第 12 回　３次元の量子論

2011 第12回　３次元の量子論・矩形の箱に束縛された粒子・量子力学の形式今日の目標１．矩形の箱に束縛された粒子のシュレディンガー方程式を　　示せること２．変数分離して3次元シュレーディンガー方程式が解けること３．矩形箱内粒子の基底状態と励起状態を示せること４．縮退の意味を説明できること５．物理量の演算子を示せること６．演算子の交換関係を示せることタイトル

z c y b a ∇2 + V(r) x h 2m φ(r) = Eφ(r) －矩形箱の中に完全に束縛された粒子 V(x) = 0 ;0≦ x ≦ a,0≦ y ≦ b,0≦ z ≦ c V(x) = ∞ ;その他の領域矩形箱の中に完全に束縛された粒子

ii）箱の中 ；　V(r) = 0 φ（r） = Eφ（r）座標毎に独立 φ（r） = X(x) Y(y) Z(z) 変数分離 ZX YZ XY = EXYZ h 2 2m h 2 2m h 2 2m h 2 2m h 2 2m h 2 2m h 2 2m XYZ ∂2 ∂y2 ∂2 ∂x2 ∂2 ∂z2 ∂2Y ∂y2 ∂2X ∂x2 ∂2Z ∂z2 ∂2Y ∂y2 ∂2X ∂x2 ∂2Z ∂z2 + + 1 X 1 Y 1 Z = E 解；　V(r) = ∞ i）箱の外 φ（r） = 0 ∵粒子が存在しない矩形箱の中に完全に束縛された粒子：解

= E Ex Ey Ez 定数 = Ex X = Ez Z = Ey Y 一次元の問題と同じ nπ a h 2 2m h 2 2m h 2 2m h 2 2m h 2 2m h 2 2m 2 a ∂2Y ∂y2 ∂2X ∂x2 ∂2Z ∂z2 ∂2Y ∂y2 ∂2Z ∂z2 ∂2X ∂x2 1 Y 1 Z 1 X π2 h 2 2ma2 En = n2 √ φn (x) = sin x 矩形箱の中に完全に束縛された粒子：解

n2 c2 m2 b2 l2 a2 nπ a lπ a mπ a + + 2 a 2 a 2 a mπ b lπ a nπ c 8 abc sin x sin y sin z 固有値固有関数 π2 h 2 2Ma2 l2 El = π2 h 2 2Mb2 m2 Em = π2 h 2 2Mc2 n2 En = エネルギー E = Ex + Ey + Ez π2 h 2 2M Elmn = √ √ √ φm (y) = sin y φn (z) = sin z φl (x) = sin x 量子数； l, m, n = 1,2,3,･･･状態関数 φlmn (r) = √ 矩形箱の中に完全に束縛された粒子：解

エネルギー準位 1 a2 1 c2 1 b2 1 b2 1 c2 4 a2 + + + + πz c πz c 2πx a πy b πx a πy b 8 abc 8 abc 基底状態 l = m = n = 1 基底エネルギー π2 h 2 2M E111 = √ φ111 (r) = sin sin sin 励起状態 π2 h 2 2M E211 = √ sin sin sin φ211 (r) = エネルギー準位

1 a2 4 c2 1 a2 4 a2 1 c2 1 b2 4 b2 1 c2 1 b2 + + + + + + πx a 2πy b 2πx a πy b πz c πz c πx a πy b 2πz c 8 abc 8 abc 8 abc 励起状態 π2 h 2 2M E211 = √ φ211 (r) = sin sin sin π2 h 2 2M E121 = φ121 (r) = sin sin sin √ π2 h 2 2M E112 = √ φ112 (r) = sin sin sin E221 E212 E122 .・・エネルギー順位

a>b>cならば E211 < E121 < E112 <　･･･ 1 c2 1 b2 4 a2 1 c2 1 b2 4 c2 1 a2 1 a2 4 b2 ・････ + + + + + + 第2励起エネルギー第１励起エネルギー π2 h 2 2M E211 = π2 h 2 2M E121 = π2 h 2 2M E112 = エネルギー順位

縮退 φ121 (r) = φ211 (r) = φ112 (r) = sin sin sin sin sin sin sin sin sin ∴ E211 = E121 = E112 第１励起エネルギー；1つのエネルギー 4 a2 1 a2 4 a2 1 a2 6 a2 1 a2 1 a2 6 a2 1 a2 1 a2 6 a2 4 a2 ３つの状態 √ √ √ πz a 2πy a πy a πx a 2πz a πy a 2πx a πx a πz a ３重に縮退 8 a3 8 a3 8 a3 a = b = c の時 π2 h 2 2M π2 h 2 2M π2 h 2 2M π2 h 2 2M π2 h 2 2M π2 h 2 2M E211 = E121 = E112 = + + + + + + = = = 縮退

