Download
1 / 42
430 likes | 791 Views
PREZENTACJA W RAMACH mgp temat ,, konstrukcje cyrklem”. PRZY WSPÓŁPRACY ZESPOŁU SZKÓŁ PONADGIMNAZJALNEGO W BIAŁOGARDZIE ORAZ
E N D
PREZENTACJA W RAMACH mgp temat ,, konstrukcje cyrklem” • PRZY WSPÓŁPRACY • ZESPOŁU SZKÓŁ PONADGIMNAZJALNEGO • W BIAŁOGARDZIE • ORAZ • ZESPOŁU SZKÓŁ CHEMICZNYCH • W POZNANIU.
Dane INFORMACYJNE • Nazwa szkoły: ZSP w Białogardzie • ID grupy: 97/22_MF_G1 • Opiekun: Renata Karczewska - Siudowska • Kompetencja: Matematyczno - fizyczna • Temat projektowy: Konstrukcje cyrklem. • Semestr/rok szkolny: III 2010/2011
Ogólne zagadnienia: • Wzajemne położenie prostej i okręgu. • Styczna do okręgu. • Symetralna odcinka. • Dwusieczna kąta. • Pięciokąt foremny. • Kwadrat. • Trójkąt równoboczny. • Sześciokąt foremny.
Ogólne zagadnienia c.d. • Twierdzenie Talesa. • Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa. • Wzajemne położenie trójkątów. • Okrąg wpisany w trójkąt. • Okrąg opisany na trójkącie.
Wzajemne położenie prostej i okręgu . Właściwości wielokątów
W zależności od położenia prostej względem okręgu mamy: • odległość środka okręgu od prostej jest większa od długości promienia. • odległość środka okręgu od prostej jest równa długości promienia. • odległość środka okręgu od prostej jest mniejsza od długości promienia.
Styczna do okręgu Styczną do okręgu nazywamy prostą, która ma z okręgiem tylko jeden punkt wspólny. A - punkt styczności
Styczna do okręgu jest prostopadła do promienia poprowadzonegodo punktu styczności. Jeżeli odległość prostej od środka okręgu jest większa od długości promienia, to prosta leży całkowicie poza okręgiem
Jeżeli odległość prostej od środka okręgu jest mniejsza od długości promienia to prosta ma dokładnie dwa punkty wspólne.Taką prostą nazywamy sieczną okręgu
STYCZNA DO OKRĘGU Opis konstrukcji: -mamy dany dowolny okrąg o promieniu w środku S i punkt A na okręgu -rysujemy półprostą o początku w punkcie S przechodzącą przez punkt A -na półprostej ISAI zaznaczamy punkt B spełniający warunek ISBI=2 ISAI -kreślimy symetralną odcinka ISBI -otrzymana symetralna jest styczną do okręgu S A B
SYMETRALNA ODCINKA Opis konstrukcji: -mamy dane dowolny odcinek -w końcach odcinka wbijamy cyrkiel i kreślimy łuki promieniem większym niż połowa odcinka -przez punkty przecięcia prowadzimy symetralną
DWUSIECZNA KĄTA Opis konstrukcji: -mamy dany dowolny kąt -na ramionach kreślimy łuki o środku w wierzchołku kąta i dowolnym promieniu -w punktach przecięcia łuków z ramionami kreślimy przecinające się łuki o dowolnym promieniu -kreślimy półprostą o początku w wierzchołku kąta i przechodzącą przez punkt przecięcia łuków
Pięciokąt foremny C Opis konstrukcji: -kreślimy dwie proste prostopadłe i z punktu przecięcia S zataczamy dowolnym promieniem okrąg -z punktu K będącego środkiem promienia SB, zataczamy łuk promieniem KC -odcinek LA jest bokiem pięciokąta wpisanego w okrąg D L K S B A
KWADRAT C Opis konstrukcji: -mamy dany okrąg -kreślimy średnicę i symetralną tej średnicy -punkty przecięcia symetralnej i średnicy z okręgiem wyznaczają wierzchołki kwadratu D B A
