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Matemáticas Computacionales. Prof. Luis Eduardo Falcón. ITESM. Campus Guadalajara. Descartes - Leibniz – Newton ( s. XVII ). Boole, Cantor, Frege, De Morgan y Peano (finales del s. XIX). Hilbert (principios del s. XX ). Aristóteles – Euclides ( IV a.C.). Lógica Computacional

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Matemáticas Computacionales

Prof. Luis Eduardo Falcón

ITESM

Campus Guadalajara

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Descartes - Leibniz – Newton

( s. XVII )

Boole, Cantor, Frege, De Morgan

y Peano (finales del s. XIX)

Hilbert (principios del s. XX )

Aristóteles – Euclides

( IV a.C.)

Lógica Computacional

( 1940 – )

Zenón de Elea ( V a. C. )

Russell – Whitehead

( 1910 –1913)

Lobachevski ( s. XIX )

Gödel ( 1930 )

No hay contradicciones

Formalistas

Platónicos

Constructivistas

Consistencia

Decibilidad

Completitud

Dada una proposición debo

saber si será demostrable

Toda proposición V será

axioma o bien deducible

slide3

Los egipcios y babilonios

fueron grandes ingenieros,

pero no se hacían preguntas

sobre la trascendencia de las

herramientas matemáticas

utilizadas.

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Todo es agua

Los griegos son los

primeros que tratan

de buscar explicaciones a

lo que sucede en la Tierra,

aunque buscando las

respuestas en los cielos.

Thales de Mileto

s. VII-VI a.C.

Los terremotos son

consecuencia de que la Tierra

descansa sobre un mar infinito.

slide5

Pitágoras es el

primero que

le da un puesto

privilegiado a las

Matemáticas, para

explicar todo lo que

sucede en el Universo.

Pitágoras

s.VI-V a. C.

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Zenón de Elea nos

hereda sus 4 Paradojas

que durante 7 siglos y

con el fin de explicarlas

darán pauta al desarrollo

de la ciencia y el nacimiento

de diversas ramas de ella.

Zenón de Elea

s.V

slide7

La Escuela de Atenas

Sócrates (de verde) --- Platón --- Aristóteles

Hypatia (de blanco)

Pitágoras --- Arquímedes ----

slide8

La Matemáticas y la Física

son las dos ramas científicas

que en el s. XVII tienen el mayor

formalismo de entre todas las

ramas de la ciencia.

En el siglo XVII se trata

de buscar la que pueda

se la madre de todas las

ciencias en la Física y en

la fusión de las diversas

ramas que hasta entonces

se conocían de las matemáticas.

Rene Descartes

Issac Newton

Leibniz

slide9

Geometrías

No-euclideanas

Lobachevsky

primera mitad s. XIX

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Segunda mitad del Siglo XIX

G. Boole

G. Cantor

D. Hilbert

A. De Morgan

G. Peano

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Finales s. XIX y principios del s. XX

A. N. Whitehead

G. Frege

B. Russell

slide13

Página del

Principia Mathematica

de Whitehead & Russell

donde ya podrá demostrarse

que 1+1=2,

después de 360 páginas!!

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Gödel

Albert Einstein

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¿Qué son las Matemáticas?

  • Formalistas
  • Platónicos
  • Constructivistas
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Formalistas:

Conjunto de teoremas que pueden crearse de cualquier conjunto de axiomas iniciales, manipulando los símbolos implicados de acuerdo con reglas específicas.

En esta visión las matemáticas no tienen porqué dar ninguna explicación o justificación del mundo real, son un simple juego bajo ciertas reglas:

hacer matemáticas por las matemáticas mismas

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Aunque a los matemáticos el estudio y éxito de las matemáticas se justifica por su belleza misma, es común juzgarla por su utilidad, ya que sus conceptos y técnicas son inmensamente útiles para resolver problemas del mundo real.

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Platónicos:

Los números primos existen en el Universo. Por ello pueden utilizarse como lenguaje universal, como en la película Contacto con Jodie Foster

Lenguaje universal en el cual a través de un conjunto de axiomas y reglas se descubren los teoremas matemáticos.

En esta visión el mundo es matemático y por lo tanto los conceptos matemáticos ya existen y serán descubiertos, no inventados, por los matemáticos.

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¿Cómo es posible que las matemáticas, siendo después de todo un producto del pensamiento humano independiente de la existencia, se adapten de forma tan admirable a los objetos de la realidad?

Albert Einstein

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Constructivistas:

Colección de proposiciones que pueden construirse en un número finito de pasos deductivos a partir de los números naturales.

En esta visión una fórmula matemática es simplemente la cadena finita de cálculos que se ha seguido para construirla.

Ahora el estatus de cualquier proposición es triple: verdadera, falsa o indecidible.

En este modelo el concepto de infinito no existe.

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Sistema Matemático

Conjunto de axiomas, y teoremas que pueden deducirse lógicamente de los axiomas.

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... deducciones lógicas ...

En ellas reside y se mide el éxito de las matemáticas

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¿Qué es entonces la Lógica?

  • Determinación metodológica de la verdad o falsedad de sentencias (objetivos) a partir de otras consideradas de antemano verdaderas (axiomas o premisas), utilizando para ello procedimientos válidos (reglas deinferencia) para el contexto de que se trate.
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Matemáticas

Discretas

Continuas

Conjunto

base:

Enteros

Conjunto

base:

Reales

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Máquina de Turing

Alan Turing, Emil Post, Alonzo Church

Computadora que en principio puede alimentarse con ciertos datos de entrada y que posee un procesador que tras una serie de pasos finitos puede decidir si una proposición decidible es verdadera o falsa.

Sin embargo, existen proposiciones cuyo tiempo necesario para decidir su veracidad con la máquina de Turing es infinito

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Operaciones No Computables

Operaciones que una máquina de Turing no puede ejecutar en un tiempo finito.

Si una operación es computable, ello significa que puede construirse un dispositivo material cuyo comportamiento imite a dicha operación: IA

Las leyes de la naturaleza, ¿contienen elementos no computables o cuya computabilidad requiera millones de años en llevarse a cabo?

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Aproximaciones para una definición de LÓGICA:

Etimología: del griego logiké: relativo a la razón.

  • Disciplina que estudia los principios formales del conocimiento humano.
  • Es decir, las formas y las leyes más generales del pensamiento humano considerado puramente en sí mismo, sin referencia a los objetos.
  • [Diccionario General de la Lengua Española Vox-Larousse: http://www.diccionarios.com/]
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Disciplina que se aboca al estudio de las proposiciones y su uso en las argumentaciones.

  • Ciencia que estudia los principios y criterios de validez de las inferencias y demostraciones.
  • Ciencia que estudia los principios formales del razonamiento.
  • Enciclopedia Británica en línea: http://www.eb.com/