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確率と統計

確率と統計. 平成 18 年 12 月 21 日 ＆ 平成 19 年 1 月 11 日. いろいろな分布. ２項分布 正規分布 ポアソン分布 一様分布 χ ２ 分布 ｔ分布 F 分布　などなど. ２項分布. １回の試行で事象 A の起こる確率が p で、起こらない確率が q とする。このとき、ｎ回の反復試行で事象 A が k 回起こる確率は、次のようになる。 P(X=k)=nCk p^kq^(n-k) (k=0,1,2,3,4,…,n) この分布であることを、 B(n,p) と書くことがある。. 教科書 p.97 参照のこと. 例.

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Presentation Transcript

  1. 確率と統計 平成18年12月21日 ＆ 平成19年1月11日

  2. いろいろな分布 • ２項分布 • 正規分布 • ポアソン分布 • 一様分布 • χ２分布 • ｔ分布 • F分布　などなど

  3. ２項分布 • １回の試行で事象Aの起こる確率がpで、起こらない確率がqとする。このとき、ｎ回の反復試行で事象Aがk回起こる確率は、次のようになる。P(X=k)=nCk p^kq^(n-k)(k=0,1,2,3,4,…,n)この分布であることを、B(n,p)と書くことがある。 教科書 p.97 参照のこと

  4. 例 • １枚の硬貨をｎ回投げる。

  5. ２項分布B(n,p)の平均と分散 • 平均 = np • 分散 = npq 有名かつ便利な公式 教科書 p.101 式 (2) 参照のこと

  6. 正規分布 • 測定誤差や身長のデータのヒストグラムを作ると釣鐘型になる。このときのヒストグラムの形を近似的に表す曲線を正規分布曲線とい、このときの分布を正規分布という。正規分布曲線は、平均μと分散σ2できまるので、N(μ, σ2 ) と書くことがある。

  7. 正規分布 • 分布関数 • 確率密度関数 • 正規分布曲線（定義） • 正規分布の特徴

  8. 正規分布のグラフ

  9. 正規分布のグラフ 左右対称 変曲点 ほとんどゼロ 教科書 p.102 図3 参照のこと

  10. 正規分布曲線の式

  11. 正規分布曲線の式 平均 標準偏差

  12. 重要な性質（再） • 左右対称 • Ｘ=σは変曲点（上凸と下凸の変わり目） • 平均 = 中央値 = モード

  13. 他の重要な性質

  14. 正規分布のグラフ 68%

  15. 正規分布のグラフ 95%

  16. 正規分布のグラフ 99.7%

  17. 標準化の公式 N(μ,σ2) N(0,1)

  18. 標準化の公式 平均ゼロ、分散１ （標準正規分布） 平均μ、分散σ2 （正規分布） N(μ,σ2) N(0,1) これについての情報が標準正規分布表として与えられている。

  19. 練習問題 • 問題１：　正しく作られたコインを100回投げるとき、表が40回から60回出る確率を求めよ。

  20. 問題１のヒント： • コイン投げの繰り返しは２項分布Bとなるので、定義に従って計算しても良いが、 • 繰り返しの回数が多い場合は、平均がnp、分散がnpqの正規分布で近似できる。 • このことを使うと比較的楽に計算できる。

  21. 問題１の答： • μ= np = (100)×(1/2) = 50 • σ2= npq = (100)×(1/2)×(1-1/2) = 25 = 52 • Z=(X-μ)/σ = (X – 50) / 5 とすると • Z1=(40-50)/5 = -2 • Z2=(60-50)/5 = +2 • 標準正規分布曲線の -2 ～ +2 の部分の面積が求める確率。 • 標準正規分布表(教科書p.295)より約0.95 (= 0.4772×2)

  22. 問題２：両側検定と片側検定について以下の問に答えよ。（１）両側検定とは何か。（２）片側検定とは何か。（３）コインを何回か投げた結果に基づいて、　　　コインが正しく作られているかを調べた　　　い。このときは、両側検定を使うべきか、　　　片側検定を使うべきか。問題２：両側検定と片側検定について以下の問に答えよ。（１）両側検定とは何か。（２）片側検定とは何か。（３）コインを何回か投げた結果に基づいて、　　　コインが正しく作られているかを調べた　　　い。このときは、両側検定を使うべきか、　　　片側検定を使うべきか。

  23. 問題２のヒント：教科書のp.163～167をよく読むこと。両側検定、片側検定の区別、使い分けは重要なので、何かの機会に一度調べておくことを勧める。問題２のヒント：教科書のp.163～167をよく読むこと。両側検定、片側検定の区別、使い分けは重要なので、何かの機会に一度調べておくことを勧める。

  24. 問題３：ある人種では４つの血液型を持つ人の割合が　0.16, 0.48, 0.20, 0.16 であるという。他の人種の人について同様の調査をしたところ、それぞれの血液型を持つ人が180, 360, 130, 100 人であった。これら人種間で血液型の人数比は同じといえるか？

  25. 問題３のヒント： • カイ２乗検定を利用する。 • 教科書第10章を参照のこと。 • 教科書 p.229 の問題２と同じ。 • 自由度の求め方を覚えると良い。 • カイ２乗分布の表は教科書p.298 。 • （カイ２乗検定は利用価値が高いですので、是非　　覚えて使ってください。）

  26. 問題４：ある図書館での本の貸し出しを調べたら以下のようになった。「曜日により貸し出し冊数は変わらない」かどうか検定せよ。なお、有意水準を５％とせよ。問題４：ある図書館での本の貸し出しを調べたら以下のようになった。「曜日により貸し出し冊数は変わらない」かどうか検定せよ。なお、有意水準を５％とせよ。

  27. 問題４のヒント： T=135 + 108 + 120 + 114 + 146

  28. その他 • カイ２乗検定の１つに、分割表(教科書p.225)があります。便利なので勉強してください。授業でもやりましたよね！ • カイ２乗検定は、分散分析の特殊な場合となっています。分散分析はとても強力な手法ですので、勉強しましょう。 • 統計は慣れることが大切です。継続的に勉強してください。理論より実践です。

  29. 最後に • 統計を知っている人と知らない人とでは、今後大きな差になってきます。統計をすべて勉強することは無理です。自分に関係のある分野で、必要なものから慣れていってください。 Goodluck! ２つ目のレポート提出忘れないように！

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