바이오공정양론

1. 바이오공정양론 2013. 03. 14(목) 건양대학교 제약생명공학과 교수: 송기창 songkc@konyang.ac.kr 016-9520-1599

2. Chapter 2 공학계산입문 2.1 단위와 차원 o 차원(Dimension): 길이, 시간, 질량, 온도 등과 같이 측정의 기본 개념이 되는 특성 또는 길이/시간(=속도), 길이3(=부피), 질량/길이3(=밀도) 등과 같이 다른 차원을 곱하거나 나누어서 계산된 특성 o 단위(Unit): 이러한 차원의 구체적인 표현 수단 예) 길이의 단위: ft, cm 시간의 단위: h, s 단위의 덧셈, 뺄셈 3cm - 1cm = 2cm 5kg + 3cm = ? 3cm – 1mm =? (차원이 같으므로 단위환산을 이용해 계산 가능) 두 양의 수치는 그 단위가 같을 때 만 덧셈, 뺄셈이 가능하다.

3. Chapter 2 공학계산입문 단위의 곱셈, 나눗셈 3N x 4m = 12N·m 5km/2h = 2.5km/h 7km/h x 4h = 28km 3m x 4m = 12m2 6cm x 5cm/s = 30cm2/s 6g/2g = 3 (무차원량) (5kg/s)/(0.2kg/m3)=25m3/s 수치와 단위들은 곱셈이나 나눗셈으로 언제든지 조합될 수 있다.

4. Chapter 2 공학계산입문 2.2 단위 환산 필요성: 어느 단위로 표현된 양을 다른 단위의 해당량으로 바꾸기 위해 필요 (새단위/구단위) 또는 (구단위/새단위) 예제 2.2-1) 1cm/s2을 km/yr2의 단위로 환산하시오.

5. Chapter 2 공학계산입문 2.3 단위계 o 단위의 종류 1) 기본단위: 길이, 질량, 시간, 온도, 전류, 광도 등의 차원을 갖는 단위 m, kg, s, K, A, cd

6. Chapter 2 공학계산입문 2.3 단위계 2) 배수단위: 분, 시간, 밀리초 등과 같이 기본단위의 배수나 분율로 정의된 단위 cm, km, mm, g, mg, ton, mA - 배수단위 접두어 tera(T)=1012, centi(c)=10-2 giga(G)=109, milli(m)=10-3 mega(M)=106, micro(μ)=10-6 kilo(k)=103, nano(n)=10-9

7. Chapter 2 공학계산입문 2.3 단위계 3) 유도단위 (a) 기본단위나 복수단위의 곱이나 나눔으로 얻어짐(합성단위) cm2, ft/min, kg‧ m/s2 (b) 합성단위로 표시되는 정의식 1dyne= 1g‧ cm/s2 1 lbf= 32.174 lbm‧ ft/s2

8. Chapter 2 공학계산입문 2.3 단위계 o 상용단위계 1) SI단위계 가장 많이 사용하는 단위로 과학, 공학, 일반에서 앞으로 이 단위로 통일됨 길이 기본단위: m, 질량: kg, 시간: s, 온도:K, 전류:A, 광도:cd, 몰: mol 2) CGS단위계 길이 기본단위: cm, 질량: g, 시간: s, 온도:K, 전류:A, 광도:cd, 몰: mol 3) AES단위계(미국공학단위계) 길이 기본단위: ft, 질량: lbm, 시간: s, 온도:oR, 전류:A, 광도:cd, 몰: lb-mol 예제 2.3-1) 23 lbm‧ ft/min2을kg‧ cm/s2의 단위로 환산하시오.

9. 단위환산인자 Mass: 1 lbm=453.6g=16 oz Length: 1 ft=30.48cm =12in, 1in=2.54cm, 1yd=3ft 1 mile=5280ft=1.609km Volume: 1m3=1000L=106 cm3, 1gal=3.785L Force: 1N=105dyne=0.22481 lbf

10. 2.4 힘과 무게 1) 힘(force) Newton의 운동 제 2법칙 F = m a 힘(force) = 질량 × 가속도(길이/시간2) 단위 : kg · m/s2(SI), g · cm/s2(CGS), lbm· ft/s2(미공학) → 일일이 다 쓰기 불편 ∴ 유도단위 사용 즉 1 newton(N) ≡ 1 kg· m/s2 1 dyne ≡ 1 g · cm/s2 1 lbf ≡ 32.174 lbm· ft/s2 (단위질량(lbm)과 위도 45°해면에서 중력가속도 (33.174ft/s2)의 곱) 1N=105 dyne 1N=0.22481 lbf