＾位置の演算子　　x = x ＾ p = H = - + V(r) ＾ E = ハミルトニアン ∂ ∂t ∂ ∂x , ∂ ∂y , ∂ ∂z h 2 2m -i h -i h i h -i h ∂2 ∂x2 ∂2 ∂y2 ∂2 ∂z2 + + 形式Ⅱ：物理量と演算子 a)演算子運動量の演算子エネルギーの演算子

＾＾＾＾＾＾ x x x x x x Ψ（x,y,z） Ψ（x,y,z） Ψ（x,y,z） Ψ（x,y,z） Ψ（x,y,z）＾＾＾＾＾＾＾＾＾＾ px px px px pz py px px py pz （xΨ） = xΨ（x,y,z） = = = ・・・① = -i h Ψ + x = Ψ（x,y,z）・・・② ②－① ∂Ψ ∂x ∂Ψ ∂x ∂ ∂x ∂Ψ ∂x ∂ ∂x ∂ ∂x -i h -i h -i h -i h = -i h x - Ψ = i hΨ Ψ = i hΨ Ψ = i hΨ 同様に＾＾＾＾ y z - - y z b)演算の順序 = xΨ（x,y,z）

交換子 ＾＾＾＾＾＾＾＾ () = [ , ] = i h () = [ , ] = i h z y - - pz py y z z y 非可換交換関係不確定性原理＾＾＾＾＾＾＾＾＾＾ () = [ , ] = i h x x py px px pz pz py - px x 共役の関係可換 [xi , pj] = 0 (i ≠ j) 観測値が同時に決定可能 c)交換関係

( ) ( ) -i h i h ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Y i h Y = i h Y - = - ˆ ˆ ˆ ˆ l l l l l x p y p z x y y x y x ＾＾＾＾＾＾＾＾＾ [lz, lx] = i h ly [lx, ly] = i h lz [ly, lz] = i h lx ＾＾＾＾ l2 = lx2 + ly2 + lz2 ＾＾＾＾＾＾ [l2, ly] = [l2, lx] = [l2, lz] = 0 軌道角運動量

物理量が実数 ∫ψ*Aψdτ = ∫(Aψ)*ψdτより d)エルミート（Hermite）演算子 ∫ψ*Aψdτ = ∫(Aψ)*ψdτを満たす演算子Aをエルミート演算子と言う A ：エルミート演算子 α： A の固有値 ψ：固有関数固有方程式 Aψ = αψ ∫ψ*Aψdτ = ∫ψ*αψdτ = α∫ψ*ψdτ ∫(Aψ)*ψdτ = ∫(αψ)*ψdτ = α*∫ψ*ψdτ α = α* ：実数

交換子 A,B：エルミート演算子 [A,B]=AB-BA= 0（交換可能な2つの演算子）ならば１．ABもエルミートである ∫ψ*ABψdτ = ∫(ABψ)*ψdτ ２．A、Bに共通な固有関数が存在する Aψ = αψ Bψ = βψ

＾与えられた系のハミルトニアン：H ＾ハミルトニアン H の固有関数：Ψ ＾ある物理量の演算子： a a ＾ φn=anφn ＾演算子 a に対応する物理量の観測値を予想する計算 Ψ=c1φ1+ c2φ2・・・・cnφn ＾ <a> = Σ|ci|2ai Σ|ci|2 形式Ⅲ：物理量の観測 ∫Ψ* a Ψdτ ∫Ψ*Ψdτ ＾ = 期待値（平均値）

＾＾＾＾ l2 = lx2 + ly2 + lz2 ＾＾＾＾＾＾ [l2, lx] = [l2, ly] = [l2, lz] = 0 演習１．辺a=1Å 、辺b=２Å 、辺c=3Åの直方体の箱の中に閉じ込　　められた粒子がl=2,m=2,n=2の状態にあるとき、観測される　　スペクトルの波長をすべて示しなさい。２．　　は軌道角運動量の演算子である。　　　　　　　　　　　　　として　　　次の関係を証明しなさい。レポート提出（手書き） 12月26日まで、数理科学研究室（5461、和田）今日の用語箱型ポテンシャル、変数分離、固有値、固有関数、量子数、状態関数、基底状態、基底エネルギー、励起状態、縮退、物理量、演算子、交換子、交換関係、可換、非可換、軌道角運動量、エルミート演算子、固有方程式、ハミルトニアン

戻り • 講義のページへ戻る • 和田のホームへ戻る • 明薬のホームへ戻る

第 12 回 ３次元の量子論