第六章空间力系

第六章 空间力系

静力学 本章重点、难点 ⒈重点力在空间直角坐标轴上的投影和力对轴之矩。空间力系平衡方程的应用。常见的空间约束及约束反力。 ⒉难点空间矢量的运算，空间结构的几何关系与立体图。

迎面风力 侧面风力 b 静力学工程中常常存在着很多各力的作用线不在同一平面内的力系，即空间力系，空间力系是最一般的力系。 (a)图为空间汇交力系； (b)图为空间任意力系； (b)图中去掉风力后为空间平行力系。

g b O q Fxy 静力学 §6-1 空间汇交力系一、力在空间轴上的投影与分解： 1.力在空间的表示力的三要素：大小、方向、作用点大小：方向：由、、g 三个方向角确定或由仰角 与方位角 来确定。作用点：物体和力矢的起点或终点的接触之点。

静力学 ⒉ 一次投影法（直接投影法）由图可知： ⒊ 二次投影法（间接投影法）当力与各轴正向间夹角不易确定时，可先将 F 投影到xy 面上，然后再投影到x、y 轴上。即：

若以表示力沿直角坐标轴的正交分量，则： Fz Fy Fx 所以：大小：方向：静力学 ⒋ 力沿坐标轴分解而： ⒌ 已知力的投影求该力

静力学 ⒍ 注意力在坐标轴上的投影是代数量；而力沿直角坐标轴的分量及力在坐标平面上的投影是矢量。二、空间汇交力系的合成 ⒈ 几何法与平面汇交力系的合成方法相同，也可用力多边形方法求合力。即：合力等于各分力的矢量和 (由于力多边形是空间力多边形，合成并不方便，一般不采用此方法合成）

由于代入上式 合力大小：方向：静力学 ⒉ 解析法 ⑴ 合力投影定理定理: 空间力系的合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。 ⑵ 合力的解析求法

静力学 三、空间汇交力系的平衡 ⒈ 平衡的充要条件空间汇交力系平衡的充要条件是：力系的合力为零，即： ⑴ 几何法平衡充要条件几何法平衡充要条件为该力系的力多边形封闭。 ⑵ 解析法平衡充要条件解析法平衡充要条件为：亦称为空间汇交力系的平衡方程三个独立的方程，只能求解三个未知量

y 静力学 §6-2 空间力偶系一、空间力偶三要素决定空间力偶对刚体的作用效应,除力偶矩的大小、力偶的转向外,还必须确定力偶作用面的方位，作用面的方位不同，则空间力偶对物体的作用效应也不同，所以空间力偶对刚体的作用效应取决于下列三要素： ⒈ 力偶矩的大小； ⒉ 力偶作用面的方位； ⒊ 力偶的转向。

静力学 二、力偶矩用矢量表示 ⒈ 力偶矩矢空间力偶三要素可以用一个矢量表示，该矢量称为力偶矩矢。 ⒉ 力偶矩矢表示方法 ⑴ 大小：矢量的长度表示力偶矩的大小； ⑵ 矢量的方位：与力偶作用面的法线方位相同 ⑶ 矢量的指向：与转向的关系服从右手螺旋定则。或从力偶矢的末端看去，力偶的转向为逆时针转向。

静力学 三、空间力偶的等效定理 ⒈ 定理作用在同一刚体的两平行平面的两个力偶，若它们的转向相同，力偶矩的大小相等，则两个力偶等效。 ⒉ 证明：⑴ 作II//Ⅰ，cd // ab ⑵作一对平衡力R, R‘ (在E点, 且使-R=R') ⑶ 由反向平行力合成得： F1与R合成得F2，作用在d点 F1‘与R’合成得F2‘，作用在c点且R-F1=F2，R'-F1'= F2'

