三角函数

1. 2006年名师课堂辅导讲座—高中部分 三角函数 李洪岩 高级教师

2. [学习内容] 1、三角函数的有关概念。 2、同角三角函数基本关系及诱导公式。 3、两角和与差三角函数。 4、三角函数图象与性质。 5、三角函数求值。

3. [学习要求] （1）理解任意角的概念、弧度的意义。能正确地进行弧度与角度的换算。 （2）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义。掌握同角三角函数的基本关系式。掌握正弦、余弦的诱导公式。了解周期函数与最小正周期的意义，了解奇函数、偶函数的意义。

4. （3）掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。（3）掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。 （4）能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。 （5）了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解A，ω，φ的物理意义。 （6）会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx、arccosx、arctanx表示。

5. [学习指导] 1、掌握三角函数的概念、图象和性质。近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是本章复习的重点。

6. 在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得出函数的性质，或由单位圆上线段表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法。在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得出函数的性质，或由单位圆上线段表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法。

7. 2、掌握三角函数基本的三角变换 虽然三角变换的考查要求有所降低，但它终究是三角函数的基础，没有三角函数的恒等变形就谈不上性质和图象的应用，所以要立足于课本，掌握基本的三角变换。

8. 3、重视数学思想方法的复习 本章试题以选择、填空题、解答题的形式出现，因此复习中要重视选择填空题的一些特殊解法，如数形结合，代入检验，特殊值法。待定系数法，排除法，另外对有些具体问题还需掌握和运用一些基本结论。 4、加强三角函数应用意识的训练。

9. [典型例题分析] 例1、求下列函数的定义域 （1）f(x)=logsinx(1+2cosx) （2）f(x)= [分析]先转化为三角不等式，可利用单位圆或三角函数图象进行求解。

10. 解（1） 1+2cosx>0 ∴ cosx>- 0<sinx<1 0<sinx<1 ∴ 2kπ- <x<2kπ+ 2kπ<x<2kπ+π且x≠2k+ k∈z f(x)定义域为

11. （2） 2cosx+1≥0 ∴ cosx≥- tanx≠0 tanx≠0 ∴f(x)定义域为 {x|2kπ- ≤x≤2kπ+ 且x≠kπ+ x≠kπ,k∈z}

12. 例2、求下列函数值域 （1）y= （4）y= （2）y=sinx+cosx+sinxcosx （3）y=2cos( +π)+2cosx [分析]将原函数化为y=Asin(ωx+φ)+b或y=Acos(ωx+φ)+b或化为关于sinx(cosx)二次函数，利用换元进行配方求解。

15. 反思：关于y=acos2x+bcosx+c(y=asin2x+bsinx+c,a≠0)可化为二次函数在闭区间上求最值问题，切忌忽略函数的定义域）反思：关于y=acos2x+bcosx+c(y=asin2x+bsinx+c,a≠0)可化为二次函数在闭区间上求最值问题，切忌忽略函数的定义域）

16. 例3、若sin2α+2sin2β=2cosα，求sin2α+sin2β的最大值与最小值。例3、若sin2α+2sin2β=2cosα，求sin2α+sin2β的最大值与最小值。 [分析]将sin2β用含有α的式子表示，利用二次函数知识求解。

17. 例4、设a≥0若y=cos2x-asinx+b的最大值为0，最小值为-4，试求a与b的值，并求出使y取得最大，最小的x值。例4、设a≥0若y=cos2x-asinx+b的最大值为0，最小值为-4，试求a与b的值，并求出使y取得最大，最小的x值。 [分析]解此类问题是化为关于sinx(cosx)的二次式，配方求最值办法。

18. 解：y=-(sinx+ )2+1+b+ 当-1≤- ≤0时，0≤a≤2时 即x=kπ+(-1)k arcsin(- ) k∈z时 ymax=1+b+ =0 ① 当日仅当 sinx=1即x=2k+ k∈z ymin=-(1+ )2+1+b+ =-4 ② 由①、② a=2 b=-2

19. 解得a=2（舍） 综上 a=2 b=-2

20. 例5、已知函数f(x)=log (sinx-cosx) （1）求它的定义域与值域 （2）求它的单调区间 （3）判断奇偶性 （4）判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期 [分析](1)、(2)从sinx-cosx= sin(x- )入手；(3)定义域；(4)利用周期函数定义。

22. （3）f(x)定义域不关于原点对称。即不是奇函数，也不是偶函数。（3）f(x)定义域不关于原点对称。即不是奇函数，也不是偶函数。 反思：本题综合考查了三角函数性质，解题关键是把sinx-cosx化为Asin(ωx+φ)形式。

23. 例6、已知 f(x)=2sin(x+ )cos(x+ )+2 cos2(x+ )- ①化简f(x)的解析式 ②若0≤x≤π求θ,使函数f(x)为偶函数 ③在②的条件下，求满足f(x)=1 x[-π, π]的x集合。

26. ③

29. 小结：解决此类问题一定要注意已知角和所求角之间的关系。小结：解决此类问题一定要注意已知角和所求角之间的关系。

30. 例8、f(x)=cos2x+asinx- - (0≤x≤ ) ①用a表示f(x)的最大值M(a) ②当M(a)=2时，求a的值 解：

31. ① ②

32. ③

33. 例9、已知函数 y= cos2x+ sinxcosx+1 (x∈R) （1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合 （2）该函数图象可由y=sinx(x∈R)的图象进行怎样的平移和伸缩变换得到的？ [分析]由题设可知，需采取降次，化为简单的三角函数。

34. 解：

35. （2）将函数y=sinx依次进行如下变换 思路一：先平移，后缩短（指横坐标） 解法一：（1）把函数y=sinx的图象向左平移 ，得到函数y=sin(x+ )的图象； （2）把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），得到函数y=sin(2x+ )的图象；

36. （3）把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的 倍（横坐标不变），得到函数y= sin(2x+ )的图象； （4）把得到的图象向上平移 个单位长度，得到函数y= sin(2x+ )+ 的图象。

37. 思路二：先缩短，后平移（指横坐标） 解法二：（1）把函数y=sinx的图象上各点的横坐标缩短原来的 倍（纵坐标不变），得到函数y=sin2x的图象； （2）把得到的函数的图象向左平移 ，得到函数y=sin[2(x+ )]=sin(2+ )的图象；

38. （3）把得到的函数图象向上平移 个单位，得到函数y=sin(2x+ )+ 的图象； （4）把得到的函数的图象的各点的纵坐标缩小到原来的 倍（横坐标不变），得到函数2y=sin(2x+ )+ 的图象，即y= sin(2x+ )+ 的图象。 反思：在解法二中，由函数y=sin2x向左平移 ，而不是 个长度单位，这一点应特别注意。

39. 谢谢