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1. 消费者理论. 第一章:消费理论. 基本概念 偏好关系和效用函数 消费者的优化问题 间接效用函数和支出最小化 需求的特征. 本章属于经典消费理论。其中大多数原理我们已经在中初级微观经济学中学习过。但是在那里,这些原理来自于生活经验的归纳,而没有严格的证明。 本章的内容是严格的从消费者偏好开始通过数学推导出整个经典消费理论。由于生产者和消费者是一对对偶,在行为上非常相似,因此,有了严格建立在数学推导上的消费者理论和生产者理论就为整个微观经济学科学性有了保障。

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1

消费者理论


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第一章:消费理论

  • 基本概念

  • 偏好关系和效用函数

  • 消费者的优化问题

  • 间接效用函数和支出最小化

  • 需求的特征


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1.1 本章属于经典消费理论。其中大多数原理我们已经在中初级微观经济学中学习过。但是在那里,这些原理来自于生活经验的归纳,而没有严格的证明。基本概念

  • 现代消费者理论----这个给经济学的诸多理论结构奠定根基的学说的基本特征.

  • 要思考消费者理论怎样被设想,被构造和被应用.

  • 任何有关消费者选择的模型里,存在四大构造区域,它们分别是消费集,可行集,偏好关系与行为假定.

  • NOTE:消费者理论本质上是丰富多彩富有弹性的选择理论.


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微观经济学几个关键概念本章属于经典消费理论。其中大多数原理我们已经在中初级微观经济学中学习过。但是在那里,这些原理来自于生活经验的归纳,而没有严格的证明。

  • 需求与欲望:欲望是为所欲为;需求是在欲望的驱动下一种有条件的,可行的,又有最优选择使欲望达到的一种满足.

  • 偏好:指对物品的喜欢程度,或主观评价.经济学描述偏好的概念有两个:一个叫消费集(consumption set),又称选择集(choice set),即你究竟要什么?另一个是偏好关系(preference relation),即你对想要的物品组合次序(rank).

  • 价格:价格是对人们无穷欲望的限制.因为资源稀缺.

  • 收入:手中的钱财.

  • 价格与收入的组合,构成预算集(budget set),又称可行集.

  • 当选择集里的偏好关系与可行集或预算集有公切线时,就形成需求,需求是选择集与预算集在可分但又相切时的产物.


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1.1本章属于经典消费理论。其中大多数原理我们已经在中初级微观经济学中学习过。但是在那里,这些原理来自于生活经验的归纳,而没有严格的证明。基本概念

  • 定义:消费集X代表一切备择物或整个消费计划的集合,即它们是消费者能够设想到的集合,不管其中的一些在实践中获得与否.消费集有时可称选择集.

  • 我们令x=(x1,…, xn)为一个向量,它包含n个不同数量的商品,并称x 为消费束或消费计划.

效用概念的演化:穆尔(Mill),埃奇沃斯(Edgeworth)的古典或新古典理论中,效用是主观的,如何测量是个问题.

帕累托(Pareto,1896)率先对效用可以测量表示怀疑;

斯拉茨基(Slusky,1915)第一次不用可测量的效用函数推导出需求理论.

希克斯(Hicks,1939)指出,边际效用递减律既不是必要也不充分.

德布鲁(Debreu,1959)完成了标准的消费理论的推导,其所用的效用概念只依赖于偏好关系.


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消费集本章属于经典消费理论。其中大多数原理我们已经在中初级微观经济学中学习过。但是在那里,这些原理来自于生活经验的归纳,而没有严格的证明。X的性质

  • 消费集的最低条件是:

  • XRn+

  • X是闭集;

  • X是凸集;

  • 0X.

  • 可行集B代表一切可以选择的消费计划(不仅想的到而且做得到);

  • BX:可行集是选择集的子集.


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1本章属于经典消费理论。其中大多数原理我们已经在中初级微观经济学中学习过。但是在那里,这些原理来自于生活经验的归纳,而没有严格的证明。选择集

2可行集

4行为假设

3偏好关系

1.2、偏好关系和效用函数

  • 问题:1.无差异曲线为什么是我们常见的那种形状?

  • 2.怎样用一个函数描述偏好关系?

  • 1、偏好关系:

  • ①关系、两元关系:

  • ②两元关系的定义:定义在消费集上,反映消费集中任意两个点之间的关系:如果有,则对该消费者而言,“至少和一样好”,或者,“在和之间,消费者弱偏好”


1 2 1
1.2.1 本章属于经典消费理论。其中大多数原理我们已经在中初级微观经济学中学习过。但是在那里,这些原理来自于生活经验的归纳,而没有严格的证明。偏好关系

  • 消费者偏好是以公理化为特征的.

  • 消费者选择公理构建的目的在于:为消费者行为的基本方面及其对选择对象的态度给予正式的数理表达.

  • 定义:在消费集X上的二元关系≿代表消费者偏好.如果 x1≿x2,我们称对于这个消费者“x1与x2至少一样好”.

  • 公理1 完备性.对于所有属于X集的两个选择x1与x2,要么x1≿x2,要么x2≿x1.

  • 公理2 传递性.对于所有属于X集的任何三个元素x1,x2, x3,如果x1≿x2,x2≿ x3 ,则, x1≿x3.

  • 满足公理1,2形成所谓的“理性”.


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定义本章属于经典消费理论。其中大多数原理我们已经在中初级微观经济学中学习过。但是在那里,这些原理来自于生活经验的归纳,而没有严格的证明。1.1 偏好关系

如果消费者X上的二元关系≿满足公理1与公理2,那么,此关系被称为一种偏好关系.

定义1.2 严格偏好关系

消费集X上的二元关系≻被定义如下:

x1≻x2,当且仅当x1≿x2且x2≵x1

关系≻被成为由≿引出的严格偏好关系.

“x1≻x2”被称为“x1可被严格偏好于x2”

定义1.3 无差异关系

消费集X上的二元关系∼被定义如下:

x1∼x2,当且仅当x1≿x2,且x2≿x1

关系∼被称为由≿引出的无差异关系.