11. 예1) 4kg의 질량을 9m/s2의 가속도로 움직이기 위해서 필요한 힘(N)은? F=36N 예2) 4 lbm의 질량을 9 ft/s2의 가속도로 움직이기 위해서 필요한 힘(lbf)은? F=1.12lbf 2) 무게(weight) : 지구의 중력(=g 중력가속도)에 의해서 물체에 미치는 힘. W = m g 표준중력가속도 g = 9.8066 m/s2 = 980.66 cm/s2 = 32.174 ft/s2 예제 2.4-1) ① 물의 밀도 = 62.4 lbm/ft3일 때 물 2 ft3의 무게는?(단, 위도 45° 해면에서) 해) M=( 62.4 lbm/ft3 )( 2 ft3) = 124.8 lbm • W=mg=(124.8 lbm)( 32.174 ft/s2)[1 lbf /(32.174 lbm· ft/s2)] = 124.8 lbf ② 고도가 5374ft이고 g(중력가속도)=32.139ft/s2인 곳에서 물 2 ft3의 무게는? W=mg=(124.8 lbm)( 32.139 ft/s2)[1 lbf /(32.174 lbm· ft/s2)] = 124.7 lbf

12. 연습문제 2) 175N‧ m/kg‧ s 크기의 양을 다음의 단위로 표시하시오. CGS단위 1.75x106 [(dyne·cm)/(g·s)] AES단위 58.56 [(lbf·ft)/(lbm·s)] 연습문제 3) 질경이 3mm, 높이가 72cm인 수은주(밀도 13.6g/cm3)가 있다. 수은의 무게는 몇 N이며, 또 몇 lbf인가? 그리고 질량은 몇 lbm인가? 해) 수은의 질량 m(g)=πr2h=69.2g 수은의 무게 w=mg=(0.0692kg)(9.8m/s2)[1N/(1kg·m/s2)]=0.679N w(lbf)=(0.679N)(0.22481 lbf/1N)= 0.153lbf m(lbm)=(0.0692kg)(1lbm/0.4536kg)=0.153lbm

13. 2.5 수치적 계산 및 추산 1) 과학적 기호법(scientific notation) 숫자 = 수와 10의 멱과의 곱 ex) 123,000,000 = 1.23 × 108(or 0.123 × 109) 0.000028 = 2.8 × 10-5(or 0.28 × 10-4) 2) 유효숫자 : 수의 정확성을 나타냄 ex1) 2300 또는 2.3×103 (유효숫자 2개) 2300. 또는 2.300×103 (유효숫자 4개) 2300.0 또는 2.3000×103 (유효숫자 5개) ex2) 23,040 또는 2.304×104 (유효숫자 4개) ex3) 0.035 또는 3.5×10-2 (유효숫자 2개) 0.03500 또는 3.500×10-2 (유효숫자 4개)

14. o 유효숫자가 많을수록 더욱 정밀한 값이 된다. 8.3 g (8.25-8.35g 사이 질량) 8.300g (8.2995-8.3005g 사이 질량) o 정확히 알려진 수는 [정수(2) 혹은 헤아릴 수 있는 양(16개의 사과)등] 무한한 유효숫자를 갖는다. 예) 소5마리: 5.00000‧ ‧ ‧ ‧ ‧ ‧ ‧ ‧ ‧ ‧를 의미 3) 유효숫자 계산 규칙 ① 둘 혹은 둘 이상의 양이 곱하거나 나누어 조합할 때, 이 결과의 유효숫자 수는 그들 중 최소 유효숫자 수와 같다. ex) 3.57×4.286 = 15.30102 ≒ 15.3 (5.2×10-4)×(0.1635×107)/(2.67) = 318.426966 ≒ 3.2×102 ≒ 320 ② 둘 또는 둘 이상의 수를 더하거나 뺄 때는 마지막 유효숫자의 위치를 비교하여 가장 큰 유효숫자 자리로 최종 허용 유효숫자 자리를 취한다. ↓ ex) 1530 ↓ 1.0000 + 0.036 + 0.22 - 2.56 = 1.2560 ≒ 1.26 1,527.44 ≒ 1530