TRÓJKĄT RÓWNOBOCZNY C Opis konstrukcji: -mamy dany odcinek AB -w punkcie A i w punkcie B kreślimy łuki o promieniu IABI -punkt przecięcia łuków jest wierzchołkiem trójkąta A B
SZEŚCIOKĄT FOREMNY Opis konstrukcji: -kreślimy okrąg o dowolnym promieniu -na okręgu odmierzamy sześć odcinków rozwartością cyrkla równą promieniowi
Jeżeli ramiona kąta przetniemy dwiema prostymi równoległymi, to długości odcinków wyznaczone przez te proste na jednym ramieniu kąta są proporcjonalne do długości odpowiednich odcinków wyznaczonych przez te proste na drugim ramieniu kąta. Jeżeli k || l, to: a b = c d , a c = b d , a a+b = c c+d = x y
Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa. Jeśli odcinki wyznaczone przez dwie proste na jednym ramieniu kąta są proporcjonalne do odpowiednich odcinków wyznaczonych przez te proste na drugim ramieniu kąta, to proste te są równoległe
Cechy podobieństwa trójkątów, to warunki konieczne i wystarczające na to, aby dwa trójkąty były podobne. Podobieństwo trójkątów oznaczamy symbolem ~ I cecha podobieństwa trójkątów b'b = a'a = c'c = k k - skala podobieństwaΔABC ~ ΔA'B'C' Jeżeli boki jednego trójkąta są proporcjonalne do odpowiednich boków drugiego trójkąta, to trójkąty są podobne.
II cecha podobieństwa trójkątów α = α'β = β'ΔABC ~ ΔA'B'C' Jeżeli miary dwóch kątów jednego trójkąta są równe miarom odpowiednich dwóch kątów drugiego trójkąta, to trójkąty są podobne.
III cecha podobieństwa trójkątów α = α'b'b = a'a ΔABC ~ ΔA'B'C' Jeżeli dwa boki jednego trójkąta są proporcjonalne do dwóch boków drugiego trójkąta, a kąty między nimi zawarte są przystające, to trójkąty są podobne.
OKRĄG WPISANY W TRÓJKĄT Opis konstrukcji: -mamy dany dowolny trójkąt -konstruujemy dwusieczne dwóch kątów -punkt przecięcia dwusiecznych oznaczamy literą S -kreślimy prostą przechodzącą przez punkt S -rysujemy okrąg o promieniu ISLI s
OKRĄG OPISANY NA TRÓJKĄCIE Opis konstrukcji: -dany jest dowolny trójkąt -kreślimy symetralne boków -punkt przecięcia oznacza środek okręgu
Dane INFORMACYJNE • Nazwa szkoły: • Zespół Szkół Chemicznych w Poznaniu • ID grupy: 97/39_MF_G1 • Opiekun: Karolina Grzesińska • Kompetencja: • Matematyczno-fizyczna • Temat projektowy: • Konstrukcje cyrklem • Semestr/rok szkolny: • Trzeci/ 2010-2011
Ogólne zagadnienia: • Zasady konstrukcji • Twierdzenie Mohra-Mascheroniego • Rektyfikacja okręgu • Konstrukcja Kochańskiego • Ślimak Teodorosa • Konstrukcje niewykonalne
Zasady konstrukcji • Obydwa narzędzia są wyidealizowane – cyrkiel może być rozwarty na dowolną szerokość, a linijka jest jednostronna (tj. nie wolno korzystać z drugiej krawędzi) i ma potencjalnie nieskończoną długość. Jedyne dozwolone wykorzystanie cyrkla to kreślenie okręgów o środkach w punktach, które już są dane i promieniach równych odcinkom wyznaczonym przez dane lub już skonstruowane punkty; jedyne dozwolone wykorzystanie linijki to rysowanie (lub przedłużanie) odcinków wyznaczonych przez dane lub już skonstruowane punkty. • Poza tym mając dane: • dwie proste • prostą i okrąg • dwa okręgi • można znaleźć ich punkty wspólne, lub stwierdzić że ich nie ma. • Inne czynności są niedozwolone.