1 4 x
定义本章属于经典消费理论。其中大多数原理我们已经在中初级微观经济学中学习过。但是在那里,这些原理来自于生活经验的归纳,而没有严格的证明。1.4 由偏好关系引出的X中的集合

  • 设x0是消费集X中的任意一点,相对于这样任意一点,我们将定义X的如下子集:

  • 上优集:≿(x0){xxX,x≿x0}

  • 下劣集:≾(x0){xxX,x≾x0}

  • 严格上优集:≻(x0){xxX,x≻x0}

  • 严格下劣集:<(x0){xxX,x<x0}

  • 无差异集:∼(x0){xxX,x∼x0}


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x本章属于经典消费理论。其中大多数原理我们已经在中初级微观经济学中学习过。但是在那里,这些原理来自于生活经验的归纳,而没有严格的证明。2

xx0

x0

x ≿ x0, x≠x0,

x0≿ x, x≠x0,

x2


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x本章属于经典消费理论。其中大多数原理我们已经在中初级微观经济学中学习过。但是在那里,这些原理来自于生活经验的归纳,而没有严格的证明。2

≻(x0)

x0

< (x0)

x1

图1:满足公理1与2的假说性偏好

公理3:连续性公理:

  • 对于所有的xRn+,上优集≿(x),与下劣集≾(x),都是闭于Rn+,(定理A1.4)。

  • 连续性公理保证偏好逆转不会突然出现.

  • 等价的理解:{yn}至少与x一样好(可以不比x好),当yn收敛于y,那么,y也至少同x一样好(可以不比x好).

  • 排除了偏好图上的间断点。


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公理本章属于经典消费理论。其中大多数原理我们已经在中初级微观经济学中学习过。但是在那里,这些原理来自于生活经验的归纳,而没有严格的证明。4:局部非饱和性公理:

x2

  • 对于所有的x0Rn+,对于所有的ε﹥0,始终存在着某个xBε(x0)∩Rn+,有x≿ x0。

  • 任意一点的邻域必有一点优于此点。这是单调性的一般化。而单调性的意义在于:任意一点的东北方向之点必优于此点。

  • 局部非饱和性是说效用函数在三维图象中没有极值点和平台。或者说不存在“无差异区域”.

≻(x0)

x1ε

x0

<(x0)

x1

图1.2:满足公理1,2与3的假说性偏好


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x本章属于经典消费理论。其中大多数原理我们已经在中初级微观经济学中学习过。但是在那里,这些原理来自于生活经验的归纳,而没有严格的证明。2

≻(x0)

x0

< (x0)

图1.3:满足公理1,2,3与4的假说性偏好

x1


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公理本章属于经典消费理论。其中大多数原理我们已经在中初级微观经济学中学习过。但是在那里,这些原理来自于生活经验的归纳,而没有严格的证明。4:严格单调性.

  • 对于所有x0, x1Rn+,如果x0≥x1,那么, x0 ≿x1;另一方面,如果x0>>x1 ,那么, x0 ≻x1.

NOTES:公理4表明,

1.如果一个消费束所包含的每种商品的数量至少同另一个消费束的一样多,那么,这个消费束至少同另一个消费束的一样好.

2.如果一个消费束所包含的每种商品的数量多于另一个消费束,那么,这个消费束一定好于另一个消费束.

3.公理4说明数量上的比较可以是偏好上的比较.

4.公理4蕴涵公理4.故如果偏好满足公理4,自然满足公理4.


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x本章属于经典消费理论。其中大多数原理我们已经在中初级微观经济学中学习过。但是在那里,这些原理来自于生活经验的归纳,而没有严格的证明。2

x1

x0

x2

x1

图1.4:满足公理1,2,3与4的假说性偏好

x2

x1

≻(x0)

xt

x2

x0

(x0)

x1

NOTES

5.公理4消除了无差异曲线斜率为正的可能性.

6.公理4要求上优集应处在无差异曲线上方,而下劣集位于无差异曲线下方.

7.图1.4x0东北部分和西南部分的点肯定不与x0同在无差异集.

上优的在无差异集的上方,下劣集在无差异集的下方.见图1.5.

图1.5:满足公理1,2,3与4的假说性偏好


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凸性及本章属于经典消费理论。其中大多数原理我们已经在中初级微观经济学中学习过。但是在那里,这些原理来自于生活经验的归纳,而没有严格的证明。消费者偏好凸性解释

公理5凸性.如果对所有x1≿ x0,那么,对所有 t[0,1],tx1 +(1-t)x0≿ x0

更强的结论

公理5严格凸性.如果x1≠ x0,并且x1≿ x0,那么,对所有 t(0,1),tx1 +(1-t)x0≻x0

NOTES:

1.公理5或公理5连同公理1,2,3,4将会排除无差异集中凹向原点的部分,如图1.5西北部分.说明:如果无差异集两个不同点x1, x2,由于x1, x2并且x0无差异,显然有x1≿ x2,那么, xt将处在<(x0)集合内,与公理5或者公理5矛盾.

2.发展消费理论附加公理5与5不会丧失消费理论的一般价值.

3.公理5是闭区间,而公理5是开区间.


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消费者偏好凸性解释本章属于经典消费理论。其中大多数原理我们已经在中初级微观经济学中学习过。但是在那里,这些原理来自于生活经验的归纳,而没有严格的证明。

x2

x1

xt

x2

x0

x2

x1

图1.6:满足公理1,2,3,4与

5或5的假说性偏好

4.从几何上理解,看图1.6,凸向原点,曲线的切线斜率为负

5.凸性起到消除极端的作用.假设x1x2.把x1中的x1 x2与x2.中的x1 x2比较, x1中x1 x2比x2.中x1 x2比较“极端”比如多, 但x1中x1 x2凸组合xt,会消除这种极端,还是无差异.

