slide27

解:在图形中,将AC平行移动到A1C1,再连接A1B,则△A1BC1是一个等边三角形,A1C1与BC1所成的角为60°,所以AC与BC1所成角的大小也是60°,选C.解:在图形中,将AC平行移动到A1C1,再连接A1B,则△A1BC1是一个等边三角形,A1C1与BC1所成的角为60°,所以AC与BC1所成角的大小也是60°,选C.

返回

例: 如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,异面直线AC与BC1所成角的大小是( ).

A.30° B.45° C.60° D.90°

slide28

返回

例: 如图,正三棱锥S-ABC的侧棱与底面边长相等,如果E、F分别为SC、 AB的中点,那么异面直线EF与SA所成角等于( ) A.90° B.60° C.45° D.30°

slide29

返回

解:取AC的中点G,连接EG、FG,

∵ EG//SA,∴ ∠GEF是异面直线EF与SA所成角,又FG//BC,SA⊥BC,

∴ ∠EGF=90°,

△EGF是直角三角形,又EG=SA,FG=BC,

∴ EG=FG,△EGF是等腰直角三角形,

∴ ∠GEF=45°,选C.

slide30

B1

C1

B1

A1

C1

D1

A1

D1

D

C

O

D

A

B

C

O

A

B

返回

练习1

正方体ABCD- A1B1C1D1中,AC、BD交于O,则OB1与A1C1所成的角的度数为

900

slide31

S

E

A

F

B

返回

练习2

在正四面体S-ABC中,SA⊥BC, E, F分别为SC、AB 的中点,那么异面直线EF 与SA 所成的角等于( )

B

(A)300 (B)450 (C)600 (D)900

D

C

slide32

D1

C1

B1

A1

D

N

C

A

M

B

返回

例:已知正方体的棱长为 a , M 为 AB 的中点, N 为 BB1的中点,求 A1M 与 C1 N 所成角的余弦值。

解:

如图,取AB的中点E, 连BE, 有BE∥ A1M

取CC1的中点G,连BG. 有BG∥ C1N

则∠EBG即为所求角。

在△EBG中

BG=BE= a, F C1 = a

由余弦定理,

E

F

cos∠EBG=2/5

G

想一想:

还有其它定角的方法吗?

取EB1的中点F,连NF,有BE∥NF

则∠FNC为所求角。

slide33

小结:

返回

1、求异面直线所成的角是把空间角转化为平面 角,体现了化归的数学思想。

化归的一般步骤是:

定角

求角

定角一般方法有:

(1)平移法(常用方法)

(2)补形法

2、用余弦定理求异面直线所成角时,要注意角的 范围:

(1) 当 cosθ > 0 时,所成角为 θ

(2) 当 cosθ < 0 时,所成角为π- θ

(3) 当 cosθ = 0 时,所成角为

90o

3、当异面直线垂直时,还可应用线面垂直的有 关知识解决。

slide34

返回

说明:异面直线所成角的范围是(0, ],在把异面直线所成的角平移转化为平面三角形中的角,常用余弦定理求其大小,当余弦值为负值时,其对应角为钝角,这不符合两条异面直线所成角的定义,故其补角为所求的角,这一点要注意。

slide35

基础题例题

返回

1.下列命题中:

①两个相交平面组成的图形叫做二面角;

②异面直线a、b分别和一个二面角的两个面垂直,则a、b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补;

③二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个面内作射线所成角的最小角;

④正四面体相邻两个面所成的二面角的平面角是锐角.

其中,正确命题的序号是______________.

②、④

slide36

基础题例题

返回

2.如图,正方体ABCD—A1B1C1D1中,二面角B1-AA1-C1的大小为_____,二面角B-AA1-D的大小为______,二面角C1-BD-C的正切值是_______.

90°

45°

slide37

基础题例题

返回

3. 在二面角α-l-β的一个平面α内有一条直线AB,它与棱 l 所成的角为45°,与平面β所成的角为30°,则这个二面角的大小是________________.

45°或135°

slide38

基础题例题

4.在二面角α-a-β内,过a作一个半平面γ,使二面角α-a-γ为45°,二面角γ-a-β为30°,则γ内的任意

一点P到平面α与平面β的距离之比为()

(A) (B)

(C) (D)

返回

B

slide39

基础题例题

6. 平面α∩平面β=CD,P为这两个平面外一点,PA⊥α

于A, PB⊥β于B,若PA=2,PB=1,AB=√7 ,则二面

角α-CD-β的大小为 ( )

A. 150o B. 120o C. 60o D.120o 或 60o

返回

5. PA、PB、PC是从P点引出的三条射线,每两条的夹角

都是60o,则二面角B –PA—C的余弦值是 ( )

A. B. C. D.

A

D

slide40

能力·思维·方法

返回

7.已知斜三棱柱ABC—A1B1C1中,∠BCA=90°,AC=

BC,A1在底面ABC的射影恰为AC的中点M. 又知AA1

与底面ABC所成的角为60°.

(1)求证:BC⊥平面AA1C1C;

(2)求二面角B-AA1-C的大小.

slide41

能力·思维·方法

返回

7.已知斜三棱柱ABC—A1B1C1中,∠BCA=90°,AC=BC,A1在底面ABC的射影恰为AC的中点M. 又知AA1与底面ABC所成的角为60.(1)求证:BC⊥平面AA1C1C;(2)求二面角

B-AA1-C的大小.

证明: (1)由题设知,A1M⊥平面ABC,

又A1M 平面AA1C1C,

∴(1)平面AA1C1C⊥底面ABC,

又BC⊥AC,

平面AA1C1C∩平面ABC=AC,

∴BC ⊥平面AA1C1C

slide42

能力·思维·方法

返回

7.已知斜三棱柱ABC—A1B1C1中,∠BCA=90°,AC=BC,A1在底面ABC的射影恰为AC的中点M. 又知AA1与底面ABC所成的角为60.(1)求证:BC⊥平面AA1C1C;(2)求二面角

B-AA1-C的大小.

证明: (2)由题设知,A1M⊥平面ABC,

∴AA1与底面ABC所成角为∠A1AC,

∴∠A1AC=60o,

又M是AC中点,

∴△AA1C是正三角形,

作CN⊥AA1于N,

∴点N是AA1的中点,

连接BN,

由BC ⊥平面AA1C1C,

∴BC⊥AA1,

∴作AA1 ⊥平面BNC,

∴AA1 ⊥BN,

∴∠BNC是二面角B--AA1—C的平面角,

slide43

能力·思维·方法

返回

7.已知斜三棱柱ABC—A1B1C1中,∠BCA=90°,AC=BC,A1在底面ABC的射影恰为AC的中点M. 又知AA1与底面ABC所成的角为60.(1)求证:BC⊥平面AA1C1C;(2)求二面角

B-AA1-C的大小.

设AC=BC=a,

正三角形AA1C的边长为a,

∴在直角三角形BNC中,

∴二面角B—AA1—C的大小是

slide44

能力·思维·方法

【解题回顾】①先由第(1)小题的结论易知BC⊥AA1,

再利用作出棱AA1的垂面BNC来确定平面角∠BNC.

②将题设中“AA1与底面ABC所成的角为60°”改为“ BA1⊥AC1 ” 仍可证得三角形AA1C为正三角形,所求二面角仍为 .

③本题的解答也可利用三垂线定理来推理.

返回

slide45

返回

例: 如图ABC-A1B1C1是各条棱长均为2的正三棱柱, (1)求 AB1与A1C所成角?(2)求AB1与平面BB1C1C所成角?(3) 若点D是侧棱CC1的中点,求平面AB1D与平面ABC所成角?

B1

C1

A1

B

C

A

slide46

B1

C1

A1

B

C

A

例: 如图ABC-A1B1C1是各条棱长均为2的正三棱柱, (1)求 AB1与A1C所成角?

返回

slide47

B1

C1

每条棱长为2

A1

B

C

A

所求角大小为:arccos

返回

解: 分别取A1A,AC, A1B1的中点N,M, G,连接GN,NM.则∠GNM为所求角.并连接GM.

G

GM=

N

M

slide48

1. 如图ABC-A1B1C1是各条棱长均为2的正三棱柱, (1)求 AB1与A1C所成角?(2)求AB1与平面BB1C1C所成角?

B1

C1

A1

B

C

A

所求角大小为:arcsin

E

返回

slide49

例: 如图ABC-A1B1C1是各条棱长均为2的正三棱柱,(3) 若点D是侧棱CC1的中点,求平面AB1D与平面ABC所成角?

C1

B1

A1

D

B

C

A

返回

slide50

解:

设面AB1D与面ABC的所成角为

AB1D是等腰三角形

C1

B1

作DG AB1于点G.

A1

D

C

B

所求角大小为:

则:

G

A

返回

slide51

C1

B1

A1

D

M

C

B

A

返回

C1

B1

A1

D

C

B

M

A

∠B1AB为二面角B1-AM-B的平面角.

slide52

点D是CC1的中点,且CD//BB1

CM=CB=CA

C1

B1

BAM=90

A1

D

BB1面ABC

AB1 AM

C

B

B1AB为所求角.

M

tan

B1AB=1

A

所求角大小为:

解:

延长B1D交BC延长线于M,连接AM

返回

slide53

例:棱长为 1 的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M为A1B1中点,点N为B1B中点.

(1)求AM与CN所成角?

(2)求面A1BC1与ABCD所成角?

(3)过这个正方体的任意两条棱作平面,能作得与AB1成30 的平面个数?

