统计热力学电教课之四

第十章非平衡态统计简单理论 统计热力学电教课之四 §10.3 玻尔兹曼方程 Boltzmann Equation 采用弛豫时间近似(Relaxation time approximation),简化碰撞贡献计算，从而简化玻尔兹曼积分微分方程，导出较简便的玻尔兹曼方程.　简要讨论其应用． Boltzmann Equation Viscous Phenomenon of Gases Electric conductivity of Metals

统计热力学电教课之四 1．玻尔兹曼方程 Boltzmann Equation 系统未达平衡态，其局部可（近似）达平衡 ——局域平衡． f(0) —— 局域平衡的麦氏分布（与平衡部分整体运动有关）．各局域平衡部分通过碰撞相互影响，最后趋向大平衡：一致的f(0)．过程是缓慢的，可近似认为 u0、v0、w0 ——整体运动速度三分量

统计热力学电教课之四 Boltzmann 积分微分方程求解困难，应简化之 Boltzmann的弛豫时间法 ——设想分布函数时间变化率的碰撞贡献项与 f 对平衡分布f(0)的偏离成正比： τ ——弛豫时间

统计热力学电教课之四 弛豫时间τ0 的物理意义：注意到 f(0)/t ≈ 0，有　　经τ0时间，分布函数对平衡值偏离减至最初的1/e 　　粗略认为：τ0——恢复平衡所需时间．一般τ0 与速度有关，进一步化简，假定为常数． τ0 与两次碰撞间平均时间（频率之倒数）同量级．

统计热力学电教课之四 玻尔兹曼积分微分方程成为 **在不均匀、有外场条件下，细致平衡原理仍正确。细致平衡时，漂移贡献各部分相消而为零．在漂移贡献非零时，虽细致平衡条件不满足，但分布不变——稳恒态，漂移与碰撞贡献相互抵消． ——Boltzmann方程稳恒态（steady state） ——亦称Boltzmann方程

统计热力学电教课之四 2．气体粘滞现象 Viscous Phenomenon of Gases u0 =w0 = 0,v0 = v0(x) 沿 x 方向有梯度(图) 以平面x = x0为界 x > x0 正方；x<x0 反方 Newton粘滞定律单位面积正方作用于负方的胁强（沿y方的力） η——粘滞系数

统计热力学电教课之四 粘滞力的微观机制：分子交流使动量传递不均衡，表现为粘滞力单位时间由正方“跑入”负方的分子数 dΓ= – fudv 携带动量（沿y方） – mvfudv 正方传给负方的总动量（沿y方）负方传给正方的总动量（沿y方）相减得

统计热力学电教课之四 速度梯度不大，设稳恒态代入Boltzmann方程（为简单，考虑无外场情形）有解出f（1）代入

统计热力学电教课之四 代入胁强的公式得与粘滞定律比较与实验吻合

统计热力学电教课之四 3．金属电导率 Electric conductivity of Metals 恒定均匀电场中的金属中电子的输运问题设电场沿z方向，场强 εz 根据欧姆定律 σ ——Electric conductivity

统计热力学电教课之四 电子电荷 – e , 质量 m , 自旋1/2 , 速度dv 内、单位体积中的电子数无外场、平衡态电流密度费密函数 J = 0 ，无电流

统计热力学电教课之四 εz 对电子单位质量的力有外场，稳恒态时，假定ƒ不随坐标变化类粘滞力问题电流密度成为

统计热力学电教课之四 离子位移 q 用能均分估完成积分对比Ohm’s定律得电导率需求弛豫时间，半定量分析与温度无关，但与离子振动相关高温时与实验相符

统计热力学电教课之四 • R/(R290) • 4 • 2 • 10 T R TC T 钾的不同纯度样品之电阻水银超导习题：9.3

统计热力学电教课之四 The Nobel Prize in Physics 1913 for his investigations on the properties of matter at low temperatures which led, inter alia, to the production of liquid helium" The Nobel Prize in Physics 1972 The Nobel Prize in Physics 1987 Heike Kamerlingh Onnes the Netherlands Leiden University Leiden, the Netherlands "for their important break-through in the discovery of superconductivity in ceramic materials" "for their jointly developed theory of superconductivity, usually called the BCS-theory" b. 1853d. 1926 John Bardeen J. Georg Bednorz Leon Neil Cooper K. Alexander Müller John Robert Schrieffer 1/2 of the prize 1/2 of the prize 1/3 of the prize 1/3 of the prize 1/3 of the prize Federal Republic of Germany Switzerland USA USA USA IBM Zurich Research Laboratory Rüschlikon, Switzerland IBM Zurich Research Laboratory Rüschlikon, Switzerland University of Illinois Urbana, IL, USA Brown University Providence, RI, USA University of Pennsylvania Philadelphia, PA, USA b. 1950 b. 1927 b. 1908d. 1991 b. 1930 b. 1931