6.描述消费者偏好凸性的含义的另一方法是更关注无差异曲线的“曲率”.当X=Rn+时,无差异曲线斜率(的绝对值)被称为边际替代率.在任何一点,此斜率度量了消费者希望放弃x2以换取x1的比率,以便在交换以后效用仍旧的无差异的.

7.公理5或者5表明,当消费者拥有更多x1与更少x2时,他不愿意放弃x2,而换取x1 ,即是消费理论中的边际替代率递减原理.


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消费者公理评估本章属于经典消费理论。其中大多数原理我们已经在中初级微观经济学中学习过。但是在那里,这些原理来自于生活经验的归纳,而没有严格的证明。

  • 完备性与传递性公理描述了这样一个消费者,即他能在被择物中作出一致的比较.

  • 连续性公理旨在保证在拓扑学上精致得“至少一样好”与“比其劣”的集合的存在性,并且其主要目的是数理性的考虑.

  • 其他所有公理则用于刻画消费者在所选择的物品上的偏好的特征.包括凸性所展现的非饱和形式以及平衡性问题.


1 2 2
1.2.2 本章属于经典消费理论。其中大多数原理我们已经在中初级微观经济学中学习过。但是在那里,这些原理来自于生活经验的归纳,而没有严格的证明。效用函数

  • 在现代理论中,效用函数只是一个精确地总结包含在消费者偏好关系中的信息----既不多也不少的方便工具.有时,偏好关系及其相关集易于进行恰当分析.

  • 而其它时间,特别是当人们愿意利用微积分方法时,采用效用函数更便于分析.在现代理论中,偏好关系被当作偏好的最基本的特征,效用函数只”代表”或总结由偏好关系所传递的信息.

  • 效用函数是将偏好分析转化成函数分析.

  • 偏好关系—集合论;效用函数—函数论—最优化


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边际效用(两物品)边际替代率本章属于经典消费理论。其中大多数原理我们已经在中初级微观经济学中学习过。但是在那里,这些原理来自于生活经验的归纳,而没有严格的证明。

物品i的边际效用

物品i替代物品j的边际替代率,

注意取的是绝对值

当u(x)在Rn++上可微,并且是严格单调时,u(x)/ xi>0,(i=-1,……n),

当偏好严格为凸时,边际i替代率总是严格递减的.

更为一般,对于任何拟凹效用函数,二阶偏导的海赛矩阵H(X)满足

yH(X)y≤0,对于所有y,使得u(x)y=0


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消费者最优解的性质本章属于经典消费理论。其中大多数原理我们已经在中初级微观经济学中学习过。但是在那里,这些原理来自于生活经验的归纳,而没有严格的证明。


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定义本章属于经典消费理论。其中大多数原理我们已经在中初级微观经济学中学习过。但是在那里,这些原理来自于生活经验的归纳,而没有严格的证明。1.5 代表偏好关系≿的效用函数

  • 如果对于所有x0,x1ℝn+,u(x0) u(x1)  x0≿x1,那么,实值函数u:ℝn+→ℝ被称为代表偏好关系的一个效用函数.

  • 用效用函数代替偏好关系进行研究时,对消费理论中的许多问题的分析将会被大大简化.

  • 可以证明任何一个具备完备性,传递性与连续性的二元关系才能被用一个连续实值函数来表达.


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x本章属于经典消费理论。其中大多数原理我们已经在中初级微观经济学中学习过。但是在那里,这些原理来自于生活经验的归纳,而没有严格的证明。2

u(x)

u(x)e

1

450

x1

u(x)

1

定理1.1 代表偏好关系的实值函数的存在性

  • 如果二元关系≿ 是完备的,可传递的,连续性的及严格单调的,那么,必存在一个连续的实值函数u: ℝn+→ℝ,它一定代表≿ .

  • 可以把定理1.1理解为桥梁定理;从偏好关系到效用函数的桥梁;或者说,从集合论到函数论转化的桥梁;是工具的转化.

  • 此定理是一个存在性定理.

图1.7构造影射u:ℝn+ ℝ+


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本章属于经典消费理论。其中大多数原理我们已经在中初级微观经济学中学习过。但是在那里,这些原理来自于生活经验的归纳,而没有严格的证明。n+  R

X  u(x) u(x)e

向量函数 向量

与X无差异

证明:

  • 假设≿是完备的、可传递的、连续和严格递增的。设e ≡ (1,……,1)R+是一个单位向量。并考虑映射(一个连续的实值函数)u:ℝn+→ℝ,使

  • u(x)ex

引入单位向量的目的是使实数值与消费组合对应起来

如果这样一个u(x)存在,并且如果能证明它是连续的,那么,我们就找到了一个实值函数它可以描述偏好关系。

1.u(x)存在:

考虑的上优集和下劣集

A={t≥0|te≿x}, B={t≥0|te≾x},

  • 证明两点:是否存在这个u,这个u是否唯一?

函数单调,或者偏序关系,对所有的t>t,tA,蕴涵,tA可以看出A必定是 [t, ∞] 形式的闭区间,同样B=[0, t̃],也是R+内的闭区间.


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R本章属于经典消费理论。其中大多数原理我们已经在中初级微观经济学中学习过。但是在那里,这些原理来自于生活经验的归纳,而没有严格的证明。+= A∪B= =[0, t̃]∪ [t, ∞],t̃≤t A∩B≠

那么,存在一个t* A∩B,使得,t*ex,这样,令u(x)=t*就是我们要寻找的实值函数。

我们已经证明:由于A,B都是闭的,显然这样一个t*存在(参见书p14)

  • 唯一性是为了保证效用函数定义良好如果不是唯一的,那么就可能有许多效用函数了。

  • 假设t不为一,存在t1、t2

  • 因为t1ex, t2ex

  • 所以, t1e t2e 所以, t1=t2

  • 这样,我们就给效用函数u(x)赋了值,它给每个消费组合X分派了一个数字,

  • 2.u(x)=t唯一


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  • 现在,我们要证明:本章属于经典消费理论。其中大多数原理我们已经在中初级微观经济学中学习过。但是在那里,这些原理来自于生活经验的归纳,而没有严格的证明。