返回

C1

D1

B1

M

A1

N

D

C

B

A

slide54

2.棱长为 1 的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M为A1B1中点,点N为B1B中点.

(1)求AM与CN所成角?

(2)求面A1BC1与ABCD所成角?

(3)过这个正方体的任意两条棱作平面,能作得与AB1成30 的平面个数?

C1

D1

B1

M

A1

N

D

C

B

A

返回

slide55

返回

C1

D1

B1

M

A1

N

D

C

B

A

slide56

2.棱长为 1 的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M为A1B1中点,点N为B1B中点.

(1)求AM与CN所成角?

(2)求面A1BC1与ABCD所成角?

(3)过这个正方体的任意两条棱作平面,能作得与AB1成30 的平面个数?

C1

D1

B1

M

A1

N

D

C

B

A

返回

slide57

返回

C1

D1

B1

M

A1

N

D

C

B

A

slide58

2.棱长为 1 的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M为A1B1中点,点N为B1B中点.

(1)求AM与CN所成角?

(2)求面A1BC1与ABCD所成角?

(3)过这个正方体的任意两条棱作平面,能作得与AB1成30 的平面个数?

C1

D1

B1

M

A1

N

D

C

B

A

返回

slide59

C1

D1

B1

M

A1

N

D

C

B

A

返回

slide60

返回

例: 在直三棱柱ABC-A1 B1 C1中,

B1

C1

∠ BAC=90º,AB=BB1=1,直

A1

线B1C与平面ABC成30º 的角,

求二面角B-B1C - A的余弦值。

B

C

A

分析:求二面角B- B1C-A的度数,要作出平面角,显然二面

角的棱为B1C,故需在B1C上取一点,然后分别在两个面内作垂

直于棱的两条射线。

slide61

解:作AN BC于N,则AN 平面

BCC1B1,作NQ B1C于Q,则AQ B1C

Q

N

AC AB1 AQ B1C=AC AB1

AQ= = =1

AB1

AC

AQN是二面角B B1C A的平面角。

B1C

AN

AQN=

Sin

3

6

6

=

2

2

3

2

3

3

3

AB

AC

Cos

AQN=

2

AN=

=

=

BC

AN BC=AB AC

1

AQ

返回

B1

C1

A1

B

C

A

slide62

返回

1.熟练掌握求二面角大小的基本方法:

(1)先作平面角,再求其大小;

(2)直接用公式

2.掌握下列两类题型的解法:

(1)折叠问题——将平面图形翻折成空间图形.

(2)“无棱”二面角——在已知图形中未给出二面角的棱.

slide63

基础题例题

返回

  • 二面角α-AB-β的平面角是锐角,C是平面α内的
  • 点(不在棱AB上),D是C在平面β上的射影,E是棱
  • AB上满足∠CEB为锐角的任意一点,则( )
  • (A)∠CEB>∠DEB (B)∠CEB=∠DEB
  • (C)∠CEB<∠DEB
  • (D)∠CEB与∠DEB的大小关系不能确定

A

slide64

2. 直线AB与直二面角α-l-β的两个半平面分别交于A、B两点,且A、B l. 如果直线AB与α、β所成的角分别是θ1、θ2,则θ1+θ2的取值范围是( )

(A)

(B)

(C)

(D)

基础题例题

返回

D

slide65

4. 把边长为a的正三角形ABC沿着过重心G且与BC平行的直线折成二面角,此时A点变为 ,当

时,则此二面角的大小为__________________.

基础题例题

返回

  • 在长、宽、高分别为1、1、2的长方体ABCD-A1B1
  • C1D1中,截面BA1C1与底面ABCD所成角的余弦值是__
  • _____.

arccos(1/3)

slide66

基础题例题

返回

5.已知正方形ABCD中,AC、BD相交于O点,若将正方

形ABCD沿对角线BD折成60°的二面角后,给出下面4个

结论:

①AC⊥BD;②AD⊥CO;③△AOC为正三角形;

④过B点作直线l⊥平面BCD,则直线l∥平面AOC,

其中正确命题的序号是________

①③④

slide67

P

A

C

B

∴所求二面角大小为:

能力·思维·方法

返回

6. 在四面体P—ABC中,PC⊥平面ABC,

AB=BC=CA=PC,求二面角B—AP—C的大小.

解:如图过B作BE⊥AC于E,过E作EF⊥PA于F,连结BF。

∵PC⊥平面ABC,∴BE⊥平面PAC,∴BF⊥PA。

∴∠BFE就是二面角B―PA―C的平面角。

设PC=1 则AB=BC=CA=PC=1,

∴E为AC的中点,

F

………………

E

slide68

能力·思维·方法

返回

7.平面四边形ABCD中,AB=BC=CD=a,∠B=90°,∠DCB=135°,沿对角线AC将四边形折成直二面角.

证:(1)AB⊥面BCD;(2)求面ABD与面ACD所成的角.

slide69

能力·思维·方法

返回

7.平面四边形ABCD中,AB=BC=CD=a,∠B=90°,∠DCB=135°,沿对角线AC将四边形折成直二面角.

证:(1)AB⊥面BCD;(2)求面ABD与面ACD所成的角.

证明: (1)D-AC-B是直二面角,

又∵DC⊥AC,

∴DC⊥平面ABC,

(面面垂直性质定理)

又AB 平面ABC,

∴DC⊥AB,

D

又AB⊥BC,

∴AB⊥平面BCD

C

A

B

slide70

D

C

A

能力·思维·方法

返回

7.平面四边形ABCD中,AB=BC=CD=a,∠B=90°,∠DCB=135°,沿对角线AC将四边形折成直二面角.

证:(1)AB⊥面BCD;(2)求面ABD与面ACD所成的角.

证明: (2)过C作CH⊥DB于H,

E

∵AB⊥平面BCD

H

∴平面ABD⊥平面DCB,

又∵平面ABD ∩平面DCB=DB,

∴CH⊥平面ABD,

过H作HE⊥AD于E,

HE⊥AD

B

连接CE,

由三垂线定理知 CE⊥AD

CE⊥AD

∴∠CEH是所求二面角

的平面角,

∴∠CEH=60o,

即所求二面角为 60o

slide71

能力·思维·方法

返回

【解题回顾】准确画出折叠后的图形,弄清有关点、线之间的位置关系,便可知这是一个常见空间图形(四个面都是直角三角形的四面体).

slide72

例.A为二面角α-l-β的棱l上一点,射线AB α,且与棱成45°角,与β成30°角,则二面角α-l-β的大小是( )。(A)45° (B)30° (C)45°或135° (D)30°或150°

返回

提示:分锐二面角和钝二面角两种情况讨论

slide73

解:如图(1),若二面角α-l-β是锐二面角,自B作BD⊥β,D为垂足,作BC⊥l于C,C为垂足,连接CD,则由三垂线定理得CD⊥l,∴ ∠BCD是二面角α-l-β的平面角,设AB=a,则∠BAC=45°,得BC=

由∠BAD=30°,得BD= ,

∴sin∠BCD=

∴ ∠BCD=45°,

返回

slide74

如图(2),若二面角α-l-β是钝二面角,自B作BD⊥β,D为垂足,作BC⊥l于C,C为垂足,连接CD,延长DC到E,则由三垂线定理得CE⊥l,∴ ∠BCE是二面角α-l-β的平面角,而∠BCD是二面角α-l-β的平面角的补角,由(1)解得∠BCD=45°,

∴ ∠BCE=135°,

即二面角的大小是45°或135°,选C.

返回

slide75

A

D

P1

B

C

A

D

B

C

能力·思维·方法

返回

8.在直角梯形P1DCB中,P1D∥CB,CD⊥P1D,P1D=

6,BC=3,DC=3,A是P1D的中点. 沿AB把平面P1AB折起到平面PAB的位置,使二面角P-CD-B成45°,设E、F分别为AB、PD的中点.

(1)求证:AF∥平面PEC;

(2)求二面角P-BC-A的大小;

证明:(1)取PC的中点G,

连接FG、EG,

P

则FG//CD,

且FG= CD,

∵AE//CD,且AE= CD

.

∴AE//FG,AE=FG,

F

.

从而四边形AEGF是平行四边形,

G

∴AF//EG,

EG 平面PEC,

.

∴AF//平面PEC

E

slide76

A

D

P1

B

C

A

D

B

C

能力·思维·方法

返回

8.在直角梯形P1DCB中,P1D∥CB,CD⊥P1D,P1D=

6,BC=3,DC=3,A是P1D的中点. 沿AB把平面P1AB折起到平面PAB的位置,使二面角P-CD-B成45°,设E、F分别为AB、PD的中点.

(1)求证:AF∥平面PEC;

(2)求二面角P-BC-A的大小;

证明:(2)

∵CD⊥平面PAD,

∴平面PAD⊥平面ABCD

P

∵PA=AD,且∠PDA=45o,

∴PA⊥AD

∴PA⊥平面ABCD,

∴AB⊥BC

由三垂线定理得 PB⊥BC

∴∠PAB为二面角P-BC-A的平面角,

在Rt△PAB中,PA=3,PB= ,

∴sin∠PBA=

得所求的二面角为60o

slide77

能力·思维·方法

返回

【解题回顾】找二面角的平面角时不要盲目去作,而

应首先由题设去分析,题目中是否已有.

slide78

能力·思维·方法

返回

9.正方体ABCD—A1B1C1D1中,E是BC的中点,求平面B1D1E和平面ABCD所成的二面角的正弦值.

