第三章

第三章 动量与动量矩

§1、 一、动量： P m v P = t ò 2 I = F d t t 1 二、冲量： I 注意：冲量的方向和瞬时力的方向不同! I F 动量定理状态量、矢量、方向由速度决定。单位：kgms-1 冲量为力的时间积累效应，过程量，矢量。解题关键：寻找: F = f(t ),

t ò 2 I = F d t t F = Fxi+ Fyj + Fzk 1 t I F ò d t 2 = I = F t Δ x x t 1 t ò 2 = d t I F y y t I = Ixi+ Iyj + Izk 1 注意：积分时须分解后再积分。 …… 若力恒定则：

1、相对运动： 2、动量: Dr12 = Dr13 + Dr32 m m v a P F = = t ò 2 I = F d t t 1 v12 = v13 + v32 4、冲量： I a12 = a13+ a32 3、牛顿第二定律：

三、动量定理 dp F = dt F dt d p = p t ò ò 2 F dt = d p 2 t p 1 1 I = DP = P2P1 = P Δ 合力的冲量 =力的作用前后动量的增量冲量的方向由动量增量的方向决定。

I = DP t ò 2 F dt mv mv = x x x t 2 1 1 t ò F dt mv mv 2 = y y y t 2 1 1 两矢量相等，则它们在各方向分量必相等。合力在某一方向的冲量 =该方向动量的增量

F x 平均冲力 F x F x t t t 0 t 1 2 ò ( ) F dt = F t t 2 x x t 2 1 1 * 冲力在冲力作用期间，恒力可忽略不计。

[例1] N m 2gh v = 0 h m t v ( N mg ) 0 m ) ( v = 0 0 m m 2gh mg N mg = + 工件 t 质量为 m 的蒸汽锤自 h高的地方落下，它与工件的碰撞时间为 t , 求：打击的平均冲力。解：对碰撞过程应用动量原理

[例2] m L h N2的作用是使dm: dmv 0 m = l g L dm m dl m N1 N2 N2 = v = v = v2 L dt L dt m1 dm l h = 3 mg + 2 mg m1g L L p63-已知：m，L，h，v0=0，求:落在地面上的长度为 l 的瞬时，链条所受地面的作用力。解：受力分析 N1 = m1g N2dt = 0 – ( - dmv ) N = N1 + N2

§2、 动量守恒定律 . . C . C C 一、质心质量分布中心。几种物体的质心目录

是矢量和 Σ m x Σ m y Σ m z i i i i x y i i = = z = c c M M c M Σ m r r 物体中第 i 质点的位矢 i i i r = c Σ m i ò ò ò ò r x m m y m z m d d d d x r y z = = = = c c c c M M M M 质心的位矢为： M =Σmi 当质量连续分布时：

[例] y ò ò 试求一等腰直角三角形板的质心。 x x m m d d x = σ y x d m = 2 x x d = = y c c ò ò m m d d σ a x x d = 2 y a σ ò x 2 x d 2 o a x = = 0 3 a σ ò x x d 2 0 x d x 2 2 2 由对称性可得： yc=0 设单位面积的质量为s

二、质心运动定律 d r Σ m i = pc i Σ m d t v i Σ m r i d r = i i = r c = Σ m Σ m v = c Σ m i i d t c i d v Σ m i i d v Σ m d t a c Σ Σ m m M M i a v v a i = = a = i i = = i i c c d t c Σ m Σ m i i

d v ... f F + + f + + f 1 m a m = = 1 1 1 1 12 13 1n d t d d v v ... ... f f F F + + + + f f + + + + f f 3 2 m m a a m m = = = = 3 2 2 3 2 3 2 3 21 31 32 23 2n 3n d d t t d v ... f + ) F + + f + + f n m a m = = n-1 n n n n n n1 n2 d t m a Σ F Σ = i i i ……………………………………...

m a Σ F Σ = i i i ∵ Σ m a i i a = c Σ m i Σ F Σ m M a a = = i i c c 由上述两式可得质心运动定律：质点系所受合外力 = 总质量 ×质心加速度质点系的运动可能很复杂，而系统的质心运动则较简单。