15. 2.6 차원의 균일성과 무차원 양 o 모든 수식은 차원의 균일성이 있어야 한다. 즉 방정식 양변의 모든 항들은 반드시 동일한 차원을 가져야 한다. 1) 방정식의 각 항의 “차원”들이 같아야 한다. ex) V(m/s) = V0(m/s) + g(m/s2) × t(s) V(m/s) = V0+ g [이 식은 성립할 수 없다 ] ∵ 차원의 불일치 ex) V(m/s) = V0(m/s) +g(m/s2)·t(s)에서 시간을 분(min)으로 하고, 다른 항은 그대로 표시하기를 원한다고 하면 V(m/s) = V0(m/s) + g(m/s2) × t‘(min) × (60sec/1min) = V0(m/s) + 60g(m/s2)·t‘(min)

16. 예제 2.6-1) D(ft) = 3t(s) + 4 1) 이 식이 맞으려면 3과 4의 차원은? sol) 차원이 일치해야 하므로 ∴ 3은 (길이/시간)차원, 4는 (길이)차원 2) 이 식이 맞으려면 3과 4의 단위는? 양 변의 단위가 같아야 하므로 3의 단위는 ft/s, 4의 단위는 ft 3) 거리는 m로, 시간은 min으로 나타낸 식으로 고치시오. sol) 새 변수를 D'(m), t'(min)라 하면 • ① D(ft) = D’(m)(1ft/0.3048m) = 3.28D'(m) • ∵ D'(m) 즉 meter 단위를 대입했을 때 ft 단위가 나와야 하므로(앞의 예처럼) • ② 같은 방법으로 • t(s) = t’(min)(60s/1min) = 60t'(min) • ③ 본래 식에 대입 • ∴ 3.28D‘(m) = 3[60t‘(min)] + 4 • ④ 양변을 3.28로 나누어 정리하면 • D'(m) = 55t'(min) + 1.22 * 위의 과정을 정리하면 ① 원하는 단위를 갖는 새 변수들을 정의 ex) D‘(m), t’(min) ② 먼저 변수들을 그에 해당하는 새 변수들로 표기 ③ 원 식에, 새 변수로 표기된 것을 대입하여 정리

17. 연습문제 7) V(cm3)=et(s)의 식이 있다. V'(in3)을 t'(h)의 항으로 쓰시오. 1) t(s) = 3600 t'(h) 2) 16.39V'(in3) = exp[3600t'(h)] → V'(in3) = 0.06102exp[3600t'(h)] • 2) 무차원 양(dimensionless quantity) • 순수한 수(2, 1, 3, 5/2 등) 또는 아래 예와 같이 변수들의 조합에 의해 차원을 갖지 않은 양을 말한다. • ex) 여기서 M(g)/M0(g), D(cm)V(cm/s)ρ(g/cm3)/μ[g/(cm· s)] 와 같은 양을 무차원군(dimensionless group)이라 함. • - 지수 (x2에서 2), 초월함수(log, exp ≡e, sin, …) 및 초월함수의 인수(sin x에서 x)들은 반드시 무차원 양이어야 한다. • - 102ft, log(20s), sin(3dyne)은 의미가 없다.

18. 예제 2.6-2) k(mol/cm3·s) = 1.2 × 105 exp [-20,000(cal/mol)/{1.987T(K)}] 에서 1.2 × 105와 1.987의 단위는? 해) ① 차원 일치, exp(x)는 무차원 ∴ 1.2 × 105는 mol/cm3·s ② exp(x)에서 x는 무차원 (cal/mol)/[(1.987)(K)]=무차원 → 1.987은 (cal/mol)/K의 단위 가짐 자기학습) 1. y(m/s2)=a z(m3)에서 a의 단위는 무엇인가? 2. r(m), s(m/s2), t(s)를 조합하여 무차원 군을 만드시오. 3. Z(lbf)=a sin(Q)에서 a와 Q의 단위는 각각 무엇인가?