解题分析:所求二面角”无棱”,要么先找 “棱”,要么用面积投影.

D1

C1

.

解法一:取B1C1的中点M,

连接EM,

M

∵E为BC的中点,

∴EM⊥平面A1B1D1,

∴△B1D1 M是△D1B1E的射影三角形,

A1

B1

设平面B1D1E和平面A1B1C1D1所成的

二面角为α,

∵平面ABCD//平面A1B1C1D1,

∴平面B1D1E和平面ABCD所成的

二面角也为α,

D

.

C

设正方体棱长为 a,

E

A

B

∴所求二面角的正弦值为

slide79

能力·思维·方法

返回

9.正方体ABCD—A1B1C1D1中,E是BC的中点,求平面B1D1E和平面ABCD所成的二面角的正弦值.

解法二:取BC的中点F,

连接BD、EF,

D1

C1

.

∵E为BC的中点,

∴EF//BD,

M

∵BD//B1D1,

∴EF//B1D1,

∴EF、B1D1共面,

A1

∴平面ABCD∩平面EB1D1F=EF,

B1

作BG⊥EF交FE的延长线于G,

连接B1G,

则∠B1GB是平面B1D1E

.

和平面ABCD所成二面角的平面角。

D

F

.

C

设正方体棱长为 a,

则BE= ,

BG= ,

E

G

在Rt△B1BG中,B1G= ,

A

B

∴所求二面角的正弦值为

slide80

【解题回顾】解法一利用公式 . 思路简单明

了,但计算量较解法二大.解法二的关键是确定二面角的棱,再通过三垂线定理作出平面角,最终解直角三角形可求出.

能力·思维·方法

返回

slide81

C

B

A

N

M

C1

B1

A1

分析:由题意平面 MN与平面 的 公

共点是 ,但二面角没有棱,需要作出,

再找平面角。

C1

C1

B1

A1

C1

例:如图,已知在正三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱长大于底面边长,M、N分别在侧棱AA1、BB1上,且B1N=A1B1=2A1M,求截面C1MN与底面A1B1C1所成的二面角的大小。

返回

slide82

C

B

A

N

M

C1

B1

解:连结NM并延长交 的延长线于点D,连

结 D,则截面 MN与底面 所成二面

角的棱为 D。

C1

C1

A1

C1

D

在 N D中, N=2 M,

且 N M,D =2D

D = =

又 为等边三角形

D=180-60=120

D=30,又 =60

D=90,即D

又 C 平面 C D

D 平面 BC

B1

B1

A1

3

2

a

2

6

a

2

B1

A1

B1

A1

2

4

BC

4

S

S

又 N 平面 , D N

N 是平面 MN与底面所成二面角的平面角。

A1

C1

A1

B1

A1

A1

A1

A1

A1

B1

B1

B1

B1

C1

B1

C1

C1

C1

B1

C1

C1

C1

B1

B1

C1

C1

C1

C1

t

又 在R N 中,B1N=B1C1 NC1B1=45

即截面 MN与底面 所成二面角为45

利用面积也可作出Cos = =( )/( )= =45

C1

A1

C1

B1

A1

C1

C1

B1

B1

A1

A1

C1

C1

C1

C1

B1

C1

C1

C1

C1

返回

slide83

C

N

S

N

P

C

A

M

A

M

P

B

B

B

返回

例:S是正△ABC所在平面外一点,SA=SB=SC且∠ASB=∠BSC=∠CSA=90°,M,N分别是AB和SC的中点,求异面直线SM与BN所成的角的余弦值.

a

a

a

P

slide85

返回

一、知识概念

1.距离定义

(1)点到直线距离

从直线外一点引一条直线的垂线,这点和垂足之间的距离叫这点到这条直线的距离。

(2)点到平面的距离

从平面外一点引一个平面的垂线,这点和垂足之间的距离叫这点到这个平面的距离。

(3)两平行直线间的距离

两条平行线间的公垂线段的长,叫做两条平行线间的距离。

slide86

返回

(4)两条异面直线间的距离

和两条异面直线分别垂直相交的直线,叫两条异面直线的公垂线;公垂线上夹在两异面直线间的线段的长度,叫两异面直线的距离。

(5)直线与平面的距离

如果一条直线和一个平面平行,那么直线上各点到这个平面的距离相等,且这条直线上任意一点到平面的距离叫做这条直线和平面的距离。

(6)两平行平面间的距离

和两个平行平面同时垂直的直线,叫这两个平行平面的公垂线,它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个平行平面间的距离。

slide87

返回

2.求距离的步骤

(1)找出或作出有关距离的图形

(2)证明它们符合定义

(3)在平面图形内进行计算

slide88

返回

正方体AC1的棱长为1,求下列距离问题

(1)A到CD1的距离

D1

C1

A1

B1

C

D

点—线

A

B

slide89

返回

正方体AC1的棱长为1,求下列距离问题

(1)A到CD1的距离

D1

C1

(2)A到BD1的距离

A1

B1

C

D

A

B

slide90

返回

点—线

已知:长方体AC1中,AB=a,AA1=AD=b

求点C1到BD的距离?

D1

C1H=

C1

B1

A1

C

D

H

A

B

slide91

返回

已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA=PB=PC

试判断点P在底面ABC的射影的位置?外心

已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA,PB,PC两两垂直,试判断点P在底面ABC的射影的位置?垂心

P

已知三棱锥P-ABC的顶点P到底面三角形ABC的三条边的距离相等,试判断点P在底面ABC的射影的位置?内心

A

B

O

C

slide92

返回

正方体AC1的棱长为1,求下列距离问题

D1

C1

(1)A到面A1B1CD

A1

B1

C

D

A

B

slide93

返回

正方体AC1的棱长为1,求下列距离问题

(1)A到面A1B1CD

D1

C1

(2)A到平面BB1D1

A1

B1

C

D

A

B

slide94

返回

棱长为1的正四面体P——ABC中,求点P到平面ABC的距离?

P

A

B

O

C

slide95

p

C

A

O

B

返回

4.如图,已知P为△ABC外一点,PA、PB、PC两两垂直,且PA=PB=PC=3,求P点到平面ABC的距离。

slide96

返回

3.如图,AB是⊙O的直径,PA⊥平面⊙O,C为圆周上一点,若AB=5,AC=2,求B到平面PAC的距离。

slide97

直角三角形ACB确定平面  ,点P在平面  外,

若点P到直角顶点C的距离是24,到两直角边的

距离都是6 ,求点P到平面  的距离?

返回

P

E

C

A

O

F

B

slide98

返回

Z

P

D

C

F

A

E

B

slide99

A

l

A`

返回

线—面

一条直线和一个平面平行时,直线上任意一点

到这个平面的距离叫做直线到平面的距离

slide100

点—面

A

l

线—面

A`

返回

A

B

l

A`

slide101

返回

判断题:

如果一条直线上有两个点到平面的距离

相等,则这条直线和平面平行吗?

slide102

返回

练 习

5.如图,已知在长方体ABCD-A’B’C’D’中,棱AA’=5,AB=12,求直线B’C’到平面A’BCD’的距离。

slide103

返回

综合练习:

已知:ABCD是边长为4的正方形,E,F分别是

AD,AB的中点,PC⊥面ABCD,PC=2,

求点B到平面PEF的距离?

P

点—线

D

C

H

E

O

G

线—面

点—面

A

B

F

slide104

P

D

C

E

A

B

F

返回

例3:如图:已知ABCD是边长为4的正方形,E、F分别是AB、AD的中点,PC垂直平面ABCD,且PC=2,求点B到平面EFP的距离。

解:连AC,BD,设交于O,设AC交EF于H

连PH

K

因为BD∥平面PEF,所以求B到平面的距离,可转化为求BD到平面的距离

O

H

过O作OK⊥平面PEF,可证明OK就是所要求的距离

此时,得用△OKH∽△PCH,容易求得 OK的值。

slide105

返回

两个平行平面的距离

B

和两个平行平面同时垂直的直线,叫做这两个平面的公垂线。

A

公垂线夹在平行平面间的部分,叫做这两个平面的公垂线段。

B’

A’

直线AA’、BB’都是它们的公垂线段

两个平行平面的公垂线段的长度,叫做两个平行平面的距离。

slide106

A

B

A’

返回

slide107

返回

题型讲练:

放 飞 思 维 的 翅 膀

思考:在边长为1的正方体 中,M,N,E,F分别

是棱 的中点.

(1)求证:平面 面 ;

(2)求:平面 与面 的距离.

slide108

D’

C’

A’

B’

E

D

C

A

B

返回

思考题:(1999)如图:已知正四棱柱ABCD-A’B’C’D’中,点E在棱DD’上,截面EAC∥D’B,且面EAC与底面ABCD所成的角为450,AB=a

(1)求截面EAC的面积

(2)求异面直线A’B’与AC的距离

slide109

M

A

P

a

B

Q

N

最后可解得

返回

二、例

例1:在600二面角M-α-N内有一点P,P到平面M、平面N的距离分别为1和2,求P到直线a距离。

解:设PA,PB分别垂直平面M,平面N与A、B,PA,PB所确定的平面为α,且平面α交直线a与Q,设PQ=x

在直角△PAQ中sin∠AQP=1/x

在RT △PBQ中sin ∠AQP=2/x

cos600=cos(∠AQP +∠AQP),由此可得关于x的方程

slide110

P

B

A

C

D

返回

例2:菱形ABCD中,∠BAD=600,AB=10,PA⊥平面ABCD,且PA=5,求:

(1)P到CD的距离

(2)P到BD的距离

(3)P到AD的距离

(4)求PC的中点到

平面PAD的距离

O

E

(1)过P作CD的垂线,交CD的延长线于E,连AE

(2)连BD,交AC于O,连PO

slide111

2. 一副三角板如图拼接,使两个三角板所在的平面互相垂直.如果公共边AC=a,则异面直线AB与CD的距离是 ( )

(A) (B) a

(C) (D)

基础题例题

返回

1. α、β是两个平行平面,aÌα,bÌβ,a与b之间的距离为d1, α与β之间的距离为d2,则 ( )

(A)d1=d2 (B)d1>d2 (C)d1<d2 (D)d1≥d2

D

C

slide112

4. 在长方体, 中,已知AB=4,AA1

=3,AD=1,则点C1到直线A1B的距离为_________.