  • 3.效用函数u(x)代表了偏好关系

  • 设u(x1) t1ex1, , u(x2) t1ex2,

x1≿ x2, (P.2)

 u(x1)ex1≿x2u(x2)e, (P.3)

 u(x1)e≿u(x2)e (P.4)

 u(x1)≥u(x2) (P.5)

(P.2)(P.3)由u的定义推出,

(P.3)(P.4)由偏好关系≿和等价关系的传递性及u的定义推出,

(P.4)(P.5)由偏好关系的严格单调性。


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4本章属于经典消费理论。其中大多数原理我们已经在中初级微观经济学中学习过。但是在那里,这些原理来自于生活经验的归纳,而没有严格的证明。、效用函数是连续的

  • (根据定理A1.6:连续性与其逆象的关系定理)

  • 设D是ℝn的一个子集,如下条件是等价的:

  • 1、f:D→ℝn是连续的

  • 2、对于ℝn内的每个开球,f-1(B)内也是开的。

  • 定理表明,对于连续函数,值域内的开球在定义域内的逆象也是开球。

  • 对于效用函数U(x)(a,b),其逆象


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本章第一次课到此结束本章属于经典消费理论。其中大多数原理我们已经在中初级微观经济学中学习过。但是在那里,这些原理来自于生活经验的归纳,而没有严格的证明。

根据偏好关系的连续性,≾(ae)和≽(be)在X=R+是闭的,所以

(ae)和 (be)是补集,所以在X=R+是开的

效用函数u(x)是连续的。


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定理本章属于经典消费理论。其中大多数原理我们已经在中初级微观经济学中学习过。但是在那里,这些原理来自于生活经验的归纳,而没有严格的证明。1.2 效用函数对正单调转换的不变性

  • 令≿是ℝn+上的一个偏好关系,并设u(x) 是一个代表此偏好关系的效用函数.对于每个x,当且仅当v(x)=f(u(x))----这里f: ℝ→ℝ,在由u所确定的值集上是严格递增的,那么v(x)也代表偏好关系≿.

问题的提出:定理1.1在偏好关系与连续函数关系之间建立了桥梁.

但是,u可以表达,v=u+3,或者,

V=u2也可以表达,表达并不唯一;

关键是连续函数能保持偏序关系的排序,这是本质的问题.


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效用函数的任何正的单调变换仍表示同一个效用函数:为什么?效用函数的任何正的单调变换仍表示同一个效用函数:为什么?

定理1.3:效用函数的正向单调变换不变性定理:

  • 设≿是u: ℝn+上的偏好关系,u(x)是反映此偏好关系的效用函数,对于每一个x,当且仅当,v(x)=f(u(x)),其中,f: ℝ→ℝ,在定义域上严格递增时,函数v(x)也反映该偏好关系。

定理1.4:偏好关系和效用函数的特征:

设u: ℝn+→ℝ,反映偏好关系,有

U(x)严格递增≿严格单调

U(x)拟凹≿为凸集

U(x) 严格拟凹≿为严格凸集

  • 有了效用函数后我们就可以用微积分而不是集合论来分析问题了。


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x效用函数的任何正的单调变换仍表示同一个效用函数:为什么?2

x1

1.3消费者选择

  • 消费者选择能够支付得起的最优商品组合。

  • “支付得起”——预算集,“最优”——偏好关系

  • 消费者偏好:偏好是完备的、可传递的、连续的、严格单调和严格凸的。这种偏好关系可以用一个是值函数u表示,该函数是连续的、严格递增的和严格拟凹的。

  • 消费者偏好用无差异图表示:

图1.8 满足假设1.2的偏好的

无差异图


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预算集:效用函数的任何正的单调变换仍表示同一个效用函数:为什么?

y/p2

p2/p1

B

y/p1

x1

x2

  • 预算集B是x的可行消费品与价格及收入的集合,

  • 预算集图形及斜率:

  • 消费者问题:

  • 消费者从预算集中选择最偏好的商品组合(点)x*:

  • X*B,且对于所有的, X*B,有x* ≿ x。

图1.9 两种商品情形中预算集


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消费者从预算集中选择最大化效用函数的点效用函数的任何正的单调变换仍表示同一个效用函数:为什么?x*:

(P1.5)

消费者的问题:

此最大化问题是否有解:

是否有唯一解:


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y/p效用函数的任何正的单调变换仍表示同一个效用函数:为什么?2

X*

X2*

y/p1

x1

X1*

图1.10消费者的效用最大化问题的解

定理A1.10 (威尔斯拉斯)极值的存在性

设.f:S→R是连续实值映射—这里S是Rn的一个非空的紧子集,那么,存在一个向量x*S与xS,使得:

f(x)≤f(x)≤f(x*) 对所有xS.


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Y效用函数的任何正的单调变换仍表示同一个效用函数:为什么?

Y

I减少

PX下降

I增加

0

0

X

X

X商品价格变动对预算线的影响

收入变动对预算线的影响

马歇尔需求函数定义

  • 效用函数u(x)称为直接效用函数,即效用是消费计划x=(x1,…,xn)的函数,给定价格向量p(p1,…,pn)与y,消费者可以解出最优消费量x*=(x1*,…,xn*).在二维空间里, x1*=x1(p,y)和x2*=x2(p,y).

  • 问题是,如果p1,p2的相对关系发生了变化,收入水平y发生变化,那么,最优消费量也会跟着发生变化.


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马歇尔需求函数效用函数的任何正的单调变换仍表示同一个效用函数:为什么?.

  • 解向量x*依存于消费者问题的参数.因为它对于即定的p与y的值是唯一的.我们可以把(1.5)的解视为一个由价格与收入集到数量集X=Rn+的一个函数.因此,我们可以把x*写成xi*= xi(p,y),i=1,…,n;或者采用向量x*= x(p,y);

  • 当x*被看成p与y的函数时,效用最大化问题的解就是所谓的普通或者马歇尔需求函数.


