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第三章 风险与收益的衡量

第三章 风险与收益的衡量. 第一节 相关概率论知识的回顾 一、随机变量及其概率分布 离散型随机变量和连续型随机变量。 离散型随机变量：随机变量 X 的取值为有限个或 可数无限个。 我们用其分布列来描述它： X 的取值为 x1,x2,… 其对应的概率为 P1,P2,… 这里， P1,P2,…>=0； P1+P2+…=1. 连续型随机变量：随机变量 X 的取值为不可列无限大。 分布函数的定义： （离散和连续都适用） F(x)=Pr(X<=x)

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第三章 风险与收益的衡量

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  1. 第三章 风险与收益的衡量 广东金融学院　投资学精品课程

  2. 第一节 相关概率论知识的回顾 一、随机变量及其概率分布 离散型随机变量和连续型随机变量。 离散型随机变量：随机变量X的取值为有限个或 可数无限个。 我们用其分布列来描述它：X的取值为x1,x2,… 其对应的概率为P1,P2,… 这里，P1,P2,…>=0； P1+P2+…=1 广东金融学院　投资学精品课程

  3. 连续型随机变量：随机变量X的取值为不可列无限大。连续型随机变量：随机变量X的取值为不可列无限大。 分布函数的定义： （离散和连续都适用） F(x)=Pr(X<=x) 在连续的情形，若存在非负的f(x)满足 那么，f(x)称为随机变量X的密度函数。 广东金融学院　投资学精品课程

  4. 离散型随机变量用分布列来描述； 连续型随机变量用密度函数来描述； 分布函数及密度函数的意义！ 离散型的举例： 连续型的举例：正态分布： 平均为0，方差为1时，称为标准正态分布。 均匀分布：U(a,b) 若 a<=x<=b,有f(x)=1/(b-a)；其它时候f(x)=0。 广东金融学院　投资学精品课程

  5. 二、期望值（平均值）及方差 、标准差 注意：样本与随机变量的平均和方差的区别和联 系。 随机变量的期望值的定义： 离散： 连续： 样本（历史数据）的平均： 几何意义及举例说明（投硬币和扔色子） 大数法则的简单介绍。 广东金融学院　投资学精品课程

  6. 方差的定义： 根据定义，离散的情形下有： 为简化计算，可以利用下式（证明）： 标准差的定义： 样本（历史数据）的方差： 方差和标准差的数学意义的说明，举例。 广东金融学院　投资学精品课程

  7. 三、协方差和相关系数 定义：Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} 反映了随机变量X和Y之间的线性关系。 由于它受度量单位的影响，更完美的度量 是如下的相关系数。 样本的协方差的定义： 样本的相关系数可以如上用样本的方差和协方差 来同样的定义。 思考：相关系数的大小范围以及含义！ 广东金融学院　投资学精品课程

  8. 四、几个简单的常用公式（要证明） X,Y,Z是随机变量，a,b是常数 E(a)=a ; Var(a)=0 E(aX)=aE(X) ; E(X+Y)=E(X)+E(Y) E(a+bX)=a+bE(X) Var(aX)=a2Var(X) Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y) Cov(X,aY)=aCov(X,Y) Cov(X,Y+Z)=Cov(X,Y)+Cov(X,Z) 广东金融学院　投资学精品课程

  9. 第二节 风险和收益的度量 一、单一资产的收益和风险的度量 收益率的概念： • 风险的定义：风险就是指未来收益的不确定性。 • 我们将收益率看做随机变量的话，由前面第一节的随机变量的期望值和方差的定义，可以定义期望收益（预期收益）。我们用收益的方差或者标准差来度量风险。 • 历史数据是母集团从取出的样本，所以历史数据的平均值和方差以及标准差的定义可以参照前面的样本的情形下各自的定义。 广东金融学院　投资学精品课程

  10. 二、资产组合的收益和风险的度量 • 对于资产组合，组合的收益率： • Wi是资产i的权重，即投资比例。 • 根据上节最后的公式，可以总结期望收益和方差公式如下： • 其中，协方差定义如下： • 例题 广东金融学院　投资学精品课程

  11. 例题1 离散情形的例子： • 风险(risk)是指未来收益的不确定性，不确定性的程度越高，风险就越大。 • 某资产期初价格10000元，未来的情况如下： 形势 概率 期末总价 总收益率 • 繁荣 0.25 13000元 30% • 正常增长 0.50 11000元 10% • 萧条 0.25 9000元 -10% • 计算期望收益率和方差等。 广东金融学院　投资学精品课程