基础题例题

返回

3. △ABC中,AB=9,AC=15,∠BAC=120°,△ABC

所在平面外一点P到三个顶点A、B、C的距离都是14,

那么点P到平面α的距离为 ( )

(A)7 (B)9 (C)11 (D)13

A

slide113

基础题例题

返回

5.已知Rt△ABC的直角顶点C在平面α内,斜边AB∥α,AB=2√6,AC、BC分别和平面α成45°和30°角,则AB到平面α的距离为______.

2

6.在二面角α- l –β的半平面α内有一点 A 到棱 l 的距

离为 2 ,到半面β所在平面的距离等于 1 ,则这个二面角

的度数为__________________

30o 或 150o

slide114

O

C

返回

练习:

2.已知四面体ABCD,AB=AC=AD=6,BC=3,CD=4,BD=5,求点A到平面BCD的距离。

A

D

B

slide115

基础题例题

返回

7.平面α内的∠MON=60°,PO是平面α的斜线段,PO=3,且PO与∠MON的两边都成45°的角,则点P到α的距离为 ( )

A. B. C. D.

A

8.直线 EF 平行于平面α内的两条直线AB和CD,EF

与α的距离为15,与AB的距离为17,又AB与CD的距

离是28,则EF与CD的距离是.

25或39

slide116

基础题例题

返回

9. 已知平面α∥β, AB⊥α, AB⊥β, A α, B β ,直线 a α,b β, a∥b,A到 a 的距离为2,B 到 b 的距离为5,AB=4,则a,b间的距离为 .

α

a

α

a

A

A

β

B

B

β

b

b

slide117

11.在棱长为1的正方体 中,

(1)求点A到平面 的距离;

(2)求点 到平面 的距离;

(3)求平面 与平面 的距离;

(4)求直线AB与平面 的距离.

能力·思维·方法

返回

解析:

连AC、BD交于O,

AO⊥BD,

又AO⊥DD1,

∴AO⊥平面BD1,

AO的长即为所求

D1

C1

B1

A1

D

C

O

A

B

slide118

11.在棱长为1的正方体 中,

(1)求点A到平面 的距离;

(2)求点 到平面 的距离;

(3)求平面 与平面 的距离;

(4)求直线AB与平面 的距离.

能力·思维·方法

返回

D1

C1

易知平面

A1ACC1⊥平面AB1D1

在矩形AA1CC1中,

易知A1 C⊥O1A

设A1E⊥AO1于E,

∴A1E⊥平面AB1 D1

∴A1E为所求。

O’

B1

A1

E

D

C

A

B

slide119

11.在棱长为1的正方体 中,

(1)求点A到平面 的距离;

(2)求点 到平面 的距离;

(3)求平面 与平面 的距离;

(4)求直线AB与平面 的距离.

能力·思维·方法

返回

D1

C1

易知A1C⊥平面AB1D1

A1C⊥平面BC1D

设直线A1C分别交平

面AB1D1、平面BC1D于

点E、F,则EF的长为

所求

B1

A1

.

.

E

F

D

C

A

B

slide120

11.在棱长为1的正方体 中,

(1)求点A到平面 的距离;

(2)求点 到平面 的距离;

(3)求平面 与平面 的距离;

(4)求直线AB与平面 的距离.

能力·思维·方法

返回

D1

C1

因为直线AB∥平面CDA1B1

∴点B到平面CDA1B1的距

离BG就是所求的距离,

(G是BC1与B1C的交点,

BG⊥B1C, BG⊥CD,

∴直线BG⊥平面A1B1CD)

此距离为:

B1

A1

.

G

D

C

A

B

slide121

能力·思维·方法

返回

【解题回顾】(1)求距离的一般步骤是:一作,二证,三计算.即先作出表示距离的线段,再证明它就是要求的距离,然后再计算,其中第二步的证明易被忽视,应引起重视.

(2)求距离问题体现了化归与转化的思想,一般情况下需要转化为解三角形.

slide122

P

.

E

D

C

B

A

能力·思维·方法

返回

12. 已知如图,边长为a的菱形ABCD中,∠ABC=60°,PC⊥平面ABCD,E是PA的中点,求E到平面PBC的距离.

解:∵E是PA的中点,

∴E到平面PBC的距离等于A 到

平面PBC的距离的一半.

由PC⊥平面ABCD,

得到平面PBC⊥平面ABCD

在平面ABCD内作AH⊥BC,

交BC于H,

H

则AH=

所求距离为

slide123

P

.

E

D

C

B

A

能力·思维·方法

返回

12. 已知如图,边长为a的菱形ABCD中,∠ABC=60°,PC⊥平面ABCD,E是PA的中点,求E到平面PBC的距离.

G

O

slide124

误解分析

返回

距离离不开垂直,因此求距离问题的过程实质上是

论证线面关系(平面与垂直)与解三角形的过程,值得注

意的是,“作、证、算、答”是立体几何计算题不可缺少

的步骤,尤其是证明那一步.

slide125

13. 在120°的二面角 内有一点P,它到二面角的两个面的距离分别是3cm和4cm,求它在α和β内的射影的距离和这点到 l 的距离.

P到 l 的距离是:

能力·思维·方法

返回

解析:设P到α、β的射影分别是M、N,则

PM=3cm,PN=4cm,过P、M、N作平面γ交l于Q则

l⊥γ∴l⊥QM,l⊥QN

∴∠MQN为二面角α-l-β的平面角。

∴∠MQN=120°

∴∠M+∠N=180°

∴P、M、Q、N四点共圆,

∴∠MPN=180°-120°=60°

MN=

slide126

棱锥问题

棱柱问题

slide127

复习:知识网络

棱柱(概念)

有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体。

底面

顶点

侧面

侧棱

对角线

体积V=Sh

返回

slide128

棱柱

复习:知识网络

棱柱(分类)

斜棱柱

直棱柱

正棱柱

返回

slide129

复习:知识网络

四棱柱

直四棱柱

侧棱垂直底面

侧面垂直底面

四棱柱

正方体

长方体

正四棱柱

平行六面体

底面是平行四边形

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slide130

要点·疑点·考点

一、棱柱

1.概念

(1)有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面围成的几何体叫棱柱

(2)侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱,侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱,底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱

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slide131

要点·疑点·考点

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2.性质

(1)侧棱都相等,侧面是平行四边形;

(2)两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形;

(3)过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形.

3.长方体及其相关概念、性质

(1)概念:底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体.

侧棱与底面垂直的平行六面体叫直平行六面体.

底面是矩形的直平行六面体叫长方体.

棱长都相等的长方体叫正方体.

(2)性质:设长方体的长、宽、高分别为a、b、c,

对角线长为l ,则l2=a2+b2+c2

slide132

复习:知识网络

棱锥

正四面体

正三棱锥

棱锥

顶点在底面正多边形的射影是底面的中心

体积V=Sh/3

正四棱锥

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slide133

如图,PA⊥平面,AO是平面的斜线PO在平面内的射影, a 

(1)若a⊥PO,则a⊥AO;

(2)若a⊥AO,则a⊥PO

P

a

O

A

复习:重要定理

三垂线定理(逆)

作用:1 证明线线垂直;

2 作二面角的平面角。

一作一连法

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slide134

基础题例题

返回

1.一个三棱锥,如果它的底面是直角三角形,那么它的三个侧面( )

(A)至多只有一个是直角三角形

(B)至多只有两个是直角三角形

(C)可能都是直角三角形

(D)必然都是非直角三角形

C

slide135

基础题例题

返回

2.正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=√2 BB1,则AB1

与C1B所成角的大小是 ( )

A.60o B.90o C.105o D.75o

B

slide136

基础题例题

返回

3.长方体三边之和为a+b+c=6,总面积为11,则其对角线长为__;若一条对角线与二个面所成的角为30°或45°,则与另一个面所成的角为___;若一条对角线与各条棱所成的角为α、β、γ,则sinα、sinβ、sinγ的关系为_____

___________________________.

5

30°

sin2α+sin2β+sin2γ=2

slide137

P

A

D

B

C

能力·思维·方法

返回

4. 在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中,

侧棱PA⊥底面ABCD,∠ABC=90°,PA=AB=BC=2,AD=1, (1)求D到平面PBC的距离;

(2)求面PAB与面PCD所成的二面角的大小。

解: (1)∵AD//平面PBC

∴D到平面PBC的距离等于A到平面PBC的距离

∵PA⊥BC, AB⊥BC

∴BC⊥平面PAB

∴平面PBC⊥平面PAB

∴A到PB的距离就是A到平面PBC的距离

∵PA=AB=2, PA⊥AB,

∴D到平面PBC的距离为

∴A到PB的距离为

slide138

P

A

D

B

C

能力·思维·方法

返回

4. 在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中,

侧棱PA⊥底面ABCD,∠ABC=90°,PA=AB=BC=2,AD=1, (1)求D到平面PBC的距离;

(2)求面PAB与面PCD所成的二面角的大小。

(2)延长CD与BA相交于Q,

∵AD∥BC,且 AD= BC

∴A是QB的中点,

又PA=AB=AQ

∴BQ⊥PQ,

Q

又∵BC⊥平面PAB,

∴CP⊥PQ,

故∠CPB是所求二面角的

平面角,

故面PCD与面PCD所成的二面角为

slide139

P

B

A

C

D

在Rt⊿PAB中,AB=a, ∠PAB=600

∴PB=  a

V= a3

返回

例题讲解

作、

证、

求?