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预算线的斜率:效用函数的任何正的单调变换仍表示同一个效用函数:为什么?

无差异曲线的斜率:

y/p2

X*

X2*

y/p1

x1

  • (注意这个条件)

X1*

图1.10消费者的效用最大化问题的解

  • 解得马歇尔需求函数x*=x(p,y)

两维空间:预算线和无差异曲线之间的关系相交→

相切→不相交

预算线与无差异曲线相切:


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效用函数的任何正的单调变换仍表示同一个效用函数:为什么?1.11消费者问题与消费者需求行为

x2

X*

x1

x2

(a)

x1

(a)

NOTES

1.消费者问题与消费者需求行为之间的关系图1.11:

2.收入不变,商品1的价格发生变化,对商品1和2变化的替代关系;

3.(b)图表达从消费者均衡中的价格变化引致的消费函数.


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(1.6)效用函数的任何正的单调变换仍表示同一个效用函数:为什么?

构造拉格朗日函数:

L(X,λ)=u(x)+ λ(y-Px)

一阶条件:

加边海赛矩阵为负半定

二阶条件:

马歇尔需求函数x*=x(p,y)

解:

拉格朗日方法求消费者问题的解:

假设效用函数u(x)连续可导,可以用拉格朗日方法求消费者问题的解:

(1)根据偏好关系的严格单调性定理,约束条件必然为px=y


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(2效用函数的任何正的单调变换仍表示同一个效用函数:为什么?)不等约束条件下的极值Kuhn-Tucker定理:

构造拉格朗日函数:

一阶条件:

加边海赛矩阵为负半定

二阶条件:

解:

得马歇尔需求函数x*=x(p,y)


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定理效用函数的任何正的单调变换仍表示同一个效用函数:为什么?1.4消费者一阶条件的充分性

  • 设u(x)在Rn+上是连续且拟凹的,并且(p,y)>>0是(1.10)的解,那么,在价格为p和收入为y的条件下,x*是消费者效用最大化问题的解.


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例题效用函数的任何正的单调变换仍表示同一个效用函数:为什么?1:消费者的效用函数为,

求马歇尔需求函数。

解:设商品1和商品2的价格分别为p1,p2>0,消费者收入为y>0。消费者的决策为:

构造拉格朗日函数:


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解得马歇尔需求函数:效用函数的任何正的单调变换仍表示同一个效用函数:为什么?

  • 最优解(x1,x2,λ)满足一阶条件:


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消费者的最大效用为:效用函数的任何正的单调变换仍表示同一个效用函数:为什么?

  • 间接效用函数为:


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(E.1)效用函数的任何正的单调变换仍表示同一个效用函数:为什么?

(E.2)

(E.3)

(E.4)


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(E.5)效用函数的任何正的单调变换仍表示同一个效用函数:为什么?

(E.6)

(E.7)

(E.8)

(E.9)


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x效用函数的任何正的单调变换仍表示同一个效用函数:为什么?2

(E.10)

(E.11)

方程(E.8)与(E.9)为消费者问题(E.1)的解,他们是消费者的马歇尔需求函数.如果定义参数r=p/(p-1).则方程(E.8)与(E.9)可以改写为:

x1

NOTES:

1.消费者问题的解只依存其参数p1,p2,与y.不同的价格与收入,通过(E.10)与(E.11),将赋予每种物品不同的需求量.

x2

p1

x1


1 5 x p y
定理效用函数的任何正的单调变换仍表示同一个效用函数:为什么?1.5:马歇尔需求函数x*(p,y)的可微性

令x*>>0是当价格P*>>0与收入为y0>0时消费者最大化问题的解,如果,

1.效用函数u在Rn++二阶连续可微;

2.某些或全部商品的边际效用大于零,

3.效用函数u的海赛加边矩阵有非零行列式.

那么,x(p,y)在(p0,y0)可微.

  • 作用:比较静态分析——参数或模型结构的变化对模型解的影响——价格变化或收入变化导致的解的变化:


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x效用函数的任何正的单调变换仍表示同一个效用函数:为什么?2

X(p,y)

u=v(p,y)

x1

图1.13 在价格p与收入y时的直接效用函数

1.4 间接效用函数与支出

  • 直接效用函数u(x):普通效用函数u(x)定义消费集X,并直接代表消费者偏好,被称为直接消费函数.


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(1.12)效用函数的任何正的单调变换仍表示同一个效用函数:为什么?

间接效用函数:

间接效用函数:给定价格P与收入y,消费者选择一个效用最大化的消费束

X(p,y).当X(p,y).被选定时,所获得的效用水平将是由消费者面对价格p与收入

y时的预算约束所允许的最高的效用水平.不同的价格与收入,给出不同的预算

约束,将会一般产生出消费者的不同选择,从而也形成不同的最大化效用水平.

价格,收入与效用最大化之间的关系用一个实值函数v:Rn+R定义如下:我们

称v(p.y)为间接效用函数.

间接效用函数的政策意义:通过价格政策(p)和收入政策(y)可以控制消费者行为。


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定理效用函数的任何正的单调变换仍表示同一个效用函数:为什么?1.6间接效用函数的性质:

(第二次课讲到此,提前十分钟)

  • 如果u(x)在Rn+上连续且严格递增,那么,有(1.12)定义的间接效用函数v(p,y)具有如下性质:

  • 1.在Rn++ Rn+上连续;

  • 2.关于(p,y)是零次齐次的;

  • 3.在y上严格递增的;

  • 4.在p上严格递减的;

  • 5.在(p,y)上拟凹的;

  • 6.罗伊恒等式:如果v(p,y)在(p0,y0)上可微,并且,


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的特征效用函数的任何正的单调变换仍表示同一个效用函数:为什么?

间接效用函数

证明1.间接效用函数v(p,y)在Rn++上连续

Rn++表示价格的定义域,下标“++”指价格严格为正,没有一维

价格为零,n表示有n维价格. Rn+表示收入的定义域,收入

可以为零. Rn++Rn+表示预算集的定义域.

