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第五节　直线、平面垂直的判定及其性质

第五节　直线、平面垂直的判定及其性质. 点 击 考 纲 1. 以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理． 2. 能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题. 关 注 热 点 1. 以选择题、填空题的形式，考查线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理． 2. 解答题中一般以考查线面垂直、面面垂直的判定及逻辑推理能力为主． 3. 通过考查线面角、二面角，考查空间想象能力及运算能力，常以解答题的形式出现. 1 ．直线与平面垂直 (1) 直线和平面垂直的定义

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第五节　直线、平面垂直的判定及其性质

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  1. 第五节　直线、平面垂直的判定及其性质

  2. 点 击 考 纲 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理． 2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.

  3. 关 注 热 点 1.以选择题、填空题的形式，考查线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理． 2.解答题中一般以考查线面垂直、面面垂直的判定及逻辑推理能力为主． 3.通过考查线面角、二面角，考查空间想象能力及运算能力，常以解答题的形式出现.

  4. 1．直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 直线l与平面α内的一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直． 任何

  5. (2)直线与平面垂直的判定定理 两相交直线

  6. (3)直线与平面垂直的性质定理 平行

  7. 2.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的判定定理. 垂线

  8. (2)平面与平面垂直的性质定理 交线

  9. 1．直线l不垂直于平面α，则α内与l垂直的直线有()1．直线l不垂直于平面α，则α内与l垂直的直线有() A．0条　　　　　　　 B．1条 C．无数条 D．α内所有直线 解析：α内与l垂直的直线有无数条． 答案：C

  10. 2．设l、m、n均为直线，其中m、n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的()2．设l、m、n均为直线，其中m、n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的() A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：l⊥α⇒l⊥m，l⊥n，反之因为m、n不一定相交，故l⊥m且l⊥n不一定推出l⊥α. 答案：A

  11. 3．关于直线m，n与平面α，β，有以下四个命题：3．关于直线m，n与平面α，β，有以下四个命题： ①若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n； ②若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n； ③若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n； ④若m∥α，n∥β且α⊥β，则m∥n. 其中真命题的序号是() A．①②B．③④ C．①④D．②③ 解析：很明显①错，故排除A、C，②正确，排除B. 答案：D

  12. 4．P为△ABC所在平面外一点，且PA、PB、PC两两垂直，则下列命题：4．P为△ABC所在平面外一点，且PA、PB、PC两两垂直，则下列命题： ①PA⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC. 其中正确的个数是________．

  13. 解析：如图所示． ∵PA⊥PC、PA⊥PB，PC∩PB＝P， ∴PA⊥平面PBC. 又∵BC⊂平面PBC，∴PA⊥BC. 同理PB⊥AC、PC⊥AB.但AB不一定垂直于BC. 答案：3个

  14. 5．三棱锥P－ABC的顶点P在底面的射影为O，若PA＝PB＝PC，则点O为△ABC的________心，若PA、PB、PC两两垂直，则O为△ABC的________心．5．三棱锥P－ABC的顶点P在底面的射影为O，若PA＝PB＝PC，则点O为△ABC的________心，若PA、PB、PC两两垂直，则O为△ABC的________心． 解析：若PA＝PB＝PC，则O为△ABC的外心，若PA、PB、PC两两垂直，则O为△ABC的垂心． 答案：外　垂

  15. 如图所示，P为△ABC所在平面外一点，且PA⊥平面ABC，若O、Q分别为△ABC和△PBC的垂心．如图所示，P为△ABC所在平面外一点，且PA⊥平面ABC，若O、Q分别为△ABC和△PBC的垂心． 求证：OQ⊥平面PBC.

  16. 【思路导引】此题关键是在平面PBC内找出两条相交直线与OQ垂直．【思路导引】此题关键是在平面PBC内找出两条相交直线与OQ垂直．

  17. 【证明】如图，连结AO并延长交BC于E，连结PE，【证明】如图，连结AO并延长交BC于E，连结PE， ∵O为△ABC的垂心， ∴AE⊥BC. ∵PA⊥面ABC，BC⊂面ABC， ∴PA⊥BC. ∵PA∩AE＝A， ∴BC⊥面PAE.