1、四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形,PB⊥面ABCD.

(1)若面PAD与面ABCD的二面角为600,求四棱锥的体积;

∵ PB⊥面ABCD,BA⊥AD,                          ∴PA⊥AD                        ∴∠PAB就是面PAD与面ABCD的二面角的平面角

解:

即∠PAB=600

slide140

P

B

A

C

D

返回

例题讲解

1、四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形,PB⊥面ABCD.

(2)证明不论高PB怎样变化,面PAD与面PCD所成的二面角恒大于900.

小结:作二面角平面角的方法

●有面的垂线,则一作一连法

●定义法,在两面内作棱的垂线

●面积射影定理

M

证:由题设侧面PAD与PCD为全等⊿,

作CM⊥PD于M,连结MA,则⊿CDM≌⊿ADM,

∴AM=CM,∠AMD=900

故AMC就是所证二面角的平面角.

连结AC

在⊿AMC中,由余弦定理

cos∠AMC =

故∠AMC>900,即证.

slide141

P

B

A

C

D

返回

变化一

四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的菱形,∠BCD=600,PB⊥面ABCD.若面PAD与面ABCD的二面角为600,求四棱锥的体积;

E

slide142

P

B

A

C

D

返回

变化二

 四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的菱形,∠BCD=600,面PBC⊥面ABCD,且⊿PBC是等边⊿. 求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角;

注意:●面面垂直的应用

●分析平面图形

E

slide143

B1

A1

C1

解:取AB的中点F,连结EF,CF,

E

∴EF//AA1//CC1

D

∴DE=CF

A

B

∵D是中点,∴EF CD

在⊿ABC中,CF=

F

C

∴DE=

返回

例题讲解

2、如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC是等腰Rt⊿, ∠C=900,D、E分别是CC1和A1B的中点,AC=AA1=2

(1)求线段DE的长

slide144

B1

A1

C1

E

D

M

A

B

C

即所求为

CM=

∴tan∠AMC=AC/CM=

返回

例题讲解

2、如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC是等腰Rt⊿, ∠C=900,D、E分别是CC1和A1B的中点,AC=AA1=2

(2)求二面角A-BD-C的大小(反三角表示)

解:∵ ABC-A1B1C1是直棱柱,AC⊥BC,

∴AC⊥侧面BB1C1C,

作CM⊥BD于M,连结AM,

则∠AMC就是所求二面角的平面角;

在⊿ACM中,AC=2

AC⊥CM,

slide145

B1

A1

C1

E

D

M

F

A

B

G

∴A1B与平面ABD所成的角为

C

返回

例题讲解

3、如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC是等腰Rt⊿,∠C=900,D、E分别是CC1和A1B的中点,AA1=2,若点E在平面ABD上的射影是⊿ABD的重心G.

(1)求A1B与平面ABD所成的角(用反三角表示);

解:连结BG,由已知∠EBG就是所求的角,

…………

slide146

B1

A1

C1

E

D

A

B

C

返回

例题讲解

3、如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC是等腰Rt⊿,∠C=900,D、E分别是CC1和A1B的中点,AA1=2,若点E在平面ABD上的射影是⊿ABD的重心G.

(2)求点A1到平面AED的距离。

方法A:作垂线法

方法B:等体积法

slide147

B1

A1

C1

E

D

A

B

K

M

F

在⊿A1AB1中,A1K=

C

返回

方法A:作垂线法

3、如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC是等腰Rt⊿,∠C=900,D、E分别是CC1和A1B的中点,AA1=2,若点E在平面ABD上的射影是⊿ABD的重心G.

(2)求点A1到平面AED的距离。

解A:由上题解知,DE⊥平面AA1B1B

∴平面ADE⊥平面AA1B1B于AE

slide148

B1

A1

解B:

C1

E

D

A

B

C

返回

方法B:等体积法

3、如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC是等腰Rt⊿,∠C=900,D、E分别是CC1和A1B的中点,AA1=2,若点E在平面ABD上的射影是⊿ABD的重心G.

(2)求点A1到平面AED的距离。

方法C:对象转换法

slide149

返回

小结:

1、联想概念及其性质;

2、分解难点,掌握各类基本作图;

3、强调作证求过程;

4、空间问题平面化,尤三角形内

的计算。

slide150

体积问题

面积问题

slide151

基础题例题

返回

1.设棱锥的底面面积为8cm2,那么这个棱锥的中截面

(过棱锥的中点且平行于底面的截面)的面积是( )

(A)4cm2 (B) cm2 (C)2cm2 (D) cm2

C

2. 一个锥体被平行于底面的平面所截,若截面面积是底面面积的四分之一,则锥体被截面截得的一个小锥与原棱锥体积之比为 ( )

(A)1 : 4 (B) 1 : 3 (C) 1 : 8 (D) 1 : 7

C

slide152

基础题例题

返回

3.设长方体三条棱长分别为a,b,c,若长方体所有棱的

长度之和为24,一条对角线长度为5 ,体积为2,则

等于 ( )

(A) (B) (C) (D)

A

slide153

基础题例题

返回

4.斜三棱柱的一个侧面的面积为S,另一条侧棱到这个

侧面的距离是a,则这个三棱柱的体积是 ( )

(A) (B) (C) (D)

C

5.在侧棱长为2√3,每个侧面的顶角均为40°的正三棱锥P-ABC中,过A作截面分别交PB、PC于E、F,则△AEF的最小周长是 ( )

(A) 6 (B) (C) 36 (D)

A

slide154

返回

例.设P是棱长相等的四面体内任意一点,则P到各个面的距离之和是一个定值,这个定值等于( )。 (A)四面体的棱长 (B)四面体的斜高 (C)四面体的高 (D)四面体两对棱间的距离

提示:用体积法求解

slide155

返回

解:如图正四面体ABCD中,过点A作四面体的高AO,则由点P分别连接PA、PB、PC、PD,得到四个小四面体,

若点P到四个表面的距离分别为h1、h2、h3、h4,那么四面体被分成的四个小四面体,它们的体积和恰好是四面体ABCD的体积,

slide156

∴ VABCD=VPBCD+VPABC+VPABD+VPACD,

∴ h1+h2+h3+h4=AO. 选C.

返回

slide159

A1

C1

B1

A

C

B

6.若一个斜棱柱A1B1C1—ABC的底面是等腰△ABC,它的三边边长分别是AB=AC=10cm,BC=12cm,棱柱的顶点A1与A、B、C三点等距,且侧棱AA1=13cm,求此棱柱的全面积.

解:自B引BD⊥AA1于D,连接CD,

∵AA1=A1B=A1C,

底面△ABC为等腰△,

故顶点A1在底面ABC上的射影O在底边

BC的高AE上,

由三垂线定理知,

D

BC⊥AA1,

即侧面B1BCC1为矩形,

由AA1⊥BC,AA1⊥BD,

得AA1⊥平面BDC,

∴AA1⊥CD,

O

F

E

在△A1AB中,引A1F⊥AB于F,

在Rt△A1FA中,由A1A=13,AF=5,A1F=12,

则BD=AB×sin∠A1AB=10×

∴S柱侧=(BD+DC+BC)×A1A=396,

∴S△ABC=8,

又在△ABC中,AE⊥BC,AB=10,BE=6,得AE=8,

∴S柱全=396+2×48=492(cm) 2

返回

slide160

S

F

∵SO ⊥平面ABC,O是△ABC中心

∴D是BC的中点.

E

A

C

又∵EF是△SBC的中位线

∴G是SD的中点根据对称性,AE=AF

D

B

∴AG ⊥EF

∵平面AEF ⊥平面SCB ∴ AG⊥ 平面SBC,

∴ AG ⊥SD, △ASD是等腰三角形,SA=DA

返回

例:如图已知正三棱锥S — ABC中,E、F分别是SB、SC 的中点,平面AEF⊥平面SCB.

求证:三棱锥S—ABC侧面 积与底面积的比。

解:作正棱锥的高SO,连结AO并延长交BC于D,

连结SD交EF于G,连结AG.

