Rachunek wariacyjny w fizyce

1. Dlaczego światło porusza się po krzywych, dla których czas przejścia jest najkrótszy? Jaki kształt musi mieć krzywa, aby punkt materialny zsuwał się po niej w jak najkrótszym czasie? Jak znaleźć ruch skomplikowanego układu? Na te i inne pytanie można odpowiedzieć używając rachunku wariacyjnego. Rachunek wariacyjny w fizyce

2. W 1696 roku Jakub Bernoulli zapytał jaki kształt ma krzywa, po której zsuwająca się masa, pod wpływem grawitacji, zsunie się najszybciej. Obecnie zagadnienie to nazywa się problemem znalezienia brachistochrony. Krzywą tą niezależnie znaleźli Isaac Newton, Gottfried Liebniz, Jan Bernoulli oraz de l'Hospital. Historia

3. W rachunku wariacyjnym bada się funkcjonały . Są to pewne uogólnienia funkcji, które jako argument mają zwykłe funkcje. Cała zabawa polega na znalezieniu takich funkcji, dla których funkcjonał jest ekstremalny, tzn. jest minimalny bądź maksymalny. Np. chcemy na powierzchni kuli znaleźć najkrótszą drogę łączącą dwa punkty. Nie jest to linia „prosta” przecinająca południki pod stałym kątem tylko wygięta w kierunku bliższego z biegunów. Do znalezienia ekstremali używa się równań Eulera: Wariacja

4. Poszukujemy krzywej, po której punkt materialny najszybciej się zsunie. Na krzywej tej punkt musi jak najszybciej osiągać dużą prędkość i krzywa ta musi być dostatecznie krótka. Brachistochrona I

5. Brachistochrona II

6. Cykloida

7. Kształt jaki przyjmie ciężki, nierozciągliwy łańcuch o długości L zawieszony w jednorodnym polu grawitacyjnym. Łańcuch ten powinien mieć jak najmniejszą energię potencjalną. Krzywa łańcuchowa

8. Rozpatrzmy prosty przykład: oscylator harmoniczny. Równania Newtona: Formalizm Lagrangeowski: Rozwiązaniem jest: ZBĘDNE UTRUDNIENIE? LagrangianI

9. Podwójne wahadło: Nie podejmuję się prób zapisu dynamiki za pomocą równań Newtona. Natomiast Lagrangian: LagrangianII

10. Jak wygląda ruch z punktu widzenia cząstki. Według Newtona cząstka „wie” tylko skąd przybyła, gdzie jest i w którą stronę ma iść. Natomiast w opisie Lagranżowskim cząstka z góry zna całą swoją drogę. Zatem łamie zasadę przyczynowości. Wyobraźmy sobie łódkę dryfującą po jeziorze. W danym punkcie jeziora działają na nią wiatr i prądy wodne przesuwając ją w następne miejsce, czyli ruch łódki jest zdeterminowany przez miejsce, z którego startuje (Newton). Natomiast wg zasad wariacyjnych łódka w każdym momencie czasu wie dokąd dotrze – w sposób nadprzyrodzony zna prędkości wiatru w wody.

11. Światło porusza się po liniach prostych Dlaczego? Najkrótsza, a co za tym idzie najszybszą drogą łącząca dwa punkty jest linią prostą. Czy wynika to z zasad wariacyjnych? Tak. Ta zasada wariacyjna nosi nazwę zasady Fermata: Światło porusza się po krzywych, na których najszybciej pokona drogę z punktu startu do punktu docelowego. Rozwiązując równanie Eulera dla najszybszej drogi (stała prędkość) otrzymujemy. Optyka I

12. Ale nie zawsze! Fatamorgana Prędkość światła zależy od temperatury powietrza, przez które przechodzi. Zatem rozwiązaniem równania Eulera nie są już linie proste. Optyka II

13. Bardzo często krzywa, dla której funkcjonał osiąga ekstremum nie jest krzywą różniczkowalną, czyli ma ostrza, załamania. Takie krzywe występują też w optyce. Odbicie światła i załamanie. To, że kąt padania jest równy kątowi odbicia jest konsekwencją faktu, że światło porusza się po liniach najkrótszego czasu. Optyka III

14. Optyka IV Zasada załamania światła Światło padając na granicę dwóch ośrodków załamuje się zgodnie z prawem Snella: Gdyby załamanie nastąpiło pod innymi kątami to światło potrzebowało by więcej czasu na dotarcie do punktu docelowego.