  12. 解： • E(r)=∑p(s)r(s) • E(r)=(0.25×0.30)+(0.50×0.10)+[0.25×(-0.10)] • =0.075+0.05-0.025=0.10=10% • σ2=∑p(s)[r(s)-E(r)]2 • σ2=[0.25×(0.3-0.1)2+0.50×(0.1-0.1)2 • +0.25(-0.1-0.1)2 • =2% • 所以标准差为14.14% 实例：美国99年金融资产的收益和风险 大股票 长期国债 中期国债 国库券 通货膨胀 收益 12.50 5.31 5.16 3.76 3.22 风险 20.39 7.96 6.47 3.35 4.54 广东金融学院　投资学精品课程

  13. 例题2 用Excel软件的分析工具，分别生成正相关、 无相关、负相关的3组随机变量（3对数据 各100个）。计算3种情形的平均、方差、 协方差和相关系数并画出各自的散布图。 观察相关系数和散布图之间的关系。 广东金融学院　投资学精品课程

  14. 例题3 • 证明第一节的四里的所有常用公式。 • 例题4 • 证明相关系数的绝对值小于等于1。 广东金融学院　投资学精品课程

  15. 第三节 市场模型和系统风险 以下主要介绍单因素模型。

  16. 一、夏普的CAPM模型 • 夏普(William Sharpe)是美国斯坦福大学教授。 • 诺贝尔经济学评奖委员会认为CAPM已构成金融市场的现代价格理论的核心，它也被广泛用于经验分析，使丰富的金融统计数据可以得到系统而有效的利用。它是证券投资的实际研究和决策的一个重要基础。 • 1961年他写出博士论文，提出单因素模型。这极大地简少了计算数量。在1500只股票中选择资产组合只需要计算4501个参数，而以前需要计算100万个以上的数据。1964年提出CAPM模型。它不是用方差作资产的风险度量，而是以证券收益率与全市场证券组合的收益率的协方差作为资产风险的度量(β系数)。这不仅简化了马模型中关于风险值的计算工作，而且可以对过去难以估价的证券资产的风险价格进行定价。他把资产风险进一步分为“系统”和“非系统”风险两部分。提出：投资的分散化只能消除非系统风险，而不能消除系统风险。 广东金融学院　投资学精品课程

  17. 单指数模型的起因 • ●单指数模型是一种简化的证券期望收益的估计模型。 ●要对资产组合中的每一只股票的期望收益、方差和协方差进行估算。这种计算的工作量是巨大的。 • ●例如：中国上交所和深交所上市的股票一共约有1400种，如果对所有上市公司股票进行分析，要估算的数值将达到982100个！ • ●为了减轻估算的工作量，使股票的收益-风险分析具有实用价值，需要有新的方法。 广东金融学院　投资学精品课程

  18. 单因素模型的提出1 ●在估算中计算量最大的部分是协方差的计算 ●经验表明，股票收益之间的协方差一般是正的，相同影响公司命运，可将公司外部的因素看成是一个？ ●内部特有的因素对公司股价的影响的期望值是零，即随着投资的分散化，这类因素的影响是逐渐减少的。 ●夏普提出单因素模型：ri =E(ri) +mi +ei ●可将宏观因素的非预测成分定义为F，将股票i对宏观经济事件的敏感度为i，有ri =E(ri) +i F +ei 广东金融学院　投资学精品课程

  19. 单指数模型的提出2 • ●宏观因素不确定，且各宏观因素的权重无法确定 • ●夏普用一个股票指数代替单因素模型中的宏观影响因素，有单指数模型：股票收益公式为 • Ri =αi +i RM +eI • ●Ri=ri-rf是股票超过无风险收益的超额收益，αi是当市场超额收益率为零时的期望收益，i是股票i对宏观因素的敏感程度，RM=rM–rf是市场收益超过无风险收益的超额部分，iRM合在一起的含义是影响股票超额收益的宏观因素，也称作系统因素；ei是影响股票超额收益的公司特有因素，也称作非系统因素。 广东金融学院　投资学精品课程

