Estatística

1. Estatística • Dados valores (amostras) de variáveis aleatórias X1, X2, ..., Xn, cuja distribuição conjunta é desconhecida, inferir propriedades desta distribuição.

2. Estatística • Situação mais comum: X1, X2, ..., Xnsão i.i.d. (formam uma amostra aleatória simples), com distribuição comum Fq, conhecida a menos do parâmetro q (estatística clássica paramétrica). • Outras modalidades de inferência: não paramétrica, bayesiana

3. Estimativa Pontual • Estimar q por meio de uma estatística

4. Exemplo • Os táxis em uma cidade são numerados de 1 a N, onde N é desconhecido. Estimar N, por meio de uma amostra dos números dos táxis que passam em um determinado ponto (por exemplo: • Mais conveniente considerar a versão contínua: X1, X2, ..., Xn i.i.d. U[0, q].

5. Estimadores Razoáveis

6. Critérios para Avaliar Estimadores • Vício (ou viés ou tendência ou bias) • O estimador é não-viciado quando a tendência é igual a zero para todo q. • Erro médio quadrático • O erro médio quadrático de um estimador não-viciado é igual à sua variância

7. Exemplo • Dos estimadores do exemplo anterior, qual é o melhor?

8. Método da Máxima Verossimilhança • O estimador é escolhido de modo a maximimizar a função de verossimilhança onde p(x, q) é a probabilidade (ou densidade) de se observar a amostra x1, x2, …, xn quando o parâmetro é igual a q.

9. Exemplo • X1, X2, ..., Xn i.i.d.Bernoulli (q)

10. Exemplo • X1, X2, ..., Xn i.i.d.N(m, s2)

11. Qual é o melhor estimador? • Sonho de consumo • Um estimador não viciado que possua menor variância que qualquer outro, para todo valor de q (ENVUMV). • Há teoremas que permitem obter, em certos casos, estes estimadores.

12. Alguns ENVUMVs

13. Observação • Embora existam ENVUMVs para as distribuições clássicas, em geral sequer há estimadores não viciados. • Por esta razão, o método geral para obtenção de bons estimadores é o método da máxima verossimilhança. • Há teoremas que garantem que tais estimadores são assintoticamente não viciados e de mínima variância.

14. Estimação Bayesiana • Utiliza uma distribuição de probabilidade a priori p(q) para o parâmetro q • Modelagem de crenças (beliefs). • Subjetividade • Distribuição das observações vista como distribuição condicional (p(x, q)  p(x | q) ) • Inferências baseadas na distribuição a posteriori de q dados X1, X2, ..., Xn

15. Critérios de Estimação • Máximo a posteriori (MAP):

16. Critérios de Estimação • Estimador de Bayes onde L(q, q’) é uma função de perda. • No caso da perda quadrática L(q, q’) = (q˗ q’)2