整数的整除性

1. 整数的整除性 一、整除的意义和性质

5. 例2，设 求证： 中必有一个能被3整除 证：如果a,b中至少有一个能被3整除，则命题显然成立 若a,b都不能被3整除，则 若 ，则 ，则必有 （或2）或 若 （或1）

6. 例3：已知b为各位数码全是9的31位数，a为各位数码全是9的1984位数，求证例3：已知b为各位数码全是9的31位数，a为各位数码全是9的1984位数，求证 证：

7. 最大公约数 定义7.3.1设al,a2,…,an和d都是正整数,n≥2. 若d|ai, 1≤i≤n, 则称d是al,a2,…,an.的公因数. 在公因数中最大的那一个数, 称为al,a2,…,an的最大公因数, 记为gcd{al,a2,…,an}. (greatest common divisor)或(al,a2,…,an). 若gcd(al,a2,…,an)=1, 称al,a2,…,an是互素的.

8. 定理7.3.1设a和b都是正整数, 且a>b, a=bq+r 0<r<b 其中q和r都是正整数. 则: ①a和b的任一公因数也是b和r的公因数； ②b和r的任一公因数也是a和b的公因数； ③(a,b)=(b,r); ④若(a,b)=d, 则 (a|d, b|d)=1. 证明 ①若d|a且b|d, 则d|(a-bq)或d|r. 这即表明: d是a和b的公因数, d必是b和r的公因数. ②若d|b且d|r, 则: d|(bq＋r)或d|a. 这即是说d是b和 r的公因数, d也必是a和b的公因数. ③由①和②知, a和b的公因数集合等于b和r的公因数集合，故两个集合的最大整数相同, 即(a,b)=(b,r). (a,b)=(b,r)的证明也可不基于①和②, 另有证法. 因为(a,b)|a, (a,b)|b, 故(a,b)|(a-bq)或(a,b)|r. 因而(a,b)≤(b,r). 同法可证(b,r) ≤(a,b).于是得到(a,b)=(b,c).

9. ④假设c=(a/d,b/d). 显然c≥1, 只要再证明c≤1即得c=1. 因为c|(a/d), c|(b/d), 于是a/d=cu, b/d=cv或(cd)u=a, (cd)v=b, 即知d是a和b的公因数, 所以ad≤(a,b), 即cd≤d. 由于d≥1, 可得c≤1, 因此, c=1.

10. 定理7.3.2 (Euclid)欧几里德算法. 设: a≥b＞0, 且: a=bq1+r1, 0＜rl＜b b=r1q2+r2, 0＜r2＜r1 r1=r2q3+r3, 0＜r3＜r2 ……. rn-2=rn-1qn+rn, 0＜rn＜rn-1 rn-1=rnqn+1+0 则(a,b)=rn.

11. 例：求（58548 ， 13776，10824，3567）

12. 定理 若任给整数 a>0, b>0, 则存在整数x和 y, 使得(a,b)= ax+by. 推论：若（a,b)=1,则必存在整数x,y，使 ax+by=1 定理4 对于任意的整数a，b，c，下面的结论成立： (ⅰ) 由bac及(a, b)=1可以推出bc； (ⅱ) 由bc，ac及(a, b)=1可以推abc。 证明 (ⅰ) 若(a, b)=1，由定理2，存在整数x与y，使得 ax  by =1。 因此 acx  bcy = c。 (2) 由上式及bac得到bc。结论(ⅰ)得证； (ⅱ) 若(a, b)=1，则存在整数x，y使得式(2)成立。由bc与ac得到abac，abbc，再由式(2)得到abc。结论(ⅱ)得证。