  20. ●αi是当市场超额收益率为零时的期望收益，它的值通常很小，也很稳定，一定时期可以看成是一个常量。●αi是当市场超额收益率为零时的期望收益，它的值通常很小，也很稳定，一定时期可以看成是一个常量。 • ●eI是影响股票超额收益的公司特有因素，是非系统因素，是不确定的，其期望值为零。 • ● 真正影响股票期望收益的是iRM，要估计的只有股票收益对市场收益敏感程度i。 • ●由于Ri是股票超过无风险收益的超额收益，投资者对其的要求与无风险收益的水平有关。 广东金融学院　投资学精品课程

  21. 意义： • ●减少了估算工作量。股票i的收益率的方差为： • σ2i=2iσ2M +σ2(ei) • ●非系统风险独立于系统风险，因此RM和ei的协方差为0。ei是每个公司特有的，它们之间不相关。而两个股票超额收益率Ri与Rj的协方差，都与市场因素RM有关，所以，Ri与Rj的协方差为 • Cov(Ri，Rj)=Cov(iRM，jRM) =ijσ2M • ●现在需要的估算量为：n个期望超额收益E(Ri)的估计，n个公司i的估计，n个公司特有方差2(ei)的估计和1个宏观经济因素的方差2M的估计。现在 的估算量是3n+1。 • ●再看上海、深圳1400种股票的例子，现在只需要估算4201种。 广东金融学院　投资学精品课程

  22. 二、单指数模型的几何表达 • 单指数模型可以表达为一条截距为αi，斜率为i的斜线。坐标系的横轴为市场超额收益，纵轴为股票i的超额收益。实际中，这条斜线要利用具体数据回归得出，称作证券特征线。 Ri 广东金融学院　投资学精品课程

  23. 三、资产组合的方差 • ●单指数模型可证明：随着资产组合中股票数量的增加，非系统风险逐步下降，而系统风险并不变化。 • ●假定一个等权重的资产组合有n只股票，每只股票的超额收益为：Ri =αi +iRM +ei • ●整个资产组合的超额收益为：RP=αP+PRM+eP • ●等权重资产组合的超额收益可以表示为 • RP =∑wiRi =1/n∑Ri=1/n∑(αi +iRM +eI) • =1/n∑αi+(1/n∑i)RM +1/n∑ei ●由于P=1/n∑I；αP=1/n∑αi，是一个常数；eP =1/n∑eI，因此资产组合的方差为 • σ2P=2Pσ2M +σ2(eP)

  24. 等权重资产组合方差的分解（1） • ●定义2Pσ2M为系统风险部分，其大小取决于资产组合的贝塔值和市场风险水平，不会随资产组合中的股票数量的增加而变化。 • ●定义σ2(eP)为非系统风险部分，由于这些ei是独立的，都具有零期望值，所以随着资产组合中的股票数量越来越多，非系统风险越来越小。 • ●这样，随着投资分散化程度的加强，资产组合的方差将接近于系统方差。

  25. 等权重资产组合方差的分解（2）

  26. 四、单指数模型与CAPM模型的关系1 • ●按单指数模型，股票i的收益与市场指数收益之间的协方差公式为 • Cov(Ri，RM)=Cov(iRM+ei，RM) • =iCov(RM，RM)+ Cov(ei，RM) =iσ2M • ●上式所以成立，是因为由于αI是常数，它与所有变量的斜方差都是零，且由于公司特有的非系统风险独立于系统风险，因此Cov(ei，RM)=0。可推导出 • i= Cov(Ri，RM)/σ2M

  27. 单指数模型与CAPM模型的关系2 ●在推导CAPM模型中，也有i= Cov(Ri，RM)/σ2M， 即单指数模型与CAPM模型的贝塔含义是相同的。 ●因此， CAPM模型是单指数模型的一个特例，对Ri=αi+iRM+ei两边取期望，有 E(ri)–rf=αi+i[E(rM)–rf]。 与CAPM模型相比较，可见，CAPM模型是对所有股票阿尔法的期望值为零的单指数模型取期望值而得到的模型。

  28. 单指数模型的局限性 • ●这一模型将股票收益的不确定性简单地分为系统风险与非系统风险两部分，这与真实世界的不确定性来源是有距离的。 • ●譬如，它没有考虑行业事件，而行业事件是影响行业内许多公司，但又不会影响整个宏观经济的一些事件。

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