性质1说明当收入与价格有“微量变化”时,极大化了的效用

也会有“微量变化” 。

P476:最大化定理:如果目标函数与约束条件关于参数是连

续的,并且关于定义域是一个紧集(有界闭集),那么,最大化

函数关于参数是连续的.

如果目标函数,约束条件与解关于参数均是可微的,最大化

函数将随参数变化而变化,就是我们的包络定理.


2 p y
证明效用函数的任何正的单调变换仍表示同一个效用函数:为什么?2.间接效用函数关于(p,y)是零次齐次的

我们希望证明:

根据定义,我们知道:


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证明效用函数的任何正的单调变换仍表示同一个效用函数:为什么?3.间接效用函数v(p,y)

关于关于y是严格递增的

NOTES:

1.假定中包括v(p,y)的解p>>0,y≥0,x>>0,u()可微,

并且u(x)/ xi>0.

2.(1.12)的约束条件px≤y,可以改成px=y.于是,

px=y. (P.1)

  • 构造拉格朗日函数求解:

(P.2)

(P.3)


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Notes:效用函数的任何正的单调变换仍表示同一个效用函数:为什么?对v(p,y)关于y求偏导就是对

极大化的maxu(x)关于y求导,也就是

关于拉格朗日函数对y求导

根据包络定理,构建v(p,y)关于y的偏导数等于拉格朗日函数

关于y 的偏导数—它在(x*,λ*)处取值,(包络定理的本质是:

最大值函数的导数可以通过拉格朗日函数的导数表达.)

对此式对y求导

(P.4)

因此, v(p,y)关于y的偏导数大于零,故v(p,y)关于y是递增的.


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证明效用函数的任何正的单调变换仍表示同一个效用函数:为什么?4.间接效用函数v(p,y)关于价格p是递减的


4 v p y p
证明效用函数的任何正的单调变换仍表示同一个效用函数:为什么?4(另一种证明).间接效用函数v(p,y)关于价格p是递减的

  • 多加一个假设:xi>0,用证明3的方法证明4.借助拉格朗日函数,对pi求导数,有


5 v p y p y
证明效用函数的任何正的单调变换仍表示同一个效用函数:为什么?5.间接效用函数v(p,y)在(p,y)上拟凸

证明:令B1B2与Bt是价格与收入分别为(p1,y1), (p2,y2)与(pt,yt)时的可利用预算集.

这里pt≡tp1+(1-t)p2, yt ≡ty1+(1-t)y2,

那么,B1 ≡{x|p1x≤y1},B2 ≡{x|p2x≤y2},

Bt ≡{x|ptx≤yt}

  • 定义A1.27:一个函数f:D→ℝ,是拟凸函数,当且仅当对于所有x1,x2D,有:f(xt)≤max[f(x1), f(x1)]。即凸组合的函数值小于其中一个的函数值。


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证明效用函数的任何正的单调变换仍表示同一个效用函数:为什么?6.罗伊恒等式:如果v(p,y)在(p,y)上可导,并且

证明:我们在性质3与4的证明过程:

那么:


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我们应当证明(效用函数的任何正的单调变换仍表示同一个效用函数:为什么?E.2)满足定理1.6中详加谈论的间接效用函数的所有性质。

首先验证v(p,y)是关于价格与收入的零齐次函数。对于任意t>0


1 4 2
1.4.2效用函数的任何正的单调变换仍表示同一个效用函数:为什么?支出函数

  • 间接效用是一个总结大量有关消费者市场行为信息的简洁而有力的方法.一个与此相伴的工具是支出函数方法.

  • 为构造间接效用函数,我们固定市场价格与收入,并寻找消费者可获得的最大化的效用水平,为构建支出函数,我们再次固定价格,但我们将提出与有关消费者获得的效用水平不同类型的问题.

  • 即面对在即定的价格集上获得的即定效用水平,消费者必须付出的最低水平的支出是什么?

  • 在这种构建中,我们忽略消费者的收入水平.


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NOTES:1.效用函数的任何正的单调变换仍表示同一个效用函数:为什么?平行直线代表(在同样价格下的p(p1,p2)等支出线;

2.等支出线由e=p1x+p2x定义;

3.等支出曲线有相同的斜率-p1/p2与不同的横截距,e/ p1和纵截距e/ p2 ;

4,等支出曲线离原点越远,则其所包含的消费束花费更多的费用;

5.如果把无差异曲线固定在u处,那么,无差异曲线u(x)=u将给出获得相同效用水平的一切消费束.

x2

x2

X(p,y)

u=v(p,y)

x1

u=v(p,y)

图1.13 在价格p与收入y时的

直接效用函数

x1

6.e3与u 没有任何点相交;

而e1,e2与e*与u都有相交;

但e*与u相交的支出最低.

7.构造获得与u有一个交点的支出函数就是支出最低的支出函数;显然它就是水平e*.

7. 价格为P时最小成本消费束是:

8.在价格为P时获得效用水平u的最小支出函数表示为

图1.15 寻求获得效用水平的支出最低水平


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1.14效用函数的任何正的单调变换仍表示同一个效用函数:为什么?

更一般,我们把支出函数定义为最小值,即:

支出函数的最优解为希克斯需求函数xh(p,u) ,最小支出为pxh(p,u)

支出函数e:Rn++→R为:


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两元空间支出最小化:效用函数的任何正的单调变换仍表示同一个效用函数:为什么?


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p效用函数的任何正的单调变换仍表示同一个效用函数:为什么?