  18. 又BC⊂面PBC，∴面PBC⊥面PAE， ∵PE⊂面PAE，∴BC⊥PE，而Q为△PBC的垂心， ∴Q∈PE，即OQ⊂面PAE，∴BC⊥OQ. 连结BO并延长交AC于F，连结BQ并延长交PC于H，连FH.∵O为△ABC的垂心，∴BF⊥AC. 又∵PA⊥BF，AC⊥BF，PA∩AC＝A，

  19. ∴BF⊥面PAC.而PC⊂面PAC，∴BF⊥PC， 又∵BH⊥PC，BF∩BH＝B， ∴PC⊥面BFH， 而OQ⊂面BFH，∴PC⊥OQ， 又∵PC⊥OQ，BC⊥OQ，PC∩BC＝C， ∴OQ⊥平面PBC.

  20. 【方法探究】欲证OQ⊥平面PBC，只要证明OQ与平面PBC中两相交直线垂直，因为PA⊥平面ABC，又因为O、Q均为三角形的垂心，因此可得到一系列的线线、线面垂直关系．而线线垂直、线面的垂直关系又可相互转化，即可由线线垂直证得线面垂直，由线面垂直又证得线线垂直．【方法探究】欲证OQ⊥平面PBC，只要证明OQ与平面PBC中两相交直线垂直，因为PA⊥平面ABC，又因为O、Q均为三角形的垂心，因此可得到一系列的线线、线面垂直关系．而线线垂直、线面的垂直关系又可相互转化，即可由线线垂直证得线面垂直，由线面垂直又证得线线垂直．

  21. 1．如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，A1A＝，D是A1B1的中点．1．如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，A1A＝，D是A1B1的中点． (1)求证：C1D⊥平面ABB1A1； (2)在BB1上找一点F，使AB1⊥平面C1DF，并说明理由．

  22. (1)证明：∵ABC－A1B1C1是直三棱柱， ∴AA1⊥平面A1B1C1. 又C1D⊂平面A1B1C1，∴C1D⊥A1A， 又A1C1＝B1C1＝AC＝BC＝1， D是A1B1的中点， ∴C1D⊥A1B1， ∴C1D⊥平面ABB1A1.

  23. (2)解析：作DE⊥AB1于E，延长DE交BB1于F， 连结C1F，则AB1⊥平面C1DF， 这是因为AB1⊥DF，AB1⊥C1D， DF∩C1D＝D，所以AB1⊥平面C1DF.

  24. 已知：正方体ABCD－A1B1C1D1(如图所示) (1)求证：B1D⊥BC1； (2)求证：B1D⊥面ACD1； (3)若B1D与面ACD1交于O，求证：DO∶OB1＝1∶2.

  25. 【思路导引】证明线线垂直，可利用线面垂直的性质，而证明线面垂直，可利用线面垂直的判定．【思路导引】证明线线垂直，可利用线面垂直的性质，而证明线面垂直，可利用线面垂直的判定． 【证明】(1)∵ABCD－A1B1C1D1为正方体， ∴DC⊥面BCC1B，∴DC⊥BC1， ∵BCC1B1为正方形， ∴BC1⊥B1C. 又∵DC∩B1C＝C， ∴BC1⊥平面B1CD， ∴BC1⊥B1D.

  26. (2)(1)中证明了体对角线B1D与面对角线BC1垂直，同理可证：B1D⊥AD1，B1D⊥AC.(2)(1)中证明了体对角线B1D与面对角线BC1垂直，同理可证：B1D⊥AD1，B1D⊥AC. ∴B1D⊥平面ACD1. (3)设AC与BD的交点为O′， 则平面BB1D1D与平面ACD1的交线为O′D1，则O′D1与B1D的交点即为O，