统计热力学电教课之四 统计物理歌赤橙黄绿紫靛蓝，瞬息多变唯象观；宏观微观百类奇，系综理论一线穿；绝热杜功系孤立，微正系综态平权；统计物理汝为本，热学规律尔作源；正则系综封闭系，负能贝塔指数肩；配分函数囊百宝，对数求导解万难；量子经典君可辨，涨落一曲尽开颜。 The End of the Statistical Thermodynamics 统计热力学全课结束

统计热力学电教课之三 统计热力学要点系综理论——主线基础——微正则系综 *重点——正则系综外延——巨正则系综 *核心——配分函数热力学函数和关系——应用 *直接计算函数、涨落 *导出热力学—平衡态性质、相平衡非平衡态和连续相变（了解）*——应用

统计热力学电教课之四 • 一、微观状态的描述 • 单粒子态（自由粒子、谐振子、自旋）： • 　量子描述→经典描述(μ空间的状态数) • 　多粒子态： • 　全同性（B.E.、F.D.、M.B.）→ 经典。 • 　要求：掌握微观态描述方法，以及量子向经典过度的条件和方法

统计热力学电教课之四 • 二、微正则系综（孤立系） • 　统计规律及描述： • 基本原理（统计平均）→概率分布→系综 • 　微正则系综： • 等几率假设→温度→内能→热一→热二 • 　要求：理解微正则系综 • 熟悉热力学定律

统计热力学电教课之四 • ＊三、封闭系的正则系综 • 正则分布： • 量子→经典、配分函数、热力学公式、 • 热力学函数、涨落 • 麦—玻分布: • 正则麦玻、量子→经典、 • 粒子配分函数、热力学量、能均分定理 • 应用： • 能均分、肖脱基缺陷、二能态与负温度 • 要求：掌握基本概念和推导， • 计算有关问题

统计热力学电教课之四 • ＊四、均匀物质热力学 • 麦氏关系： • 概念、导出和互导、求重要热力学关系 • 基本热力学函数： • 概念、计算方法* • 特性函数： • 概念、推导、计算、运用 • 应用：磁介质*，焦-汤效应* • 要求：熟练运用麦氏关系证明热力学关系， • 　　能计算特性函数并求其它热力学函数

统计热力学电教课之四 • 五、理想气体 • *单原子分子理想气体的热力学函数 • *双原子分子理想气体的热力学函数 • 要求：用正则分布计算理想气体热力学函数

统计热力学电教课之四 • 六、开放系 • 巨正则分布 • 巨配分函数、气体热力学函数、粒子数涨落* • *复相平衡 • 平衡条件和判据、相图*、水滴* • 要求：巨正则分布计算必要的热力学函数 • 掌握热平衡条件和判据及简单计算

统计热力学电教课之四 • *七、量子统计法 • 量子统计法 • 玻色、费米和玻尔兹曼分布、热力学公式、涨落 • 应用： • 零温电子气、光子气内能、玻色凝结*、固体比热* • 要求：熟悉各种量子统计法 • 　　　　较简单量子系统的计算与讨论

统计热力学电教课之四 八、涨落的准热力学理论要求：用准热力学方法计算简单的涨落，布朗运动理论主要内容* 九、输运过程理论* 要求：导出H定理，由Boltzmann方程求电导率，粘滞系数十、相图和气液相变* 要求：了解图，知道概念

统计热力学电教课之四 考试复习注意　系统复习、悉心体会、梳理总结——厚书变薄书；　　注重物理，掌握基本概念、基本方法、基本运算，用基本能力获得基本的分数；　在三个“基本” 基础上，深化认识，扩展涉猎面，提高处理问题应变能力，取得优异成绩。

谢谢！

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