19. 2.7 공정 자료의 표현과 해석 • a. 2점 선형 내삽법 • x대 y의 플롯상에 (x1 , y1)과 (x2 , y2)를 통과하는 직선의 식은? • y = y1 + {(x-x1)/(x2-x1)}(y2-y1) • b. 데이터에 맞는 직선 긋기 • 두 점 (x1 , y1)과 (x2 , y2)가 직선 위에 있다고 하면,y = ax + b에서 • 기울기 a = (y2-y1)/(x2-x1) 절편 b = y1-ax1 = y2-ax2 • 예제 2.7-1) V = aR + b a= (V2-V1)/(R2-R1) = 1.62 b = V1 - aR1 = 3.8

20. c. 비선형 data의 선형화 직선을 나타내는 몇 가지 플롯 1. y = ax2+ b 2. y2= a/x + b 3. 1/y = a(x+3) + b 4. siny = a(x2- 4) 5. y= 1/(C1x-C2) 6. y = 1 + x(mx2+ n)1/2 직선이 아닌 data들을 직선이 되도록 plot하려면 ex) (Quantity 1) = a(Quantity 2) + b에서 직각 좌표지에 두 번째 양 대 첫 번째 양의 plot은 기울기가 a, 절편이 b인 직선이 된다.

21. 예제 2.7-2) m = aT1/2+ b 식을 만족시키는 a, b를 구하시오. 해) 기울기: a = (38.47-14.76)/(8.944-3.162)=4.10 절편: b = 14.76 - 4.10x3.162 = 1.80

22. o 비선형의 일반 형태(함수)는 지수함수(y=aebx)또는 멱함수(y=axb)등이다. 이를 선형(직선)으로 표현하기 위해 양변에 대수(log 또는 ln)를 취하여 직선방정식이 얻어지도록 정리한다. 자연대수 ln은 지수함수의 역이다. P = eQ ↔ lnP = Q ln(eQ) = Q and elnP= P lnx = 2.303 log10 x 자연대수 상용대수 y = a exp(bx) ↔ ln y = ln a + b x y = axb ↔ ln y = ln a + b ln x ln a = 3이면 a = exp(3)=20.1

23. d. 최소자승법 위의 4개의 점을 지나는 직선을 y = ax +b라 하면 i번째 데이터 점으로부터 직선까지의 수직선거리(편차) di= yi- (axi+ b) 이 편차가 0에 가까울 때 어떤 선에 데이터점이 잘 일치한다. n개의 데이터 점을 지나는 최선의 직선은 편차를 제곱한 항들의 합이 최소가 되는 것이다.(최소자승법)

24. Sx = 1/n ∑xi Sxx = 1/n ∑xi2 Sy = 1/n ∑yiSxy = 1/n ∑xiyi o 최적직선 y = ax + b 기울기 a = (Sxy-SxSy)/[Sxx-(Sx)2] 절편 b = (SxxSy-SxySx)/[Sxx-(Sx)2] 예제 A.1-1) 최소자승법을 이용하여 m과 r을 계산하시오. P= 해) 1/P = mt1/2 + r Sx = 1/n ∑xi = 1/5(1+1.414+1.732+2.236+3.162)=1.909 Sy = 7.014 Sxx = 4.2 Sxy = 15.582 = -0.517 m= =3.94 r=

25. e. 로그 좌표 o 로그 눈금 o 로그 용지(log paper): 양 축이 모두 로그 눈금으로 된 그래프 용지 o 반로그 용지(semilog paper): 한축은로그축으로 다른 한축은직각축으로 된 그래프 용지

26. 예제 2.7-3) 1. 반로그용지와2. 로그용지에 t에 대하여 F를 플롯한 결과, 점(t1=15, F1=0.298)과 점(t2=30, F2=0.0527)을 지나는 직선을 각각 얻었다. 각 경우에 F와 t의 관계식을 구하시오. 해) 1. 반로그용지 lnF = at + lnb lnF1 = at1 + lnb lnF2 = at2 + lnb a = ln(F2/F1)/(t2-t1) = ln(0.0527-0.298)/(30-15) = -0.1155 b = lnF1 - at1 = ln0.298 - (-0.1155)(15) = 0.5218 → b = exp(0.5218) = 1.685 lnF = -0.1155 t + ln1.685 → ln(F/1.685) = -0.1155 t → F = 1.685exp(-0.1155 t) 2. 로그용지 lnF = alnt + lnb lnF1 = alnt1 + lnb lnF2 = alnt2 + lnb a = ln(F2/F1)/ln(t2/t1) = ln(0.0527/0.298)/ln(30/15) = -2.5 lnb = lnF1 - alnt1 = ln0.298 – (-2.5)ln15 = 5.559 → b = exp(5.559) = 260 lnF = -2.5lnt + ln260 → ln(F/260) = -2.5lnt = lnt-2.5 → F = 260 t-2.5