静力学 ⑷在I内的力偶（F1，F1′）等效变成II内的（ F2，F2′） ⒊ 推论在同一刚体内，力偶可以从一个平面移至另一平行平面而不改变它对刚体的作用。 ⒋ 空间力偶矩矢是一个自由矢量由于力偶可以在同一平面内和平行平面内任意移转，因此表示力偶矩的矩矢的矢端亦可在空间任意移动，可见空间力偶矩矢是一个自由矢量。

即：大小：方向：静力学四、空间力偶系的合成与平衡 ⒈ 合成由于空间力偶系各力偶是自由矢量，只要不改变各分力偶矩矢方向，将它们都滑移至某汇交点，它们的合成符合矢量合成法则。即：合力偶矩 = 分力偶矩的矢量和。

投影式为： 静力学 ⒉ 平衡显然空间力偶系的平衡条件是：亦称为空间力偶系的平衡方程三个独立的方程，只能求解三个未知量

[例] 力P1， P2 ， P3 对汽车反镜绕球铰链O点的转动效应不同静力学 §6-3 力对点的矩与力对轴的矩一、空间力对点之矩三要素决定力对刚体的作用效应,除力矩的大小、力矩的转向外, 还须考虑力与矩心所组成的平面的方位，方位不同，则力对物体的作用效应也不同。所以空间力对刚体的作用效应取决于下列三要素： ⒈ 力矩的大小； ⒉ 力矩的转向； ⒊ 力的作用线与矩心所组成的平面的方位。

静力学 二、力对点的矩的矢量表示在平面问题中，力对点的矩是代数量；而在空间问题中，由空间力对点的矩的三要素知，力对点的矩是矢量。 ⒈ 力矩矢的表示方法 ⑴ 力矩矢大小： ⑵ 力矩矢方位：与该力和矩心组成的平面的法线方位相同

∵ 静力学 ⑶ 力矩矢的指向：与转向的关系服从右手螺旋定则。或从力矩矢的末端看去，物体由该力所引起的转向为逆时针转向。注意：力矩矢为定位矢量注意：力矩矢为定位矢量注意：力矩矢为定位矢量注意：力矩矢为定位矢量 ⒉ 力对点的矩的矢积表达式 ⑴ 导出如果r 表示A点的矢径，则：

又∵ ∴ 静力学 ⑵ 结论力对点的矩等于矩心到该力作用点的矢径与该力的矢量积。 ⒊ 力对点的矩的解析表达式

静力学 二、力对轴的矩 ⒈ 实例

它是代数量，正负规定 + – 静力学 ⒉ 定义力使物体绕某一轴转动效应的量度,称为力对该轴之矩.

静力学 ⒋ 力对轴的矩的解析式由合力矩定理：即同理可得其余两式，即有：力对轴的矩的解析式

由几何关系： ∴ 即：静力学三、力对点的矩与力对通过该点的轴之矩的关系 ⒈ 定理 ⒉ 证明力对点的矩矢在通过该点的任意轴上的投影等于这力对于该轴的矩。这就是力对点之矩与对通过该点轴之矩的关系。通过O点作任一轴Z，则：

又由于 大小：方向：静力学四、力对点的矩的解析求法所以力对点O的矩为：

设作用在刚体上有 空间一般力系静力学 §6-4 空间一般力系向一点简化把研究平面一般力系的简化方法拿来研究空间一般力系的简化问题，但须把平面坐标系扩充为空间坐标系。试将力系向O点简化

静力学 一、简化方法 ⒈ 任选O点为简化中心 ⒉ 将各力平行搬移到O点根据力线平移定理，将各力平行搬移到O点，得到一空间汇交力系：和一附加力偶系：

静力学 ⒊ 合成空间汇交力系汇交力系合力 ⒋ 合成附加力偶系空间力偶是自由矢量，总可汇交于O点。附加力偶的合力偶矩

1. 主矢：指原空间一般力系各力的矢量和 。主矢的解析求法静力学二、主矢与主矩主矢大小: 主矢方向: 因主矢等于原力系各力的矢量和,所以它与简化中心的位置无关。注意：

