立体几何复习

1. 立体几何复习 西安市第八十九中学 陈建军

2. 空间关系

3. 1.在空间中， ①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线. ②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线. 以上两个命题中，逆命题为真命题的是 ______(把符合要求的命题序号都填上) ② 2.设a、b是异面直线，则下列四个命题中： ①过a至少有一个平面平行于b； ②过a至少有一个平面垂直于b； ③至少有一条直线与a、b都垂直； ④至少有一个平面分别与a、b都平行 正确的序号是___________________ ①③④

4. 3.对于四面体ABCD，给出下列四个命题 ①若AB=AC，BD=CD，则BC⊥AD. ②若AB=CD，AC=BD，则BC⊥AD. ③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD. ④若AB⊥CD，BD=AC，则BC⊥AD. 其中真命题的序号是________.(写出所有真命题的序号) ① ④ 4.空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB，BC，CD，AD上的点，请回答下列问题：(1)满足什么条件时，四边形EFGH为平行四边形?(2)满足什么条件时，四边形EFGH为矩形?(3)满足什么条件时，四边形EFGH为正方形?

5. 大题训练 1.如图，在四面体ABCD中作截面PQR，若RQ、CB的延长线交于M，RQ、DB的延长线交于N，RP、DC的延长线交于K . 求证：M、N、K三点共线. 【解题回顾】利用两平面交线的惟一性，证明诸点在两平面的交线上是证明空间诸点共线的常用方法.

6. 2.已知空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且2.已知空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且 求证：三条直线EF、GH、AC交于一点.

7. 3.已知三直线a、b、c互相平行，且分别与直线l 相交于A、B、C三点，求证：这4条直线共面。 【解题方法】先定平面，再证明其它元素也在此面上。 返回

8. 2. 已知直线l⊥平面α，直线m平面β，有下列四个命题： ① ； ② ； ③ ； ④ 其中错误命题的序号为_____________ Ì 小题训练 1.已知直线m、n和平面α，则m∥n的一个必要但不 充分条件是( ) (A) m∥α且n∥α (B) m⊥α且n⊥α (C) m、n与α成等角 (D) m∥α且 C ②④

9. 4. 已知a、b、c表示不同的直线，α、β、γ表示不同的平面，则下列四个命题：①若a⊥c，b⊥c，则a∥b;②若c⊥α，c⊥β，则α∥β；③若a⊥b，b⊥α，且a α，则a∥α；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.其中真命题的个数为( )(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 Ì 3.在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，过B且平行于平面AB1D1的平面与平面AB1D1间的距离为_ _________ B

10. 5.α，β是两个不重合平面，l、m是两条不重合直5.α，β是两个不重合平面，l、m是两条不重合直 线，那么α∥β的一个充分条件是 ( ) (A) lÌα，m Ìα，且l∥β，m∥β (B) lÌα，mÌβ，且l∥m (C) l⊥α，m⊥β，且l∥m (D) l∥α，m∥β，且l∥m C

11. 6.已知：平面α∥平面β，AB，CD是异面直线，A ∈α，C∈α，B∈β，D∈β，E、F分别为 AB、 CD中点. 求证：EF∥α∥β. 【解题回顾】上述证法是将证线面平行先转化为证面面平行.

12. 5.已知正四棱锥P—ABCD的底面边长及侧棱长均为13，M，N分别是PA，BD上的点，且PM∶MA5.已知正四棱锥P—ABCD的底面边长及侧棱长均为13，M，N分别是PA，BD上的点，且PM∶MA =BN∶ND=5∶8. (1)求证：直线MN∥平面PBC； (2)求直线MN与平面ABCD 所成的角.