  27. 【方法探究】证明线线垂直的常用方法有： (1)利用定义：同一平面内相交成直角时，两直线互相垂直，异面直线成直角时，两条异面直线互相垂直． (2)利用线面垂直：一条直线与一平面垂直，这条直线垂直于平面内任一直线． (3)利用向量：把证明两直线垂直问题转化为两直线的方向向量垂直的问题．

  28. 2．对于四面体ABCD，给出下列四个命题 ①若AB＝AC，BD＝CD，则BC⊥AD； ②若AB＝CD，AC＝BD，则BC⊥AD； ③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD； ④若AB⊥CD，BD⊥AC，则BC⊥AD. 其中正确的是________．

  29. 解析：对于命题①，取BC的中点E.如图(1)所示，解析：对于命题①，取BC的中点E.如图(1)所示， 连结AE、DE，则BC⊥面AED，∴BC⊥AD，对于命题④， 过A向平面BCD做垂线AO(如图(2)所示)．

  30. 连结BO与CD交于E，则CD⊥BE，同理CF⊥BD. ∴O为△BCD垂心，连DO，则BC⊥DO，BC⊥AO， ∴BC⊥AD. 答案：①④

  31. 如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD. (1)求证：AD⊥PB； (2)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论．

  32. (1)【证明】如图，取AD的中点G，连接PG，BG，BD.(1)【证明】如图，取AD的中点G，连接PG，BG，BD. ∵△PAD为等边三角形， ∴PG⊥AD， 又∵平面PAD⊥平面ABCD， ∴PG⊥平面ABCD. 在△ABD中，∠DAB＝60°， AD＝AB， ∴△ABD为等边三角形，∴BG⊥AD， ∴AD⊥平面PBG，∴AD⊥PB.

  33. (2)【解析】连接CG，DE，且CG与DE相交于H点， 在△PGC中作HF∥PG， 交PC于F点，连接DF， ∴FH⊥平面ABCD， ∴平面DHF⊥平面ABCD. ∵H是CG的中点，∴F是PC的中点， ∴在PC上存在一点F，即为PC的中点，使得平面DEF⊥平面ABCD.

  34. 【方法探究】证明直线和平面垂直，关键是寻找面内的两相交直线与已知直线垂直．证明两平面垂直常转化为线面垂直，利用判定定理来证明，也可作出二面角的平面角，证明平面角为直角，利用定义来证明．【方法探究】证明直线和平面垂直，关键是寻找面内的两相交直线与已知直线垂直．证明两平面垂直常转化为线面垂直，利用判定定理来证明，也可作出二面角的平面角，证明平面角为直角，利用定义来证明．

  35. 3．(2009·山东高考)如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，E，E1分别是棱AD，AA1的中点．3．(2009·山东高考)如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，E，E1分别是棱AD，AA1的中点．

  36. (1)设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥平面FCC1；(1)设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥平面FCC1； (2)证明：平面D1AC⊥平面BB1C1C. 证明：(1)法一：取A1B1的中点为F1，连结FF1，C1F1.

  37. 法二：因为F为AB的中点，CD＝2，AB＝4，AB∥CD，所以CD綊AF，因此四边形AFCD为平行四边形，所以AD∥FC.又CC1∥DD1，FC∩CC1＝C，FC⊂平面FCC1，CC1⊂平面FCC1，AD∩DD1＝D，AD⊂平面ADD1A1，DD1⊂平面ADD1A1，所以平面ADD1A1∥平面FCC1，又EE1⊂平面ADD1A1，所以EE1∥平面FCC1.法二：因为F为AB的中点，CD＝2，AB＝4，AB∥CD，所以CD綊AF，因此四边形AFCD为平行四边形，所以AD∥FC.又CC1∥DD1，FC∩CC1＝C，FC⊂平面FCC1，CC1⊂平面FCC1，AD∩DD1＝D，AD⊂平面ADD1A1，DD1⊂平面ADD1A1，所以平面ADD1A1∥平面FCC1，又EE1⊂平面ADD1A1，所以EE1∥平面FCC1.