作用力不通过质心，物体将围绕质心 转动，而物体的质心的轨迹为一抛物线。整体运动较复杂，而质心运动则简单。

三、 ( Σ ) d m v ( Σ ) d m v Σ i i F = i i i = 0 dt dt Σ Σ F F 若：若： = 0 = 0 即外力矢量和为零则： i i 则： Σ Σ m m v v c c = = 即： i i i i 动量守恒定律即：系统的合外力为零，总动量守恒。

∵ ( Σ ) m v d Σ i i F = i dt ( Σ ) m v d Σ i ix F = ix dt Σ m v c = i ix 若：则有： Σ F = 0 ix 两矢量相等，则它们在各方向分量必相等。如果外力在 x 方向投影的代数和为零，则在 x方向的分动量守恒。

v10 v20 v1 v2 F1 F2 ∵ SF = 0 ∴ DP = 0 m1 m2 m1 m2 碰撞期间 m1v1 + m2v2 = m1 v10 + m2 v20 四、碰撞 (极为短暂时间的相互作用) 选择系统，使 F冲力为内力，其他力均可略即：碰撞期间动量守恒解方程缺条件

m1v1 + m2v2 = m1 v10 + m2 v20 ( m1+ m2)v = m1v10 + m2v20 分类：弹性碰撞DEk = 0 非弹性碰撞 DEk＜0 完全非弹性碰撞 DEk＜0 碰撞后物体一起运动即：弹性碰撞 DEk = 0 完全非弹性碰撞

[例1] m L M 人与车质量分别为m及M，车长为 L ，若人从车尾走到车首。试求车相对于地的位移。目录

S m v V ò ò M m vdt = M Vdt L m L S = M m + 设：人对地的速度为 v，行走距离为 s 车对地的速度为 V ，行走距离为 S 由动量守恒: mv = MV ms = MS s + S = L

m M h 已知 M,m,h 。绳子拉紧瞬间绳子与m ,M之间的相互作用时间为Δt 。 [例2] 求：绳子拉紧后，M 与 m 的共同速度。同p61-2-3

m ( ( ) ) T m g t mv mv Δ M h = 0 ( ) T M g t M v 0 Δ = T T v v 2gh 0 = m v M 0 mv M m g t Δ v = 0 M + m M + m v Mg mg 解：分别对M及m应用动量原理解得：问题：由M 、 m 所组成的系统的动量是否守恒？

p103-2-5 子弹在枪筒里所受合力为F =400-4105t/3，子弹出枪口时的速率为300m/s。求：（1）子弹走完枪筒全长所用的时间t。（2）子弹在枪筒中所受力的冲量I。（3）子弹的质量。 [例3] 解：（1）（2）

（3）

质量为m的小球，用长为l 的细线悬挂作 圆锥摆运动，圆锥角为q，小球从a到b绕行半周，求作用在小球上的：(1)合力的冲量； (2)重力的冲量；(3) 张力的冲量。 I合=ΔP = mvb - mva = 2mvb l T2 T q q 0 T1 a 解得: v = gl sinqtgq v2 T sinq =m m 0 mg l sinq I合= 2m gl sinqtgq b [例4] 解： T cosq =mg

t =πr v l t =π T q a =πm gl cosq v = gl sinqtgq l cosq g m 0 mg b 因为重力是恒力 Ig = mgt r = l sinq Ig = m g t 因为拉力是变力，须分解后再积分计算

T1 = T sinq y q TY T t 0 Ix = òTx dt a x m 0 TX t a = ò T sinq sinwtdt a 0 0 0 TZ T1 = 2m gl sinqtgq z b t Iy = òTy dt = p m gl cosq 0 t Iz = òTz dt = 0 0 IT = Ixi + Iyj + Izk Tx = T sinq sina Ty = T cosq Tz = T sinq cosa

Ix= 2m gl sinqtgq y Iy= p m gl cosq q TY T TX 0 a 0 TZ a x m a IT = Ix2 + Iy2 0 T1 另解 = ò ( T + G ) dt I合= ò F合dt = IT + IG z b IT = I合- IG IT -IG = m gl sinq (p2 ctgq +4tgq ) = m gl sinq (p 2 ctgq +4tgq ) I合 IG IT = Ixi + Iyj + Izk IT = I 2合+ I 2G

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