Zasady konstrukcji c.d. Możliwe operacje przy konstrukcjach klasycznych
Konstrukcje samym cyrklem Jeżeli dana konstrukcja geometryczna jest wykonalna za pomocą cyrkla i linijki, to jest wykonalna za pomocą samego cyrkla, pod warunkiem, że ograniczymy się do wyznaczania punktów konstrukcji, a pominiemy rysowanie linii (twierdzenie Mohra-Mascheroniego).
Twierdzenie Mohra - Mascheroniego Mówi, że jeżeli dana konstrukcja geometryczna jest wykonalna za pomocą cyrkla i linijki, to jest wykonalna za pomocą samego cyrkla, pod warunkiem, że ograniczymy się do wyznaczania punktów konstrukcji, a pominiemy rysowanie linii. Wynik ten został opublikowany w roku 1672 przez Georga Mohra, był jednak nieznany aż do roku 1928. Niezależnie od Mohra twierdzenie zostało odkryte przez Lorenzo Mascheroniego w roku 1797.
Rektyfikacja okręgu czyli wyprostowanie okręgu Zadanie polegające na skonstruowaniu przy użyciu cyrkla i linijki bez podziałki, odcinka, którego długość jest równa obwodowi danego okręgu. Konstrukcja ta jest niewykonalna, co wynika z faktu, iż π jest liczbą przestępną. Znanych jest wiele konstrukcji przybliżonych, jedna z nich została podana w 1685 roku przez nadwornego matematyka króla Jana III Sobieskiego, Adama Adamandego Kochańskiego.
Konstrukcja Kochańskiego Następująca konstrukcja daje mimo swej prostoty, stosunkowo dokładne przybliżenie liczby . • dany jest okrąg i styczna w punkcie A. • Z punktu A promieniem okręgu zakreślamy łuk, który przecina okrąg w punkcie C. • Z punktu C promieniem okręgu zakreślamy łuk – oba łuki przecinają się w punkcie D. • Prosta OD przecina daną styczną do okręgu w punkcie E. • Od E odkładamy trzy długości promienia |OA| w kierunku punktu A i otrzymujemy punkt F. • Odcinek FB łączy F z końcem średnicy okręgu wyznaczonej przez OA. Jego długość jest w przybliżeniu równa połowie obwodu okręgu. • Obliczona dla tej konstrukcji wartość p jest równa 3,14153334..., podczas gdy dokładna wynosi 3,14159265..., zatem błąd obliczeń jest równy zaledwie ok. 0,002%.
Ślimak Teodorosa W matematyce, konstrukcja geometryczna, pozwalająca stworzyć odcinek o długości równej pierwiastkowi z liczby naturalnej. Pomysł konstrukcji opiera się na twierdzeniu Pitagorasa. Nazwa konstrukcji pochodzi od imienia greckiego matematyka i filozofa, Teodorosa z Cyreny.
Ślimak Teodorosa c.d. Szczegóły konstrukcji: • Budujemy równoramienny trójkąt prostokątny o ramieniu równym 1. Przeciwprostokątna trójkąta daje • Konstruujemy kolejny trójkąt prostokątny, którego jednym z ramion jest przeciwprostokątna trójkąta z pkt. 1., a drugie ramię ma długość 1. Przeciwprostokątna otrzymanego trójkąta ma długość . • Kontynuujemy konstrukcję tworząc kolejny trójkąt prostokątny, której jeden z boków jest zarazem przeciwprostokątną trójkąta z poprzedniego punktu, a drugi bok ma długość 1.
Konstrukcje niewykonalne To tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których nie można wykonać za pomocą linijki i cyrkla. Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne sformułowane w starożytnej Grecji: • Podwojenie sześcianu– Wielki problem starożytnej matematyki greckiej, polegająca na zbudowaniu sześcianu o objętości dwa razy większej niż dany sześcian • Trysekcja kąta- Polega ona na podziale kąta na trzy równe części jedynie przy użyciu cyrkla i linijki. W roku 1837 Pierre Wantzel udowodnił, że konstrukcja taka w ogólnym przypadku jest niewykonalna • Kwadratura koła- problem polegający na skonstruowaniu kwadratu, którego pole równe jest polu danego koła przy użyciu wyłącznie cyrkla i linijki bez podziałki.