第三次课讲到此

  • 希克斯需求函数(补偿需求函数,或实际收入不变的需求函数):效用函数u(x)严格单调递增,所以有唯一的无差异曲线与u相对应,因此可以把所要实现的效用水平u写作u(x)。

可以写为:

支出函数可以表述为在给定价格下,实现消费束所带来的效用,所需的最小支出。图1.16


1 7 e p u
定理效用函数的任何正的单调变换仍表示同一个效用函数:为什么?1.7 支出函数e(p,u)的性质

  • 在u()是连续且严格递增的,那么,由(1.14)定义的支出函数e(p,u)则是:

  • 1.当u在U中的最低效用水平时,它为零;

  • 2.在定义域e:Rn++ U上连续;

  • 3.对于所有的p>>0,u严格递增并且关于u无上界;

  • 4.在价格p上递增;

  • 5.在价格p上一次齐次性;

  • 6.在价格p上为凹函数;

  • 7.有谢泼特(Shephard)引理:在(p0,u0)处,p0>>0时,e(p,u)关于p是严格可微的,并且:


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3.效用函数的任何正的单调变换仍表示同一个效用函数:为什么?对于所有的p>>0,u>u(0),xh(p,u)>>0可微,u() 可微且


6 e p u p
6.e(p,u)效用函数的任何正的单调变换仍表示同一个效用函数:为什么?在价格p上为凹函数


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x效用函数的任何正的单调变换仍表示同一个效用函数:为什么?2

px≤y

x1


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价格不变的效用函数的任何正的单调变换仍表示同一个效用函数:为什么?,效用即定的最小支出

价格不变的,保证效用最大的最大收入.

收入与支出比较.

价格不变的,收入即定的至少效用.

价格不变的,最大效用

效用的比较


Notes
NOTES:效用函数的任何正的单调变换仍表示同一个效用函数:为什么?

  • 如果我们想推出一个消费者的间接效用函数与支出函数,我们将必须解出两个不同约束的最优化问题:一个是最大化问题,另一个是最小化问题.定理1.8指出了从一种最优化问题推出另一个最优化问题的简便方法.

  • 支出函数e(p,u)关于u是严格递增的,关于p是递增的;(双增);而间接效用函数v(p,y)关于y是严格递增的,关于p是递减的(一增一减).

  • 由于间接效用函数v(p,y)关于y是严格递增的,当价格p 不变时,可以把间接效用函数v(p,y)看成是收入y的严格递增函数,故可以利用反函数的方式讨论:


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假设效用函数的任何正的单调变换仍表示同一个效用函数:为什么?1.2 消费者偏好:消费者的偏好

关系≿在Rn+上是完备的,可传递的,连

续的,严格单调的并且是严格凸的.

因此,依据定理1.1与1.3这种偏好关

系可由一个实值函数u表示.该函数

在Rn+上连续的,严格递增的并且是严

格凹的.

问题的提出:

我们知道效用最大化问题的解是马歇尔需求函数,支出最小化问题的解是希克斯需求函数.

我们希望从间接效用函数与支出函数的对称性讨论他们的解的对称性;或者说,讨论马歇尔需求函数与希克斯需求函数的对称性问题.


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x效用函数的任何正的单调变换仍表示同一个效用函数:为什么?2

y/p2

X*

u(X*)=u

y/p1

x1

图1.17 支出最小化与效用最大化


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1.5效用函数的任何正的单调变换仍表示同一个效用函数:为什么?马歇尔需求函数的特征(比较静态分析)

  • 马歇尔需求函数:x(P,y)

  • Walras法则(预算平衡性):

  • Px(P,y) ≡y

  • 在价格和收入上零次齐次性

  • 对于所有的,有,

  • x(P,y) ≡x(tp,ty)


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比较静态分析效用函数的任何正的单调变换仍表示同一个效用函数:为什么?:

  • 某种商品价格变化所导致的对其他商品和该商品本身需求的变化;

  • 收入变化所导致的对商品的需求的变化。


1 5 2

Y效用函数的任何正的单调变换仍表示同一个效用函数:为什么?

收入消费曲线

0

X

1.5.2.收入效应与替代效应

  • 随着消费者收入水平的变化而使消费者均衡点发生移动所形成的轨迹曲线称为“收入消费曲线”。

  • 收入消费曲线描述的是随着消费者收入的变化,消费者选择的商品篮子的变化规律。

收入消费曲线和恩格尔曲线


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Y效用函数的任何正的单调变换仍表示同一个效用函数:为什么?

价格消费曲线

0

X

PX

需求曲线

0

X

二.价格消费曲线和需求曲线


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x效用函数的任何正的单调变换仍表示同一个效用函数:为什么?2

x2

x2

x2

x2

x1

x1

x11

x10

x1

x10

x10

x11

x11

X10=x11

图1.19 需求量对价格变化的反应

替代效应与收入效应

1)替代效应(SE:substitution effect),假定实际收入不变,仅由于价格变动所

引起的廉价的物品替代相对昂贵的物品.

2)收入效应(IE:income effect)当任何一种物品的价格下降时,消费者对所有

物品的控制力相对增加,相当于实际收入增加导致对物品需求量的增加.


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TE效用函数的任何正的单调变换仍表示同一个效用函数:为什么?

TE

SE

IE

SE

IE

TE

IE

SE

TE


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定理效用函数的任何正的单调变换仍表示同一个效用函数:为什么?1.11 Slutsky方程


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证明效用函数的任何正的单调变换仍表示同一个效用函数:为什么?:由定理1.9,有

(定理1.9)

其中,u*是在价格为p、收入为y时所实现的效用。因此有u*=v(p,y),于是e(p,u*)=e(p, v(p,y))= y,所以,上式等号右边xi(p, e(p,u*))为复合函数: xi(p,y),y=e(p,u*).

第一步:等号左右两边同时对Pj求导数,得到


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根据定理效用函数的任何正的单调变换仍表示同一个效用函数:为什么?1.7

谢泼德引理

根据定理1.9

结论1(P39)

第二步:

第一步的左边第一项

第三步:得到Slutsky方程:

第一步的右边第一项

第一步的右边第二项


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1.效用函数的任何正的单调变换仍表示同一个效用函数:为什么?自身替代项

的特征:


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效用函数的任何正的单调变换仍表示同一个效用函数:为什么?