  38. (2)连结AC，在△FBC中，FC＝BC＝FB， 又F为AB的中点，所以AF＝FC＝FB，因此∠ACB＝90°，即AC⊥BC. 又AC⊥CC1，且CC1∩BC＝C，所以AC⊥平面BB1C1C，而AC⊂平面D1AC，故平面D1AC⊥平面BB1C1C.

  39. (2010·北京高考，14分)如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝，CE＝EF＝1.(2010·北京高考，14分)如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝，CE＝EF＝1. (1)求证：AF∥平面BDE； (2)求证：CF⊥平面BDE.

  40. 所以四边形AGEF为平行四边形， 所以AF∥EG.(3分) 因为EG⊂平面BDE，AF⊄平面BDE， 所以AF∥平面BDE.(6分)

  41. (2)连结FG. 因为EF∥CG，EF＝CG＝1，且CE＝1， 所以四边形CEFG为菱形．(8分) 所以CF⊥EG. 因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC.(10分) 又因为平面ACEF⊥平面ABCD， 且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，

  42. 所以BD⊥平面ACEF. 所以CF⊥BD.(12分) 又BD∩EG＝G. 所以CF⊥平面BDE.(14分)

  43. 【评价探究】本题考查了线面平行和垂直的判定方法．线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化是证明第(2)问的关键．只要掌握了线面平行和垂直的基本方法，解答此题并不困难．失分原因在于书写不规范、推理不严谨．【评价探究】本题考查了线面平行和垂直的判定方法．线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化是证明第(2)问的关键．只要掌握了线面平行和垂直的基本方法，解答此题并不困难．失分原因在于书写不规范、推理不严谨．

  44. 【考向分析】　从近两年的高考试题来看，线面垂直的判定与性质、面面垂直的判定与性质，以及线面角、二面角的求法等是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题突出“小而巧”，主要考查垂直的判定及性质，考查线面角、二面角的概念及求法，主观题考查较全面，在考查上述知识的同时，还注重考查空间想象能力、逻辑推理能力以及分析问题、解决问题的能力．【考向分析】　从近两年的高考试题来看，线面垂直的判定与性质、面面垂直的判定与性质，以及线面角、二面角的求法等是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题突出“小而巧”，主要考查垂直的判定及性质，考查线面角、二面角的概念及求法，主观题考查较全面，在考查上述知识的同时，还注重考查空间想象能力、逻辑推理能力以及分析问题、解决问题的能力． 预测2012年高考仍将以线面垂直、面面垂直、线面角、二面角为主要考点，重点考查学生的空间想象能力以及逻辑推理能力．

  45. 1．直线a⊥直线b，a⊥平面β，则b与β的位置关系是()1．直线a⊥直线b，a⊥平面β，则b与β的位置关系是() A．b⊥β B．b∥β C．b⊂β D．b⊂β或b∥β 解析：由垂直和平行的有关性质可知b⊂β或b∥β. 答案：D

  46. 2．已知直线a和两个平面α，β，给出下列四个命题：2．已知直线a和两个平面α，β，给出下列四个命题： ①若a∥α，则α内的任何直线都与a平行； ②若a⊥α，则α内的任何直线都与a垂直； ③若α∥β，则β内的任何直线都与α平行； ④若α⊥β，则β内的任何直线都与α垂直． 则其中() A．②、③为真 B．①、②为真 C．①、④为真 D．③、④为真

  47. 解析：若a∥α，则α内的无数条直线都与a平行，但不是任意一条，即①不正确；若a⊥α，则α内的任何直线都与a垂直，即②正确；若α∥β，则β内的任何直线都与α平行，即③正确；若α⊥β，则β内有无数条直线都与α垂直，但不是任意一条，即④不正确，综上可得②、③为真，故应选A.解析：若a∥α，则α内的无数条直线都与a平行，但不是任意一条，即①不正确；若a⊥α，则α内的任何直线都与a垂直，即②正确；若α∥β，则β内的任何直线都与α平行，即③正确；若α⊥β，则β内有无数条直线都与α垂直，但不是任意一条，即④不正确，综上可得②、③为真，故应选A. 答案：A

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