RAÍCES MÚLTIPLES

1. RAÍCES MÚLTIPLES Prof.: Ing. Marvin Hernández

2. Raíz múltiple • Una raíz múltiple corresponde a un punto donde una función es tangencial al eje x. Por ejemplo, una raíz doble resulta de

3. La ecuación tiene una raíz dobleporque un valor de x hace que dos términos de la ecuación sean iguales a cero. • Gráficamente, esto significa que la curva toca en forma tangencial al eje x en la raíz doble.

4. Raíz Doble

5. Raíz Triple • Una raíz triplecorresponde al caso en que un valor de x hace que tres términos en una ecuación sean iguales a cero, como en

6. Raíz Triple • Advierta que la representación gráfica, figura 2, indica otra vez que la función es tangente al eje en la raíz, pero que en este caso sí cruza el eje.

7. Raíz Triple

8. En general; • La multiplicidad impar de raíces cruza el eje. • Mientras que la multiplicidad par no lo cruza.

9. Raíz Cuádruple

10. Dificultades del método de raíces múltiples; • El hecho de que la función no cambie de signo en raíces múltiples pares impide confiarse de los métodos cerrados. • Tanto f(x) como f’(x) se aproxima a cero en la raíz: Esto afecta a los métodos de Newton-Raphson y de la secante, los cuales contienen derivadas en el denominador de sus fórmulas respectivas.

11. Dificultades del método de raíces múltiples; Esto provocará una división entre cero cuando la solución converge muy cerca de la raíz. Pero, f(x) siempre alcanzará un valor cero antes que f’(x). Por lo tanto, si se compara f(x) contra cero, dentro del programa, entonces los cálculos se pueden terminar antes de que f’(x) llegue a cero.

12. Dificultades del método de raíces múltiples; 3. El método de Newton-Raphson y el método de la secante convergen en forma lineal, en vez de cuadrática, cuando hay raíces múltiples. Se han propuesto algunas modificaciones para atenuar el problema; Cambio en la formulación para que se regrese a la convergencia cuadrática

13. Atenuación del problema • donde m es la multiplicidad de la raíz; • m = 2 para una raíz doble • m = 3 para una raíz triple, etcétera. Alternativa poco satisfactoria, porque depende del conocimiento de la multiplicidad de la raíz.

14. Otra alternativa • Consiste en definir una nueva función u(x), que es el cociente de la función original entre su derivada:

15. Otra alternativa

16. EJEMPLO 1: Método de Newton-Raphson modificado para el cálculo de raíces múltiples • Uitilizar los dos métodos, el estándar y el modificado de Newton-Raphson; evalúe la raíz múltiple de la ecuación, use un valor inicial de xi = 0.

17. Por Newton-Raphson

18. Por Newton-Raphson modificado

19. Tabla de iteraciones

20. EJEMPLO 2: Ejercicio 6.10 • La funcióntiene una raíz doble en • x = 1 y x0 = 0.2 • El método estándar de Newton-Raphson • El método de Newton-Raphson modificado (m) • El método de Newton-Raphson modificado u(x)

21. Método estándar de Newton-Raphson

22. Método de Newton-Raphson modificado (m)

23. El método de Newton-Raphson modificado u(x)

24. EJEMPLO 3: • La funcióntiene una raíz doble en • x = 1 y x0 = 0.5 • El método estándar de Newton-Raphson • El método de Newton-Raphson modificado u(x)

25. Método estándar de Newton-Raphson

26. El método de Newton-Raphson modificado u(x)