G

O

slide161

设正三棱锥S—ABC的底面边长为 ,则AD= ,SA=SB=

于是: S侧

3 · SD· BC

3SD

=

=

=

AD

S

AD ·BC

△ABC

S

F

G

E

A

C

O

D

B

返回

slide162

法一:取AB中点D,连接SD,CD。

易得△ABC为等腰直角三角形,ACB=90o。则有SD⊥AB,

CD⊥AB。又SA=SB=SC,

∴S在底面的射影为底面的外心,

即点D,∴SD⊥平面ABC。

∴由VS-ABC= S△ABC•SD得三棱锥体积。

返回

例1、已知三棱锥的两个侧面都是边长为 的等边三角形,另一个侧面是等腰直角三角形。求此三棱锥的体积。

S

C

A

D

B

slide163

解法二

提示:设三棱锥S-ABC,侧面SAC、SBC为等边三角形,边长为 ,SASB。取SA中点E,AB中点F,连接AE、BE、EF。可证得:SC 平面ABE。利用:VS-ABC=VS-ABE+VC-ABE

得三棱锥体积。

返回

例、已知三棱锥的两个侧面都是边长为 的等边三角

形,另一个侧面是等腰直角三角形。求此三棱锥的体积。

S

E

C

A

F

B

(KEY: )

注意:分割法求体积。

slide164

返回

例、在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,求D1到截面C1BD的距离。

D1

C1

提示:利用 = 求解。

B1

A1

KEY:

D

C

A

B

注意:等体积法求点面距离。

slide165

D1

C1

A1

B1

C

D

A

E

B

返回

  • 例:如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,点E在棱AB上移动.
  • 证明:D1E⊥A1D ;
  • 当E为AB的中点时,求点E到面ACD1的距离;
  • AE等于何值时,二面角D1-EC-D的大小为

等体积法求点面距离

slide166

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通过以上的解答,我们不难看出等体积法在处理点到面的距离和体积时非常有效,因此我们在平时的学习中应该掌握.利用等体积法我们能够从侧面迂回地解决一些从正面较难下手的问题——这是数学中的一种重要思想方法.在利用等体积法时我们应该在原图

形中寻找到一个较容易计算出面积及其高的面来。

例:已知四棱锥P—ABCD ,PB⊥AD,侧面PAD为边长等于2的正三角形,底面ABCD为菱形,侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120。

(Ⅰ)求点P到平面ABCD的距离;(Ⅱ)求面APB与面CPB所成二面角的大小。

P

D

C

E

A

B

等体积法求点面距离

slide167

3.设棱锥的底面面积为8cm2,那么这个棱锥的中截面3.设棱锥的底面面积为8cm2,那么这个棱锥的中截面

(过棱锥的中点且平行于底面的截面)的面积是( )

(A)4cm2 (B) cm2

(C)2cm2 (D) cm2

返回

C

slide168

返回

4.若一个锥体被平行于底面的平面所截,若截面面积是底面面积的四分之一,则锥体被截面截得的一个小锥与原棱锥体积之比为( )

(A)1 : 4 (B) 1 : 3

(C) 1 : 8 (D) 1 : 7

C

slide169

5.设长方体三条棱长分别为a,b,c,若长方体所有棱的5.设长方体三条棱长分别为a,b,c,若长方体所有棱的

长度之和为24,一条对角线长度为5 ,体积为2,则

等于( )

(A) (B)

(C) (D)

返回

A

slide170

6.斜三棱柱的一个侧面的面积为S,另一条侧棱到这个6.斜三棱柱的一个侧面的面积为S,另一条侧棱到这个

侧面的距离是a,则这个三棱柱的体积是( )

(A) (B)

(C) (D)

返回

C

slide172

返回

8. 如图,在多面体ABCDE中,AE⊥面ABC,BD∥

AE,且AC=AB=BC=BD=2,AE=1,F为CD中点.

(1)求证:EF⊥面BCD;

(2)求多面体ABCDE的体积;

(3)求面CDE与面ABDE所成的二面角的余弦值.

【解题回顾】对于不规则几何体一定要能识别其本质,本题的多面体实际上是倒着的四棱锥.

slide173

【解题回顾】(1)把A、B、C中的任一个点作为顶点(其余三点构成的三角形作为底面)是解题的关键,这说明改变几何体的放置方式或改变对几何体的观察角度在解题中是十分重要的.【解题回顾】(1)把A、B、C中的任一个点作为顶点(其余三点构成的三角形作为底面)是解题的关键,这说明改变几何体的放置方式或改变对几何体的观察角度在解题中是十分重要的.

(2)当a=b=c时,得到正四面体的体积是?.

(3)若在PA、PB、PC上各任取一点M、N、R,设PM=

m,PN=n,PR=r,则容易证明 ,这一结论与

PA、PB、PC成多大的角无关.

返回

9.在三棱锥P-ABC中,PA、PB、PC两两成60°角,PA=a,PB=b,PC=c,求三棱锥P-ABC的体积.

slide174

C1

B1

A1

C

B

A

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10.若一个斜棱柱A1B1C1—ABC的底面是等腰△ABC,它的三边边长分别是AB=AC=10cm,BC=12cm,棱柱的顶点A1与A、B、C三点等距,且侧棱AA1=13cm,求此棱柱的全面积.

E

【解题回顾】求斜棱柱全面积的基本方法是求出各个侧面的面积与底面积.本题求侧面积时也可以用直截面BCD的周长去乘AA1而得到.

slide175

返回

误解分析

1.求斜棱柱的全面积,除直截面周长乘侧棱长这个公式外,大多采用逐一求出各表面面积,然后作和的方法,因此不要盲目套什么公式,或在相加时,漏了上、下底面积

2.求三棱锥的体积非常灵活,有直接法、割补法、颠倒顶点法等,不管用何种方法,一定要看清字母位置,更不能漏乘1/3.

slide176

多面体

与球的

问题

slide177

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例.一个凸多面体的棱数为30,面数为12,则它的各面多边形的内角总合是( )(A)5400° (B)6480° (C)7200° (D)7920°

提示:运用“欧拉定理” E+2=V+F。

slide178

解:根据欧拉定理 V=(E+2)-F=32-12=20.

设该多面体的12个面的边数分别为E1,E2,……,E12,

那么共有棱数30= ( E1+E2+……+E12),

∴ E1+E2+……+E12=60,

12个面中每个面的内角为

(i=1,2,……,12),

∴ 内角总合为

=6480°,∴ 选B.

返回

slide179

【解题回顾】用欧拉公式V+F-E=2解题时,要善于发现棱数E与面数F、顶点数V的关系,一般有【解题回顾】用欧拉公式V+F-E=2解题时,要善于发现棱数E与面数F、顶点数V的关系,一般有

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已知凸多面体每个面都是五边形,每个顶点都有三条棱,试求该多面体的面数、顶点数和棱数.

slide180

基础题例题

2.地球表面上从A地(北纬45°,东经120°)到B地(北纬

45°,东经30°)的最短距离为(地球半径为R) ( )

(A)R (B) (C) (D)

1.一个四面体的所有棱长都为√2,四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为 ( )

(A) (B) (C) (D)

返回

A

C

3.在北纬45o的圈上有甲、乙、丙三地,甲乙、乙丙之间

的经度差都是90o,则甲丙两地的球面距离是甲乙两地球

面距离的 ______倍

slide181

基础题例题

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4.球的表面积膨胀为原来的 2 倍,膨胀后的体积为原来的

( )

A. √2倍 B.2倍 C.2√2倍 D.4倍

C

5.棱长为2的正四面体的体积为_____________

6.设P、A、B、C是球O面上的四点,且PA、PB、PC两两

互相垂直,若PA=PB=PC=a, 则球心O到截面ABC的距离

是______________

slide182

能力·思维·方法

返回

7.求正八面体每相邻两个面所成二面角的大小。

B

解:如图,设棱长为 a,AE中点为F,

连接BF、DF,

E

∵△ABE,△ADE是正三角形,

F

∴BF⊥AE,DF⊥AE,

A

C

∴∠BFD是二面角B-AE-D的平面角,

△BDF中,BF=DE=

D

BD=

∴所求二面角为π- arccos

slide183

A

B

D

C

返回

三棱锥A-BCD的两条棱AB=CD=6,其余各棱长均为5,求

三棱锥的内切球半径.

解:取CD的中点E,连接AE,BE,

由CD⊥AE,CD⊥BE,

得CD⊥平面ABE

又AD=5,DE=3,得AE=BE=4,

E

故△ABE的面积为3√7

于是,VA-BCD=VC-ABE+VD-ABE

显然,三棱锥的三个侧面全等,各侧面的面积为12,

设三棱锥的内切球半径为 r,则

VA-BCD= (SABC+SBCD+SCDA+SDAB)·r

= · 48r =16r

由16r=6√7

得内切球的半径为

slide184

能力·思维·方法

返回

【解题回顾】

正如三角形的内切圆经常与面积发生关系一样,多面体的内切球的半径也常与体积发生联系.

slide185

.

能力·思维·方法

返回

9.在球内有相距14cm 的两个平行截面,它们的面积分别是

64πcm2 和 36πcm2,求球的表面积。

解:设球半径为R,

(1)当截面在球心同侧,如图(1)

则有√R2-36-√R2-64=14

而此方程无解,故截面在球心的同侧

不可能。

(1)

(2)当截面在球心异侧,如图(2)

.

则有√R2-36 +√R2-64=14

解得 R=10

∴S球面=4πR2=400π(cm)2

(2)

slide186

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例:共端点M的三条线段MA、MB、MC两两垂直,过M、A、B、C刚好可作一个半径为2的球,则MA、MB、MC的平方和为( )

解:以MA、MB、MC为棱作长方体,那么这个长方体的八个顶点都在球上,且长方体的对角线恰好是球的直径,所以球的直径d=4,

而MA2+MB2+MC2=d2=16.

slide187

延伸·拓展

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过半径为R的球面上一点作三条两两垂直的弦MA、MB、MC.

(1)求证:MA2+MB2+MC2为定值;

(2)求三棱锥M-ABC的体积的最大值.