定理1.12:负自身替代项:

是对商品i的希克斯需求函数,有:

证明:支出函数e(p,u)在价格p上为凹函数,根据定理A2.5,凹函数所有的二阶偏导数非正,即

根据谢泼德引理(p33),有

所以


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效用函数的任何正的单调变换仍表示同一个效用函数:为什么?正常商品:在价格不变时,随着收入增加,其消费增加的商品,叫做“正常商品”。对正常商品,有

③非正常商品:在价格不变时,随着收入增加,其消费减少的商品,叫做“非正常商品(inferior)”。对非正常商品,有


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定理效用函数的任何正的单调变换仍表示同一个效用函数:为什么?1.13:需求法则(定律):

正常商品:

对于正常商品来说,价格下降时需求增加,价格增加时,需求减少.几何上是需求曲线斜率为负.

非正常商品:


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第四次课讲到此效用函数的任何正的单调变换仍表示同一个效用函数:为什么?,10点下课

如果商品自身价格下降导致其需求量下降,该商品肯定为非正常商品。

正常商品

非正常商品


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是希克斯需求函数,支出函数效用函数的任何正的单调变换仍表示同一个效用函数:为什么?

③定理1.14:对称替代项(希克斯需求函数的交叉替代项是对称的):

连续二阶可导,有:

证明:根据谢菲尔德引理,有

于是


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替代项的数量:效用函数的任何正的单调变换仍表示同一个效用函数:为什么?

个.

根据杨格定理(A2.2),有

④替代矩阵:


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替代矩阵效用函数的任何正的单调变换仍表示同一个效用函数:为什么?

定理:1.15负半定替代矩阵:

其中,


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是支出函数的二阶价格偏导数构成的海赛矩阵。支出函数在价格上为凹函数,其二阶价格偏导数构成的海赛矩阵负半定,因此,替代矩阵负半定。是支出函数的二阶价格偏导数构成的海赛矩阵。支出函数在价格上为凹函数,其二阶价格偏导数构成的海赛矩阵负半定,因此,替代矩阵负半定。


1 16 slutsky
是支出函数的二阶价格偏导数构成的海赛矩阵。支出函数在价格上为凹函数,其二阶价格偏导数构成的海赛矩阵负半定,因此,替代矩阵负半定。定理1.16对称和负半定的Slutsky矩阵

Slutsky方程:

有Slutsky项:


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也就有:是支出函数的二阶价格偏导数构成的海赛矩阵。支出函数在价格上为凹函数,其二阶价格偏导数构成的海赛矩阵负半定,因此,替代矩阵负半定。

是对称的、负半定的,因此

是对称的、负半定的。

矩阵形式为:


1 5 3

是支出函数的二阶价格偏导数构成的海赛矩阵。支出函数在价格上为凹函数,其二阶价格偏导数构成的海赛矩阵负半定,因此,替代矩阵负半定。

1.5.3弹性:

是对商品

的马歇尔需求。定义:

1.商品i上的支出份额:

,有


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2.是支出函数的二阶价格偏导数构成的海赛矩阵。支出函数在价格上为凹函数,其二阶价格偏导数构成的海赛矩阵负半定,因此,替代矩阵负半定。收入弹性:

3.价格弹性:


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定理是支出函数的二阶价格偏导数构成的海赛矩阵。支出函数在价格上为凹函数,其二阶价格偏导数构成的海赛矩阵负半定,因此,替代矩阵负半定。1.17:消费者需求中的加总:

设马歇尔需求函数为

,根据Walras法则(预算平衡性),

有:

  • 等号左右两边同时对y求导,得到

即:


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是支出函数的二阶价格偏导数构成的海赛矩阵。支出函数在价格上为凹函数,其二阶价格偏导数构成的海赛矩阵负半定,因此,替代矩阵负半定。Engel加总:

整理得

等号两边同乘以

,得到

2.等号左右两边同时对pj求导,得到

整理得:

有Cournot加总:


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马歇尔需求函数是支出函数的二阶价格偏导数构成的海赛矩阵。支出函数在价格上为凹函数,其二阶价格偏导数构成的海赛矩阵负半定,因此,替代矩阵负半定。

同时对 求导,并使 t=1:

对于所有的t>0,有

在价格和收入上零次齐次性:

等号左右两边同乘以

得到:

即:


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证明:是支出函数的二阶价格偏导数构成的海赛矩阵。支出函数在价格上为凹函数,其二阶价格偏导数构成的海赛矩阵负半定,因此,替代矩阵负半定。


Notes1
NOTES:是支出函数的二阶价格偏导数构成的海赛矩阵。支出函数在价格上为凹函数,其二阶价格偏导数构成的海赛矩阵负半定,因此,替代矩阵负半定。

  • 定理1.10至1.17一起给出一个效用最大化行动的逻辑含义的说明:

  • 齐次性告诉我们需求必定会对整个等比例的价格与收入的同时变动作出反应;预算平衡性则要求需求总会耗尽消费者的收入.

  • 斯卢茨基方程为我们提供了需求方程组对一般性价格变化作出反应的各种特征信号.

  • 同时给出不可观察部分对价格变化的反应,也为收入与替代效应提供了分析与结论.

  • 最后,加总关系提供了有关需求量,首先对收入变化的反应,然后对单个价格变化的反应,并放在一起考察.


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本章知识点:是支出函数的二阶价格偏导数构成的海赛矩阵。支出函数在价格上为凹函数,其二阶价格偏导数构成的海赛矩阵负半定,因此,替代矩阵负半定。

  • 消费集和消费集的特征;可行集;预算集;

  • 偏好关系和偏好关系的特征;

  • 效用函数的定义;效用函数存在性证明;效用函数正单调变换不变性定理;偏好特征与效用函数的特征;边际替代率;消费者优化问题的解;

  • 间接效用函数的定义;间接效用函数的特征及证明;支出函数的定义和支出最小化问题的解;支出函数的特征及证明;间接效用函数和支出函数的对偶性;马歇尔需求函数与希克斯需求函数的对偶性;

  • 消费者需求函数的特征;Slutsky方程;弹性关系.


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