⒉ 主矩：指原空间一般力系对简化中心之矩的矢量和。主矩解析求法静力学根据力对点之矩与力对轴之矩的关系: 大小：方向：因主矩等于各力对简化中心之矩的矢量和，所以它的大小和方向与简化中心有关。注意：

静力学 三、结论空间一般力系向任一点O 简化，一般可以得到一力和一力偶；该力作用于简化中心，其大小及方向等于该力系的主矢，该力偶之矩矢等于该力系对于简化中心的主矩。

若 , 则该力系平衡（下节专门讨论）。若则力系可合成一个合力偶，其矩等于原力系对于简化中心的主矩MO。此时主矩与简化中心的位置无关。 ⒈ 若则力系可合成为一个合力，力系合力等于主矢，合力通过简化中心O点。（此时主矩与简静力学 §6-5 空间一般力系简化结果的讨论空间一般力系向一点简化得一主矢和主矩，下面针对主矢、主矩的不同情况分别加以讨论。一、力系平衡二、力系简化为一个合力偶三、力系简化为一个合力化中心的位置有关，换个简化中心，主矩不为零)

⒉ 若 ,时， 由于做静力学可进一步简化，将MO变成(R'',R) 使R'与R'‘ 抵消只剩下R

' ' ⒈若，时，静力学四、力系简化为力螺旋力螺旋——由力及垂直与该力平面内的力偶所组成的特殊力系 [例] ①拧螺丝②炮弹出膛

⒉若，R′不平行也不垂直M0，成最一般的任意角时， M和主矢R‘合成为合力R 而：  静力学首先把MO分解为M//和M , M//不变，是在平面内的一力偶因为M// 是自由矢量，可将M//搬到O'处所以M//和R 在O‘点处形成一个力螺旋。

 静力学 ⒊ 注意, R′， M//是力系简化中的不变量力系简化中，不随简化中心改变的量有：R′， M// 简化中心为O时：有M和M//，当简化中心为另一点O1时，为M′和M//，即M//总是不变的（它是原力系中的力偶与简化中心无关）

静力学 五、空间力系的合力矩定理空间力系向O点简化后得主矢 R′和主矩 MO , 若MOR′，可进一步合成为一个作用在新简化中心O'点的合力R。 ⒈ 导出 ⒉ 定理

力系的主矢和主矩都等于零，即： 必要空间一般力系平衡充分静力学 §6-6 空间一般力系的平衡方程及应用一、空间一般力系平衡的充要条件 ⒈ 平衡的充要条件

静力学 ⒉ 解析法平衡充要条件还有四矩式，五矩式和六矩式，同时各有一定限制条件。亦称为空间一般力系的平衡方程六个独立的方程，只能求解六个未知量三、由空间一般力系的平衡方程导出的其它方程 ⒈ 空间汇交力系的平衡方程因为各力线作用都汇交于一点，各轴都通过该点，故各力矩方程都成为了恒等式。三个独立的方程，只能求解三个未知量

静力学 ⒉ 空间平行力系的平衡方程设各力线都 // z 轴均成为了恒等式，而自然满足。因此三个独立的方程，只能求解三个未知量即有：

静力学 二、空间约束观察物体在空间的六种可能的运动中（沿三轴移动和绕三轴转动），有哪几种运动被约束所阻碍，有阻碍就有约束反力。阻碍移动为反力，阻碍转动为反力偶。[例] 3、止推轴承 2、向心轴承，蝶铰链 1、球形铰链

静力学 5、空间固定端 4、带有销子的夹板

Rz Ry Rx 静力学球形铰链

Rz Rx 静力学滚珠（柱）轴承

静力学 活页铰

静力学 滑动轴承

静力学 止推轴承

静力学 带有销子的夹板

静力学 空间固定端

静力学 例画出车床轮轴的受力图

静力学 例画出起重机C点和B点的受力图

第六章 空 间 力 系