【解题回顾】(1)MA、MB、MC两两垂直.根据球的对称性,采用补形的方法,可以把它补成一个球的内接长方体.长方体的对角线的平方就是球的直径的平方,即MA2+MB2+MC2=4R2.在做选择题、填充题时就可直接用这个结论.

(2)在球中的线段计算问题,常转化为小圆半径,大圆半径及球心到截面距离来解决.

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slide188

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误解分析

1.在涉及球内接正方体或长方体的题目中,作出的截面一般过多面体的对角线,且对角线长为球的直径若过对棱中点作横截面,将会出错.

2.球面上两点间距离不是直线距离,也不是纬度圈上的劣弧长,而是指过这两点的球大圆上 的劣弧长,不能错啊!

slide189

例:如图所示,在纬度为α的北纬纬线上有一点A,其中α是△AOO’的三内角的等差中项,而t是 与 的等比中项,当地球自转t小时后,求点A转动前后的球面距离.

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slide190

解:由题意得 α=60° ,

, t=6,

设点A转动后为点B,由于地球转一圈需24小时,因此6小时转了圆周长的 ,

所以∠AO’B=90°, ∠OAO’=30°,

所以∠AO’B=90°, ∠OAO’=30°,

所以AO’=Rsin30°= R=BO’, AB= R,

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slide191

由余弦定理得:

cos∠AOB=

∴ ∠AOB=arccos ,

A点转动前后的球面距离为Rarccos .

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slide192

1.一个四面体的所有棱长都为2,四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为( )

(A) (B) (C) (D)

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A

2.已知一个简单多面体的各个顶点处都有三条棱,则顶点数V与面数F满足的关系式是( )

(A)2F+V=4 (B)2F-V=4

(C)2F+V=2 (D)2F-V=2

A

slide193

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3.一个凸多面体的顶点数为20,棱数为30.则它的各面多边形的内角总和为( )

(A)2160° (B)5400° (C)6480° (D)7200°

A

4.将棱长为3的正四面体的各棱长三等分,经过靠近顶点的各分点,将原正四面体各顶点均截去一个棱长为1的小正四面体,剩下的多面体的棱数为( )

(A)16 (B)17 (C)18 (D)19

A

slide194

5.地球表面上从A地(北纬45°,东经120°)到B地(北纬5.地球表面上从A地(北纬45°,东经120°)到B地(北纬

45°,东经30°)的最短距离为(地球半径为R)( )

(A)R (B)

(C) (D)

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A

slide195

翻折问题

生活问题

slide196

A

C

D

B

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如图,以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕,使⊿ ABD和⊿ ACD折成相垂直的两个面。

求证:(1)BD⊥CD;(2)∠ BAC=60°.

A

B

C

D

slide197

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例:已知:E、F是正方形ABCD的边BC和CD的中点,分别沿AE、EF、AF将⊿ABE、 ⊿ECF、⊿AFD折起,使B、C、D三点重合于P点,如图所示。

(1)求证:AP ⊥ EF;

(2)求二面角A-EF-P的大小。

slide198

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解:(1)∵AP⊥PF,AP ⊥PE,

PE∩PE=P

∴ AP⊥平面PEF

又∵EF 平面PEF

∴AP ⊥EF.

slide199

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(2)取EF的中点H,连结PH、AH,

∵PE=PF,AE=AF ∴AH ⊥EF,PH ⊥EF

∴ ∠AHP是二面角A-EF-P的平面角。

由(1)知AP ⊥平面PEF,而PH 平面PEF

∴AP ⊥PH,即⊿ APH是Rt⊿.

∴ cos∠AHP= , ∠ AHP=arcos

∴二面角A-EF-P的大小为arcos。

slide200

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例:在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,沿对角线BD对折成二面角A-BD-C,使A在平面BCD上的射影在BC上。

(1)求异面直线AB与CD所成的角;

(2) 求AB和CD间的距离。

slide201

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例3:已知Rt⊿ABC中,AB=3,BC=4,E是斜边AC边上的一点,沿BE将ABE折起,使二面角A-BE-C是直二面角,当AC最短时,求∠ABE的大小。

slide202

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练习

1、长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,

BC=2,AA1=1,一蚂蚁从点A沿其表面爬

到C1点的最短路程为( )

A、 B、 C、 D、

slide203

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2、如图代表未折叠正方体的展开图,将其折叠起来,变成正方体后图形是( )

slide204

N

C

M

D

E

A

B

F

M

N

D

C

E

F

A

B

5.如图是正方体的平面展开图,在这个正方体中

①BM与ED平行;

②CN与BE是异面直线;

③CN与BM成60°的角;

④DM与BN垂直。

以上四个命题中,正确

命题的序号是( )

③ ④

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slide205

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复习小结

1、解折叠问题首先是准确地画出原来的平面图形及折叠后的空间图形,对照两图形中对应元素的位置、大小、形状,确定不变元素,不变量是解题的基础,折叠所成的二面角往往是解题的关键。

slide206

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2、求侧面上两点间的最短距离,一般都是将空间图形沿某一条棱或母线剪开铺平,化为求两点决定的线段长, 从而化“曲”为“直”,化“折”为“平”。展开是空间问题平面化的一种常用方法。

slide207

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一个立方体的六个面上分别标有字母A、B、C、D、F,下图是此立方体的两种不同放置,则与D面相对的面上的字母是( )

B

slide208

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如图,以长方体ABCD-A1B1C1D1的顶点为顶点且四个面都是直角三角形的四面体是__________

(注:只写出其中的一个,并在图中画出相应的四面体)

slide209

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一间民房的屋顶有如图所示三种不同的盖法:①单向倾斜;②双向倾斜;③四向倾斜.记三种盖法屋顶面积分别为P1、P2、P3.若屋顶斜面与水平面所成的角都是α,则

( )

(A)P3>P2>P1

(B)P3>P2=P1

(C)P3=P2>P1

(D)P3=P2=P1

D

slide210

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已知甲烷CH4的分子结构是:中心一个碳原子,外围有4个氢原子(这4个氢原子构成一个正四面体的四个顶点).设中心碳原子到外围4个氢原子连成的四条线段两两组成的角为θ,则cosθ等于 ( )

(A)-1/3 (B)1/3

(C)-1/2 (D)1/2

A

slide211

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在直角坐标系xoy中,点A、B、C、D的坐标分别为(5,0)、(-3,0)、(0,-4)、(-4,-3),

将坐标平面沿y轴折成直二面角.

(1)求AD、BC所成的角;

(2)BC、OD相交于E,作

EF⊥AD于F,

求证:EF是AD、BC的公垂

线,并求出公垂线段EF的长;

(3)求四面体C-AOD的体积.

【解题回顾】这是一道与解几结合的翻折题,画好折后

图将原平面图还原成四棱锥,进一步用三垂线定

理证明AD⊥BC.

slide212

(1)给出两块相同的正三角形纸片(如图1,图2),要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型,另一块剪拼成一个正三棱柱模型,使它们的全面积都与原三角形的面积相等,请设计一种剪拼方法,分别用虚线标示在图1、图2中,并作简要说明;(1)给出两块相同的正三角形纸片(如图1,图2),要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型,另一块剪拼成一个正三棱柱模型,使它们的全面积都与原三角形的面积相等,请设计一种剪拼方法,分别用虚线标示在图1、图2中,并作简要说明;

(2)试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小;

(3)(本小题为附加题)

如果给出的是一块任意三角形的纸片(如图3),要求剪拼成一个直三棱柱模型,使它们的全面积与给出的三角形的面积相等,请设计一种剪拼方法,用虚线标示在图3中,并作简要说明.

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图1

图2

slide213

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图1

图2

图3

【解题回顾】本题是2002年高考题,是一道集开放、探索、动手于一体的优秀考题,正三角形剪拼正三棱柱除参考答案的那种剪法外,还可以用如图4的剪法,当然参考答案的剪法是其本质解,因为它为(3)的解答提供了帮助.

图4

slide214

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5.如图(甲),从三棱锥P-ABC的顶点P沿着三条侧棱PA、PB、PC剪开成平面图形,得到△P1P2P3(如图(乙)),且P1P2=P2P3.

(1)在三棱锥P-ABC中,求证:PA⊥BC.

(2)若P1P2=26,P1P3=20,求三棱锥P-ABC的体积.

slide216

P

B

A

C

D

在Rt⊿PAB中,AB=a, ∠PAB=600

∴PB=  a

V= a3

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例题讲解

作、

证、

求?

1、四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形,PB⊥面ABCD.

(1)若面PAD与面ABCD的二面角为600,求四棱锥的体积;

∵ PB⊥面ABCD,BA⊥AD,                          ∴PA⊥AD                        ∴∠PAB就是面PAD与面ABCD的二面角的平面角

解:

即∠PAB=600

slide217

P

B

A

C

D

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例题讲解

1、四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形,PB⊥面ABCD.

(2)证明不论高PB怎样变化,面PAD与面PCD所成的二面角恒大于900.

小结:作二面角平面角的方法

●有面的垂线,则一作一连法

●定义法,在两面内作棱的垂线

●面积射影定理

M

证:由题设侧面PAD与PCD为全等⊿,

作CM⊥PD于M,连结MA,则⊿CDM≌⊿ADM,

∴AM=CM,∠AMD=900

故AMC就是所证二面角的平面角.