13. 2. 已知a,b是不同的直线， 是平面，给出下列四个命题： ① ； ② ； ③ ； ④ 其中错误命题的序号为_____________ ②④

14. 3.已知a,b,c是直线， 是平面，下列条件中，能得 出直线a⊥平面 的是( ) (A)a⊥b，a⊥c，其中 (B) a⊥b，b∥ (C) (D)a∥b，b⊥ D

15. 4.设两个平面α，β，直线l ，下列三个条件： ① l ⊥α；② l ∥β；③α⊥β. 若以其中两个作为前提，另一个作为结论，则可构成三个命题，这三个命题中正确的命题个数为( ) (A) 3个 (B) 2个 (C) 1个 (D) 0个 C 5.对于直线m、n和平面α、β，α⊥β的一个充分条件是( ) (A)m⊥n，m∥α，n⊥β (B)m⊥n，α∩β=m，nÌα (C)m∥n，n⊥β，mÌα (D)m∥n，m⊥α，n⊥β C

16. 6.设α、β表示两不同平面，m、n是平面α、β外的两条不同直线. 给出四个论断： ①m⊥n，②α⊥β，③n⊥β，④m⊥α. 以其中三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：_____________________________. m⊥α，n⊥β，α⊥β=>m⊥n (注：也可填m⊥n，m⊥α，n⊥β =>α⊥β)

17. 7.已知直线l、m，平面α，β，且l⊥α，mβ. 给出下列四个命题； (1)若α∥β，则l ⊥m；(2)若l ⊥m，则α∥β； (3)若α⊥β，则l ∥m；(4)若l ∥m，则α∥β. 其中正确的命题个数为( ) (A)4 (B) 1 (C)3 (D)2 D

18. 平面PAB⊥平面PAD；平面PAB⊥平面ABCD； 平面PAB⊥平面PBC；平面PAD⊥平面ABCD；平面 PAD⊥平面PCD 8.四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形， 侧棱PA=a，PB=PD=2a，则它的五个面中，互相垂直 的面是________________________________________ ______________________________________________ __________________(把互相垂直的面都填上).

19. 9. 如图，正方体ABCD—A1B1CiD1中，点 P 在侧面 BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1， 则动点P的轨迹是( ) (A)线段BC1 (B)线段B1C (C)BB1中点与CC1中点连成的线段 (D)BC中点与B1C1中点连成的线段 B

20. 10. 空间四边形中，互相垂直的边最多有( ) (A)1对 (B)2对 (C)3对 (D)4对 C 11.在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC１，C１D１，D１D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH的边及其内部运动，则M只须满足条件______________时，就有MN⊥AC. M与F重合

21. 2.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥面ABC，AE⊥BD于E，AF⊥CD于F.2.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥面ABC，AE⊥BD于E，AF⊥CD于F. 求证：BD⊥平面AEF. 【解题回顾】证明线面垂直可转化为证线线垂直，而要证线线垂直又转化为证线面垂直，本题就是通过多次转化而获得证明的.这是证垂直问题的一个基本规律，须熟悉其转化关系

22. 3.求证：四面体若有两组对棱互相垂直，则第三组对棱也互相垂直.3.求证：四面体若有两组对棱互相垂直，则第三组对棱也互相垂直.

23. 4.已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB于E，过E作EF⊥SC于F．4.已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB于E，过E作EF⊥SC于F． (1)求证：AF⊥SC； (2)若平面AEF交SD于G，求证：AG⊥SD.

24. 4. 在矩形ABCD中，AB=1，BC=a，PA⊥平面ABCD，且PA=1. 请问：BC边上是否一定存在点Q，使得PQ⊥QD?为什么? 【解题回顾】本题中，当a=2时，在BC边上存在惟一点Q使PQ⊥QD.

25. 5. 已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，B1C1＝A1C1，A1B⊥AC１，求证A1B⊥B1C .

26. 【解题回顾】(1)欲证A1B⊥B1C，可以证明A1B垂直于B1C所在的平面(或者与B1C平行的平面)，或者用三垂线定理.【解题回顾】(1)欲证A1B⊥B1C，可以证明A1B垂直于B1C所在的平面(或者与B1C平行的平面)，或者用三垂线定理. (2)本题是证明线线垂直的很好例题，通过补形，把我们不熟悉的位置关系转化为我们熟悉的位置关系，为解题创造了条件. (3)证明线线垂直常用下列三种方法：①按定义证明所成角为直角.②由线面垂直得到线线垂直.③利用三垂线定理.4.题的逆命题即变题1也成立. 变题1 直三棱柱ABC—A1B1C1中，已知A1B⊥AC1，A1B⊥B1C，求证：A1C1=B1C1. 变题2 正三棱柱ABC—A1B1C1中，已知A1B⊥AC1 . 求证： A1B⊥B1C且B1C⊥AC1. 返回