连结AC

在⊿AMC中,由余弦定理

cos∠AMC =

故∠AMC>900,即证.

slide218

P

B

A

C

D

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变化一

四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的菱形,∠BCD=600,PB⊥面ABCD.若面PAD与面ABCD的二面角为600,求四棱锥的体积;

E

slide219

P

B

A

C

D

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变化二

 四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的菱形,∠BCD=600,面PBC⊥面ABCD,且⊿PBC是等边⊿.求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角;

注意:●面面垂直的应用

●分析平面图形

E

slide220

B1

A1

C1

解:取AB的中点F,连结EF,CF,

E

∴EF//AA1//CC1

D

∴DE=CF

A

B

∵D是中点,∴EF CD

在⊿ABC中,CF=

F

C

∴DE=

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例题讲解

2、如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC是等腰Rt⊿, ∠C=900,D、E分别是CC1和A1B的中点,AC=AA1=2

(1)求线段DE的长

slide221

B1

A1

C1

E

D

M

A

B

C

即所求为

CM=

∴tan∠AMC=AC/CM=

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例题讲解

2、如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC是等腰Rt⊿, ∠C=900,D、E分别是CC1和A1B的中点,AC=AA1=2

(2)求二面角A-BD-C的大小(反三角表示)

解:∵ ABC-A1B1C1是直棱柱,AC⊥BC,

∴AC⊥侧面BB1C1C,

作CM⊥BD于M,连结AM,

则∠AMC就是所求二面角的平面角;

在⊿ACM中,AC=2

AC⊥CM,

slide222

B1

A1

C1

E

D

M

F

A

B

G

∴A1B与平面ABD所成的角为

C

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例题讲解

3、如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC是等腰Rt⊿,∠C=900,D、E分别是CC1和A1B的中点,AA1=2,若点E在平面ABD上的射影是⊿ABD的重心G.

(1)求A1B与平面ABD所成的角(用反三角表示);

解:连结BG,由已知∠EBG就是所求的角,

…………

slide223

B1

A1

C1

E

D

A

B

C

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例题讲解

3、如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC是等腰Rt⊿,∠C=900,D、E分别是CC1和A1B的中点,AA1=2,若点E在平面ABD上的射影是⊿ABD的重心G.

(2)求点A1到平面AED的距离。

方法A:作垂线法

方法B:等体积法

slide224

B1

A1

C1

E

D

A

B

K

M

F

在⊿A1AB1中,A1K=

C

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方法A:作垂线法

3、如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC是等腰Rt⊿,∠C=900,D、E分别是CC1和A1B的中点,AA1=2,若点E在平面ABD上的射影是⊿ABD的重心G.

(2)求点A1到平面AED的距离。

解A:由上题解知,DE⊥平面AA1B1B

∴平面ADE⊥平面AA1B1B于AE

slide225

B1

A1

解B:

C1

E

D

A

B

C

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方法B:等体积法

3、如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC是等腰Rt⊿,∠C=900,D、E分别是CC1和A1B的中点,AA1=2,若点E在平面ABD上的射影是⊿ABD的重心G.

(2)求点A1到平面AED的距离。

方法C:对象转换法

slide226

例:如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1中,底面边长为a,侧棱长为 a, D是A1C1上一点.

(1)当 等于多少时,BC1//平面AB1D,

(2)若D是A1C1的中点,

求二面角A1-B1A-D的大小。

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slide227

解:(1)如图,连B1C交BC1于E,过E作EF//CA交BA1于F,则EF平行等于 AC,

又AC//A1C1,所以 EF//A1C1.取A1C1的中点D,连DF,则EF//DC1,EF=DC1,所以四边形EFDC1是平行四边形.故 EC1//DF.

又DF 平面AB1D,

EC1 //平面AB1D,

所以BC1//平面AB1D.

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slide228

在Rt△AA1B中.

A1H=

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(2)因为D是A1C1的中点,所以B1D⊥平面AA1C1C,所以平面AB1D⊥平面AA1C1C,过A1作A1G⊥AD交AD于G,则A1G⊥平面AB1D.过A1作A1H⊥AB1于H,连HG,则AB1⊥HG,所以∠A1HG是二面角A1-B1A-D的平面角.

slide229

在Rt△AA1D中,

A1G=

在Rt△A1HG中,sin∠A1HG= . 所以∠A1HG=45°, 即二面角A1-B1A-D的大小是45°.

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slide230

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例:如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面A1B1C1D1是正方形,过对角线AC1的一个截面是钝角为α的一个菱形AEC1F,求此截面与底面ABCD所成角φ的大小.

slide231

解:∠AEC1=α,设正方形AC1边长为a,则BD= a,且EF//BD,EF= a,EF⊥AC1,

在Rt△AEH中,∠AEH= ,AH=HE·tan = a·tan ,

AC1=2AH= a·tan ,

= EF×AC1=a2tan ,

SABCD=a2,

cosφ=

∴ φ=arccos(cot ).

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slide232

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例:如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB1⊥BC1,AB=CC1=a,BC=b,

(1)设E、F分别是AB1、BC1的

中点,求证:EF//平面ABC;

(2)求证:A1C1⊥AB;

(3)求B1到平面ABC1的距离.

slide233

解:(1)分别取AB、BC的中点M、N,连EM、MN、NP,于是EM BB1,FN BB1,

从而EM FN,即四边形EFNM是平行四边形,

∴ EF//MN,而EF 平面ABC, MN 平面ABC,

∴ EF//平面ABC;

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(1)设E、F分别是AB1、BC1的中点,求证:EF//平面ABC;

slide234

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(2)求证:A1C1⊥AB;

(2)连A1B,∵ ABC-A1B1C1是直三棱柱,∴ AA1⊥AB,

又AB=CC1=AA1,∴ ABB1A1是正方形,从而AB1⊥BA1,

∵ AB1⊥BC1,∴ AB1⊥平面A1BC1,∴ A1C1⊥AB1,

而A1C1⊥AA1,∴ A1C1⊥平面ABB1A1,∴ A1C1⊥AB;

slide235

∴ BA⊥A1H,于是A1H⊥平面ABC1,

在Rt△AA1C1中,AA1=CC1=a,

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(3)求B1到平面ABC1的距离.

(3)∵ A1B1//AB,∴ A1B1//平面ABC, 于是B1到平面ABC1的距离等于A1到平面ABC1的距离,

自A1作A1H⊥AC1于H,由(2)知 BA⊥平面ACC1A1,

slide236

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此即B1到平面ABC1的距离。

slide237

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在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是棱AB与BC的中点,(1)求二面角B-FB1-E的大小;(2)求点D到平面B1EF的距离;(3)在棱DD1上能否找一点M,使BM⊥平面EFB.若能,试确定点M的位置,若不能,请说明理由.

【解题回顾】此题也可以作面B1EF的垂线与DD1相交,再

说明可以找到一点M满足条件.过程如下:先证明面B1BDD1

⊥面B1EF,且面B1BDD1∩面B1EF=B1G,在平面B1BDD1内作BM

⊥B1G,延长交直线DD1于M,由二平面垂直的性质可得:

BM⊥面B1EF,再通过△B1BG∽△BDM可得M是DD1的中点,

∴在棱上能找到一点M满足条件.

此题是一道探索性命题.往往可先通过对条件的分析,猜

想出命题的结论,然后再进行证明.

slide238

球面上点的问题

O

O

C

C

p

A

p

B

A

B

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M

slide239

练习题

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B

C

slide244

(05,浙江)、如图,在三棱锥P-ABC中,AB⊥BC,AB=BC=kPA,点O、D分别是AC、PC的中点,OP⊥底面ABC.(05,浙江)、如图,在三棱锥P-ABC中,AB⊥BC,AB=BC=kPA,点O、D分别是AC、PC的中点,OP⊥底面ABC.

(Ⅰ)当k= 时,求直线PA与平面PBC所成角的大小

(Ⅱ) 当k取何值时,O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心?

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slide245

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三棱锥P-ABC中,侧面PAC与底面ABC

垂直,PA=PB=PC=3,

(1)求证:AB ⊥ BC;

(2)设AB=BC= ,求AC与平面PBC所成

角的大小. (2004年全国文科试题)

E

F

slide246

例1.(05,全国,18)已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,AB∥DC, 底面ABCD,且PA=AD=DC= AB=1,M是PB的中点。

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(Ⅰ)证明:面PAD⊥面PCD;

(Ⅱ)求AC与PB所成的角;

(Ⅲ)求面AMC与面BMC

所成二面角的大小。

slide247

例3、如图,直二面角D-AB-E中,四边形ABCD是边长为2的正方形,AE=EB,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE.例3、如图,直二面角D-AB-E中,四边形ABCD是边长为2的正方形,AE=EB,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE.

(Ⅰ)求证:AE⊥平面BCE;

(Ⅱ)求二面角B-AC-E的大小;

(Ⅲ)求点D到平面ACE的距离。

D

C

B

A

F

E

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slide248

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如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为矩形,侧棱PA⊥底面ABCD,AB= ,BC=1,PA=2,E为PD的中点.

(Ⅰ)求直线AC与PB所成角的余弦值;

(Ⅱ)在侧面PAB内找一点N,使NE⊥面PAC,并求出N点到AB和AP的距离.

slide249

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思想方法:

空间的距离主要指点面距、线面距和面面距,

而后两种的求解一般可转化为第一种,即线面距

及面面距都是通过转化最终转为求解点面距解决

而完成的。(转化的思想)

例如:求一个平面的一条平行线上一点到这个

平面的距离较难时,可转化为平行线上其他的点

到这个平面的距离。